Теория функций действительного переменного/Эквивалентные множества

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Для решения вопроса о том, равное ли число элементов содержат два множества A и B, можно поступить двумя способами. Первый способ состоит в подсчёте числа элементов в каждом множестве и сравнении полученных натуральных чисел. Второй способ не требует знания количества элементов в каждом из множеств А и В. Он состоит в попытке установить между множествами А и B взаимно однозначное соответствие (биекцию). Если биекцию f:А→ B удалось отыскать, то это означает, что количество элементов в А и B одинаково. Например, если в трамвае каждый пассажир сидит на сидении , и при этом нет ни свободных мест, ни стоящих пассажиров, то тем самым установлено взаимно однозначное соответствие (биекция) между множеством пассажиров и множеством посадочных мест, поэтому число сидений в данном трамвае равно числу севших в него пассажиров. Хотя второй метод несёт меньше информации, чем первый (он устанавливает равенство числа элементов в множествах А и B, но не указывает самого числа), у него есть преимущество применимости для количественного сравнения бесконечных множеств.

Определение: Множество A называется эквивалентным множеству B, если существует биекция f:А→B. В этом случае говорят также, что множество A имеет одинаковую мощность с множеством B. Обозначение:A~B или ${\overline {\overline {A}}}={\overline {\overline {B}}}$.

Примеры

1. Множество всех натуральных чисел $\mathbb {N}$ эквивалентно множеству $2\mathbb {N} =\{2,4,6...\}$ всех чётных чисел, так как отображение $f:\mathbb {N} \to 2\mathbb {N}$, определяемое формулой f(n)=2n есть биекция.
2. Функция $f(x)=\tan x$ взаимно однозначно отображает интервал $(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})$ на все множество действительных чисел $\mathbb {R}$. Поэтому $(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})\sim \mathbb {R}$. (Заметим: оказывается, в ограниченном интервале содержится столько же точек, сколько и на всей бесконечной числовой прямой!)
3. Функция $f=(b-a)x+a$ взаимно однозначно отображает интервал $(0,1)$ на интервал $(a,b)$, а сегмент [0,1] на сегмент [a,b], поэтому (0,1)~(a,b); [0,1]~[a,b].

Теорема 1:

1. Всегда A~A;
2. Если A~B, то B~A.
3. Если A~B и B~C, то A~C.

Доказательство строится на определении эквивалентного множества и свойств биекции:

1. Тождественное отображение id:A→A есть биекция.
2. Если f:А→B- биекция, то и обратное отображение f^-1:B→A— биекция.
3. Если f:A→B и g:B→C- биекции, то и их композиция f•g:A→C - биекция.

Теорема 2: Если $A_{1}\sim B_{1}$, $A_{2}\sim B_{2}$, то $A_{1}\times A_{2}\sim B_{1}\times B_{2}$.

Доказательство

Пусть $f_{1}:A_{1}\to B_{1}$ и $f_{2}:A_{2}\to B_{2}$ — биекции. Определим отображение $f:A_{1}\times A_{2}\to B_{1}\times B_{2}$ формулой $f(a_{1},a_{2})=(f_{1}(a_{1}),f_{2}(a_{2}))$. Тогда $f$ есть биекция, так как для любого элемента $(b_{1},b_{2})$ декартова произведения $B_{1}\times B_{2}$ в декартовом произведении $A_{1}\times A_{2}$ имеется единственный прообраз относительно отображения $f$, именно точка ${\big (}f_{1}^{-1}(b_{1}),f_{2}^{-1}(b_{2}){\big )}$.

Tеорема 3: Пусть $\{A_{x}\}_{x\in X}$ и $\{B_{y}\}_{y\in Y}$- два семейcтва попарно непересекающихся множеств, и пусть существует такая биекция: f:X→Y, что A_x~B_f(x) для любого элемента $x\in X$. Тогда множества $A=\bigcup _{x\in X}A_{x}$ и $B=\bigcup _{y\in Y}B_{y}$ эквивалентны.

