Теория функций действительного переменного/Пространства суммируемых функций

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Пространство суммируемых функций

Пусть $X$ — некоторое пространство с полной мерой $\mu$. Рассмотрим совокупность всех функций, суммируемых на множестве $X$. Так как сумма двух суммируемых функций и произведение суммируемой функции на число есть суммируемая функция, то эта совокупность является линейным пространством, которое обозначают $L_{1}(X,\mu )$ или просто $L_{1}$, когда из контекста понятно о какое пространство и какая мера имеются в виду.

В пространстве $L_{1}$ можно ввести следующую норму

$\|f\|=\int \limits _{X}|f(x)|d\mu$.

Однородность нормы, справедливость аксиомы треугольника и положительность нормы следуют из свойств интеграла Лебега:

$\|af\|=\int \limits _{X}|a\cdot f(x)|d\mu =\int \limits _{X}|a|\cdot |f(x)|d\mu =|a|\int \limits _{X}|f(x)|d\mu =|a|\|f\|$,

$\|f_{1}+f_{2}\|=\int \limits _{X}|f_{1}(x)+f_{2}(x)|d\mu \leq \int \limits _{X}|f_{1}(x)|d\mu +\int \limits _{X}|f_{2}(x)|d\mu =\|f_{1}\|+\|f_{2}\|$.

По определению нормы, норма равна нулю только для нулевого элемента, однако интеграл Лебега равен нулю, если функция равна нулю почти всюду (иными словами: если функция отличается от нуля лишь на множестве меры нуль, то её интеграл Лебега равен нулю). Таким образом, для того, чтобы ввести норму в линейном пространстве $L_{1}$, нужно принять, что нулевой элемент — это совокупность всех функций, отличающихся от нуля лишь на множестве меры нуль. Это, в свою очередь, приводит к тому, что все эквивалентные друг другу функции нужно считать одним и тем же элементом нормированного пространства.

Так как в качестве элементов рассматриваются классы функций, то необходимо заново определить операции сложения двух элементов и умножения элемента на число.

Пусть даны два класса $F_{1}$ и $F_{2}$ эквивалентных друг другу функций. Выберем в каждом классе по одному произвольному элементу-представителю: $f_{1}$ и $f_{2}$, соответственно. Суммой $F_{1}+F_{2}$ классов $F_{1}$ и $F_{2}$ назовём класс функций, эквивалентных функции $f_{1}+f_{2}$. Произведением $a\cdot F_{1}$ класса $F_{1}$ на число $a$ назовём класс функций, эквивалентных функции $af_{1}$.

Можно доказать, что определения суммы двух классов и умножения класса на число не зависят от выбора элементов-представителей. Действительно, пусть $g_{1}$ и $g_{2}$ два других представителя классов $F_{1}$ и $F_{2}$ соответственно. Тогда

$(g_{1}+g_{2})-(f_{1}+f_{2})=(g_{1}-f_{1})+(g_{2}-f_{1})$,

справа стоит сумма двух функций, равных нулю почти всюду (разность функций, принадлежащих одному классу), а значит функции $g_{1}+g_{2}$ и $f_{1}+f_{2}$ отличаются друг от друга лишь на множестве меры нуль, а значит они принадлежат одному классу. Аналогично можно доказать и независимость определения произведения класса на число от выбора элемента-представителя.

Эти соображения приводят к следующему определению пространства суммируемых функций.

Пространство $L_{1}$ — это нормированное пространство, элементами которого являются классы эквивалентных между собой суммируемых функций. Сумма двух классов определяется как множество элементов, эквивалентных сумме элементов-представителей классов-слагаемых. Произведение элемента на число определяется как множество элементов, эквивалентных произведению элемента представителя класса на число. А норма в пространстве $L_{1}$ задаётся формулой

$\|f\|=\int \limits _{X}|f(x)|d\mu$.

В пространстве $L_{1}$ (как и в любом другом нормированном пространстве) можно ввести метрику

$\rho (f,g)=\|f-g\|$.

Сходимость последовательности суммируемых функций в этой метрике называется сходимостью в среднем.

Теорема 1. Пространство $L_{1}$ является полным.

Пространство функций с суммируемым квадратом

Пространство $L_{1}$ является полным нормированным линейным пространством, но не является евклидовым пространством (этот факт можно доказать с использованием характеристического свойства евклидова пространства).

Пространство функций, не только нормированное, но и евклидово, можно построить, если рассмотреть совокупность функций, квадрат которых является суммируемой функцией. При этом, как и в случае пространства $L_{1}$, эквивалентные друг другу функции не должны различаться.

