В данной главе приводятся лишь основные факты о рядах по тригонометрическим системам. Условия сходимости этих рядов и доказательство полноты тригонометрических систем рассмотрены отдельно.
образуют полную ортогональную систему, которую называют тригонометрической.
Ряд по этой системе называют рядом Фурье (в узком смысле).
Ортогональность этой системы можно проверить прямым вычислением (при ), используя тригонометрические тождества:
,
,
,
,
.
Данная система функций не является нормированной, действительно:
,
,
.
Соответствующая нормированная система состоит из функций:
.
Ряд Фурье функции по тригонометрической системе записывают в виде
.
Коэффициенты этого рядка вычисляются по формулам:
,
,
.
Ряд Фурье можно построить на любом отрезке вида , где — произвольное положительное вещественное число.
Сделаем следующую замену
.
Если функция является функцией с суммируемым на отрезке квадратом, то функция
будет функцией с интегрируемым квадратом, определённой на отрезке .
Ряд Фурье примет вид
.
Коэффициенты будут определяться следующими формулами:
,
,
.
Тригонометрическая система на отрезке Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/»:): {\displaystyle [0; \pi]}[править]