Доказательство

Обозначим через g_x биекцию множества А_x на множество B_f(x). Пусть $a$- произвольный элемент из А. Тогда, так как множества первого семейства попарно не пересекаются, существует единственный элемент $x\in X$, такой, что $a\in A_{x}$. Поставим в соответствие элементу a элемент g_x(a) из B_f(x), принадлежащий вместе с тем и множеству B. Получим биекцию множества А на B. Действительно, если b произвольный элемент из B, то в силу попарной непересекаемости множеств второго семейства, существует единственный элемент $y\in Y$, такой, что $b\in B_{y}$. Ясно, что элемент $g_{f^{-1}(y)}^{-1}(b)$ является единственным прообразом элемента b при нашем соответствии.

Tеорема 4: Если $A_{3}\subset A_{2}\subset A_{1}$ и A₃~A₁, то A₂~A₁.

Доказательство

Так как A₁~A₃, то существует биекция f:A₁→A₃. Положим $A_{4}=f(A_{2}),\quad A_{5}=f(A_{3})$ и далее по индукции, если множества A₁, A₂,...A_n уже определены, то полагаем $A_{n+1}=f(A_{n-1}),\;A_{n+2}=f(A_{n})$. Таким образом, получается последовательность множеств $\{A_{n}\}$. Покажем, что эта последовательность удовлетворяет следующим трем условиям:

1. $A_{1}\supset A_{2}\supset ...\supset ...A_{n}\supset ...$  (1)
2. для всех m≠n $(A_{m}\setminus A_{m+1})\cap (A_{n}\setminus A_{n+1})=\varnothing$  (2)
3. для всех $n\in \mathbb {N} \quad A_{n}\setminus A_{n+1}\sim A_{n+2}\setminus A_{n+3}$  (3)

Докажем условие (1) по индукции. Отношения $A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}$ выполнены по условию теоремы. Допустим, что верны отношения $A_{1}\supset A_{2}\supset ...\supset A_{n}$. Тогда из $A_{n-2}\supset A_{n-1}\supset A_{n}$ следует $f(A_{n-2})\supset f(A_{n-1})\supset f(A_{n})$, то есть $A_{n}\supset A_{n+1}\supset A_{n+2}$. Тем самым условие (1) доказано.
Условие (2) вытекает из (1), так как при m≠n полагая, например, m>n, будем иметь $A_{m}\setminus A_{m+1}\subset A_{m}\subset A_{n+1}$. Следовательно, любая точка из A_m\A_m+1 не принадлежит A_n\A_n+1.
Для доказательства (3) заметим, что из отношений $A_{n+1}\subset A_{n},\;f(A_{n})=A_{n+2},\;\;f(A_{n+1})=A_{n+3}$ и биективности f следует $f(A_{n}\setminus A_{n+1})=f(A_{n})\setminus f(A_{n+1})=A_{n+2}\setminus A_{n+3}$, что и означает справедливость отношений (3).

Положим $C=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$. Тогда справедливы равенства (4):   $A_{1}=C\cup (A_{1}\setminus A_{2})\cup (A_{2}\setminus A_{3})\cup ...$ и (5):  $A_{2}=C\cup (A_{2}\setminus A_{3})\cup (A_{3}\setminus A_{4})\cup ...$, причём слагаемые в них попарно не пересекаются.
Докажем, например, равенство (4). Из соотношений (1) следует, что все слагаемые правой части равенства (4) содержатся в его левой части. Докажем обратное включение. Пусть $x\in A_{1}$. Если $x\in C$, то $x$ принадлежит и всей правой части. Если же $x\not \in C$, то существует такоЙ номер n, что $x\not \in A_{n}$. Пусть m - наименьший из номеров, для которого $x\not \in A_{m}$. Так как $x\in A_{1}$, то m ≥ 2. Ясно, что $x\in A_{m-1}$. Поэтому $x\in A_{m-1}\setminus A_{m}$. Следовательно, $x$ принадлежит и всей правой части равенства (4), что и завершает его доказательство.

