Теория функций действительного переменного/Ортогональные системы функций

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Тригонометрические системы

В данной главе приводятся лишь основные факты о рядах по тригонометрическим системам. Условия сходимости этих рядов и доказательство полноты тригонометрических систем рассмотрены отдельно.

Тригонометрическая система на отрезке $[-\pi ;\pi ]$

Рассмотрим пространство $L_{2}[-\pi ;\pi ]$ функций с интегрируемым квадратом на отрезке $[-\pi ;\pi ]$ с мерой Лебега. В этом пространстве функции

$~1,~\cos(x),~\sin(x),~...,~\cos(nx),~\sin(nx),~...$

образуют полную ортогональную систему, которую называют тригонометрической. Ряд по этой системе называют рядом Фурье (в узком смысле). Ортогональность этой системы можно проверить прямым вычислением (при $n\neq m$), используя тригонометрические тождества:

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }1\cdot \cos(nx)dx=-{1 \over n}{\Bigl .}\sin(nx){\Bigr |}_{-\pi }^{\pi }=0$,

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }1\cdot \sin(nx)dx={1 \over n}{\Bigl .}\cos(nx){\Bigr |}_{-\pi }^{\pi }=0$,

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(nx)\cos(mx)dx={1 \over 2}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left[{\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x)}\right]dx=0$,

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)\sin(mx)dx={1 \over 2}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left[{\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)}\right]dx=0$,

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)\cos(mx)dx={1 \over 2}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left[{\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)}\right]dx=0$.

Данная система функций не является нормированной, действительно:

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }1^{2}dx=2\pi$,

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}(x)dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }{{1+\cos(2x)} \over 2}dx=\pi$,

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}(x)dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }{{1-\cos(2x)} \over 2}dx=\pi$.

Соответствующая нормированная система состоит из функций:

${1 \over {\sqrt {2\pi }}},~{\cos(nx) \over {\sqrt {\pi }}},~{\sin(nx) \over {\sqrt {\pi }}},~n=1,2,...$.

Ряд Фурье функции $f$ по тригонометрической системе записывают в виде

${a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(nx)+b_{n}\sin(bx)\right)$.

Коэффициенты этого рядка вычисляются по формулам:

$a_{0}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx$,

$a_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(nx)f(x)dx$,

$b_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)f(x)dx$.

Ряд Фурье можно построить на любом отрезке вида $[-l;l]$, где $l$ — произвольное положительное вещественное число. Сделаем следующую замену

$x={{\pi t} \over l}$.

Если функция $f$ является функцией с суммируемым на отрезке $[-l;l]$ квадратом, то функция

$f_{1}(x)=f\left({{\pi x} \over l}\right)$

будет функцией с интегрируемым квадратом, определённой на отрезке $[-\pi ;\pi ]$.

Ряд Фурье примет вид

${a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left({{n\pi x} \over l}\right)+b_{n}\sin \left({{n\pi x} \over l}\right)\right)$.

Коэффициенты будут определяться следующими формулами:

$a_{0}={1 \over l}\int \limits _{-l}^{l}f(x)dx$,

$a_{n}={1 \over l}\int \limits _{-l}^{l}\cos \left({{n\pi x} \over l}\right)f(x)dx$,

$b_{n}={1 \over l}\int \limits _{-l}^{l}\sin \left({{n\pi x} \over l}\right)f(x)dx$.