Теория функций действительного переменного/Метрическое пространство

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

В основе математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности и операция предельного перехода. Достаточно сказать, что производная и определённый интеграл определяются через понятие предела. При определении предела используется тот факт, что на числовой прямой определено расстояние между вещественными числами. Но оказывается, что для формулировки многих фундаментальных понятий и доказательства различных теорем анализа важна не природа действительных чисел, а только само понятие расстояния. Обобщением представления о расстоянии между действительными числами на случай произвольного множества является понятие метрики, которое мы сейчас введём.

Определение метрического пространства

Пусть M — некоторое непустое множество, ρ — некое отображение, ставящие в соответствие двум элементам множества M некоторое вещественное число:

$\rho \colon M\times M\to \mathbb {R}$,

отображение ρ называется метрикой, если оно обладает следующими свойствами (аксиомы метрики):

1. Аксиома тождества: $~\rho (x,y)=0\Leftrightarrow x=y$,
2. Аксиома симметрии: $~\rho (x,y)=\rho (y,x)$,
3. Аксиома треугольника: $~\rho (x,y)\leq \rho (x,z)+\rho (z,y)$.

Совокупность множества M и определённой на нём метрики ρ называют метрическим пространством и обозначают (M,ρ). Иногда, особенно когда из контекста понятно о какой метрике идёт речь, метрическое пространство обозначают так же, как и само множество М. Элементы метрического пространства обычно называют точками.

Одним из простейших (и важнейших) примеров метрического пространства является числовая прямая. Покажем, что множество вещественных чисел с метрикой ρ(x, y)=|х — у| является метрическим пространством. Действительно, рассмотрим три произвольных вещественных числа

$x,y,z\in \mathbb {R}$,

Все аксиомы метрического пространства выполняются, по свойствам модуля:

$~|x-y|=0\Leftrightarrow x=y$,

$~|x-y|=|-(y-x)|=|-1|\cdot |y-x|=|y-x|$,

$~|x-y|=|x-z+z-y|\leq |x-z|+|z-y|$.

Пусть (M, ρ) — метрическое пространство, и A — непустое подмножество множества M, тогда (A, ρ) — тоже является метрическим пространством, которое называется подпространством метрического пространства (M,ρ).

Например, множество рациональных чисел является подмножеством действительных чисел:

$\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$,

а следовательно, если взять естественную для вещественных чисел метрику

$\rho (x,y)=|x-y|$,

то

$(\mathbb {Q} ,\rho )$

будет метрическим пространством.

В принципе, любое множество можно рассматривать как метрическое пространство. Действительно, если для элементов произвольного множества ввести так называемую дискретную метрику:

$\rho (x,y)={\begin{cases}0,&x=y\\1,&x\neq y\end{cases}}$,

то получится метрическое пространство, которое называют пространством изолированных точек.

На одном и том же множестве можно задавать различные метрики (ниже дан пример), однако не следует считать, что метрику можно задавать произвольно. Дело в том, что при решении практических задач метрика, как правило, является частью постановки задачи.

Свойства метрики

Рассмотрим некоторые свойства метрики, которые могут быть выведены из её определения.

Свойство 1. Метрика является неотрицательной функцией:

$\rho (x,y)\geq 0$.

Доказательство:

По аксиоме тождества

$~\forall x\in M:\rho (x,x)=0$.

С другой стороны, по аксиоме треугольника:

$~\forall y\in M:\rho (x,x)\leq \rho (x,y)+\rho (y,x)$.

В силу аксиомы симметрии:

$~\rho (x,y)=\rho (y,x)$,

поэтому

$\forall y\in M:0=\rho (x,x)\leq 2\rho (x,y)$.

Откуда и получается, что

$\rho (x,y)\geq 0$.

Свойство 2 (Неравенство многоугольника). Для любой конечной системы элементов

$x_{1},x_{2},...,x_{n}$

множества M имеет место неравенство

$\rho (x_{1},x_{n})\leq \rho (x_{1},x_{2})+...+\rho (x_{n-1},x_{n})=\sum _{i=1}^{n-1}\rho (x_{i},x_{i+1})$.

Доказательство проводится с помощью метода математической индукции, база индукции — аксиома треугольника.

Предположим, утверждение верно для некоторого целого числа $m$. Рассмотрим систему из $m+1$ элемента. По аксиоме треугольника:

$\rho (x_{1},x_{m+1})\leq \rho (x_{1},x_{m})+\rho (x_{m},x_{m+1})$.