Функция $f(x)$ называется функцией с интегрируемым квадратом на множестве $X$, если интеграл

$\int \limits _{X}f^{2}(x)d\mu$

существует и конечен.

Пространство $L_{2}(X,\mu )$ или кратко $L_{2}$ — это пространство, элементами которого являются классы эквивалентных между собой функций с интегрируемым квадратом. Сумма двух классов определяется как множество элементов, эквивалентных сумме элементов-представителей классов-слагаемых. Произведение элемента на число определяется как множество элементов, эквивалентных произведению элемента представителя класса на число.

Установим некоторые свойства функций с интегрируемым квадратом.

Свойство 1. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть интегрируемая функция.

Пусть $f_{1}$ и $f_{2}$ - функции с интегрируемым квадратом. Рассмотрим неотрицательное выражение $\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right)^{2}\geq 0$. Раскроем скобки:

$f_{1}^{2}(x)-2f_{1}(x)f_{2}(x)+f_{2}^{2}(x)\geq 0$,

следовательно

$f_{1}(x)f_{2}(x)\leq {1 \over 2}\left(f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)\right)$.

Аналогично, из неравенства $\left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)^{2}\geq 0$ можно вывести, что

$f_{1}(x)f_{2}(x)\geq -{1 \over 2}\left(f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)\right)$.

Объединим два полученных неравенства:

$|f_{1}(x)f_{2}(x)|\leq {1 \over 2}\left(f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)\right)$.

Следовательно, по свойству интеграла Лебега, функция $f_{1}\cdot f_{2}$ является интегрируемой.

Свойство 1a. Всякая функция с интегрируемым квадратом является интегрируемой на множестве конечной меры.

Для доказательства нужно применить Свойство 1, положив в нём $f_{2}(x)\equiv 1$.

Свойство 2. Если $f\in L_{2}$ и $a$ - произвольное число, то $af\in L_{2}$. Иными словами, произведение функции с интегрируемым квадратом на число есть снова функции с интегрируемым квадратом. Действительно, если интеграл

$\int \limits f^{2}(x)d\mu$

существует и конечен, то

$\int \limits _{X}\left[af(x)\right]^{2}d\mu =a^{2}\int \limits _{X}f^{2}(x)d\mu <\infty$.

Свойство 3. Если $f_{1}\in L_{2}$ и $f_{2}\in L_{2}$, то $(f_{1}+f_{2})\in L_{2}$. Иными словами, сумма двух функций с интегрируемым квадратом есть функция с интегрируемым квадратом.

$\left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)^{2}=f_{1}^{2}(x)+2f_{1}(x)f_{2}(x)+f_{2}^{2}(x)$.

Справа стоит сумма трёх интегрируемых функции (Свойство 1), а значит функция слева также является интегрируемой, то есть квадрат функции $f_{1}+f_{2}$ есть суммируемая функция, а значит $f_{1}+f_{2}$ - функция с суммируемым квадратом.

Из свойств 2 и 3 следует, что пространство $L_{2}$ является линейным пространством.

Определим в пространстве $L_{2}$ скалярное произведение по формуле

$(f,g)=\int \limits _{X}f(x)g(x)d\mu$.

Легко проверить, что все аксиомы скалярного произведения действительно выполняются.

В пространстве $L_{2}$, как и во всяком евклидовом пространстве, имеет место неравенство Коши-Буняковского:

$\left(\int \limits _{X}f(x)g(x)d\mu \right)^{2}\leq \int \limits _{X}f^{2}(x)d\mu \cdot \int \limits _{X}g^{2}(x)d\mu$.

Если мера всего множества $X$ конечна, то, положив $g\equiv 1$, получим следующее важное неравенство:

$\left(\int \limits _{X}f(x)d\mu \right)^{2}\leq \mu (X)\cdot \int \limits _{X}f^{2}(x)d\mu$.

Как и в любом другом евклидовом пространстве, в $L_{2}$ можно задать норму

$\|f\|={\sqrt {(f,f)}}={\sqrt {\int \limits _{X}f^{2}(x)d\mu }}$

и метрику

$\rho (f,g)=\|f-g\|={\sqrt {\int \limits _{X}(f-g)^{2}(x)d\mu }}$.

Данная метрика часто называется средним квадратичным уклонением. Сходимость в метрике пространства $L_{2}$ называют сходимостью в среднем квадратичном.

Теорема 1. Если $\mu (X)<\infty$, то пространство $L_{2}(X,\mu )$ полно.