Докажем еще, что слагаемые в правой части равенства (4) попарно не пересекаются. Первое слагаемое С не пересекается с любым слагаемым $A_{n}\setminus A_{n+1}$ в силу очевидного включения $C\subset A_{n+1}$, а остальные слагаемые попарно не пересекаются в силу (2).

Если положить $E=C\cup (A_{2}\setminus A_{3})\cup ...\cup (A_{2n}\setminus A_{2n+1})\cup ...$, то равенства (4) и (5) можно переписать следующим образом:$A_{1}=E\cup (A_{1}\setminus A_{2})\cup (A_{3}\setminus A_{4})\cup ...\cup (A_{2n-1}\setminus A_{2n})\cup ...$
$A_{2}=E\cup (A_{3}\setminus A_{4})\cup (A_{5}\setminus A_{6})\cup ...\cup (A_{2n+1}\setminus A_{2n+2})\cup ...$. В этих двух объединениях слагаемые, стоящие на одинаковых местах, начиная со второго, эквивалентны в силу (3), а первые слагаемые одинаковы и потому тоже эквивалентны. По теореме 3: множества A₁ и A₂ эквивалентны.

Понятие эквивалентности двух множеств было бы бессодержательным, если б оказалось, что все бесконечные множества эквивалентны между собой. Однако это не так, что и вытекает из следyщей теоремы.

Теорема 5 (Теорема Кантора):. Множество X и его булеан (множество всех его подмножеств) ${\mathfrak {B}}(X)$ не эквивалентны.

Доказательство

Допустим противное, что $X\sim {\mathfrak {B}}(X)$. Тогда существует биекция: $f:X\to {\mathfrak {B}}(X)$. Для любого элемента $x\in X$  f(x) есть элемент булеана ${\mathfrak {B}}(X)$, то есть подмножество множества X. Возможны две ситуации: либо $x\in f(x)$, либо $x\notin f(x)$. Обозначим через Y множество всех таких элементов $y\in X$, что $y\notin f(y)$. Множество Y одновременнно является элементом булеана ${\mathfrak {B}}(X)$. Поэтому существует такой единственный элемент $y_{0}\in X$ , что f(y₀)=Y. Ясно, что либо $y_{0}\in Y$, либо $y_{0}\notin Y$. Покажем, что оба эти отношения невозможны, что и докажет теорему.

Пусть $y_{0}\in Y$. Но Y=f(y₀), значит $y_{0}\in f(y_{0})$. Но в таком случае по определению Y $y_{0}\notin Y$. Получили противоречие.
Пусть теперь $y_{0}\notin Y=f(y)$. Но такой элемент должен по определению множества Y принадлежать Y: $y_{0}\in Y$. Опять получилось противоречие.

Упражнения

1. Установите биекцию между;

1. промежутками $(0,+\infty )$ и $(-\infty ,+\infty )$;
2. промежутками $[a,b)$ и $[0,+\infty )$;
3. промежутками (a,b) и $(-\infty ,+\infty )$.

2. Доказать, что если A\B~B\A, то A~B.

З. Доказать, что если $A\subset B$ и $A\sim A\cup C$, то $B\sim (B\cup C)$.

4. Доказать, что если $A\supset C$, $B\supset D$ и $C\cup B\sim C$, то $A\cup D\sim A$.

5. Пусть $A=A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}\times ...$ и $B=B_{1}\times B_{2}...\times B_{n}\times ...$ и $(\forall n\in \mathbb {N} )\quad A_{n}\sim B_{n}$. Доказать, A~B.

6. Установите биекцию между

1. единичной окружностью и периметром квадрата [0,1]×[0,1];
2. двумя кругами разных радиусов;
3. внутренностью единичного круга и плоскостью $\mathbb {R} ^{2}$;
4. открытым прямоугольником (0,1)×(2,6) и плоскостью $\mathbb {R} ^{2}$;
5. кольцом $1<x^{2}+y^{2}<2$ и внешностью единичного круга;
6. полосой 1<x+y<2 и плоскостью $\mathbb {R} ^{2}$;
7. открытой полуплоскостью x<y и плоскостью $\mathbb {R} ^{2}$.