Но по предположению:

$\rho (x_{1},x_{m})\leq \rho (x_{1},x_{2})+...+\rho (x_{m-1},x_{m})$,

следовательно:

$\rho (x_{1},x_{m+1})\leq \rho (x_{1},x_{2})+...+\rho (x_{m-1},x_{m})+\rho (x_{m},x_{m+1})$.

Таким образом утверждение доказано для всех целых чисел $n>1$.

Свойство 3 (Неравенство четырёхугольника). Для любых четырёх элементов

$x,y,z,u\in M$

имеет место неравенство

$|\rho (x,z)-\rho (y,u)|\leq \rho (x,y)+\rho (z,u)$.

Доказательство основано на применении неравенства многоугольника для $n=4$:

$\rho (x,z)\leq \rho (x,y)+\rho (y,u)+\rho (u,z)\Rightarrow \rho (x,z)-\rho (y,u)\leq \rho (x,y)+\rho (u,z)$,

$\rho (y,u)\leq \rho (x,y)+\rho (x,z)+\rho (u,z)\Rightarrow \rho (y,u)-\rho (x,z)\leq \rho (x,y)+\rho (u,z)$.

Сравнивая два эти неравенства, получим

$\left|\rho (x,z)-\rho (y,u)\right|\leq \rho (x,y)+\rho (z,u)$.

Свойство 3а (Второе неравенство треугольника). Для любых трёх элементов

$x,y,z\in M$

имеет место неравенство

$|\rho (x,z)-\rho (z,y)|\leq \rho (x,y)$.

Для доказательства нужно положить $u=z$ в неравенстве четырёхугольника.

Важные неравенства

Для проверки аксиомы треугольника для различных пространств полезны следующие леммы.

Лемма 1 (неравенство Коши-Буняковского):

Для любых двух конечных наборов вещественных чисел $(a_{1},...,a_{n})$ и $(b_{1},...,b_{n})$ имеет место неравенство:

$\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}$.

Доказательство.

Определим функцию вещественного переменного $F(t)$ следующим образом

$F(t)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}t+b_{i})^{2}\geq 0$.

Применим формулу квадрата суммы:

$F(t)=t^{2}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2t\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}$.

Пусть сначала все $a_{i}$ равны нулю. В этом случае

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}=0$,

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=0$.

Так как $0\leq 0$, то в этом случае неравенство Коши-Буняковского действительно имеет место.

Теперь будем считать, что

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}>0$.

Поскольку

$F(t)\geq 0$

как сумма квадратов, то дискриминант $D$ квадратичной относительно $t$ функции $F(t)$ должен быть меньше либо равен нулю. Так как

$D=4\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}-4\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}$,

то

$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}-\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\leq 0$

и следовательно

$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}$.

Лемма доказана.

Лемма 2 (неравенство Минковского):

Для любых двух конечных наборов вещественных чисел $(a_{1},...,a_{n})$ и $(b_{1},...,b_{n})$ имеет место неравенство:

${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}$.

Доказательство.

По формуле квадрата суммы и в силу неравенства Коши-Буняковского:

$\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\leq \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}$.

Правая часть этого неравенства может быть записана в виде квадрата суммы:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}=\left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}\right)^{2}$.

Таким образом

$\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{2}\leq \left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}\right)^{2}$.

Неравенство Минковского получается после извлечения квадратного корня из правой и левой части данного неравенства.

Лемма 3 (Интегральное неравенство Коши-Буняковского).

$\int \limits _{a}^{b}f(t)g(t)dt\leq {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt}}\cdot {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}}$.

Доказательство.

Если одна из функций равна нулю на всём $[a;b]$, то левая и правая части нестрого неравенства равны нулю и лемма доказана. Теперь будем считать, что обе функции не равны тождественно нулю на всём $[a;b]$.

Рассмотрим неотрицательную функцию

$F(\lambda )=\int \limits _{a}^{b}[f(t)\lambda +g(t)]^{2}dt$.

По свойствам интеграла и формуле квадрата суммы:

$F(\lambda )=\lambda ^{2}\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt+2\lambda \int \limits _{a}^{b}f(t)g(t)dt+\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt$.

Функция $F(\lambda )$ является квадратичной и неотрицательной, значит её дискриминант должен быть меньше либо равен нулю:

$4\left(\int \limits _{a}^{b}f(t)g(t)dt\right)^{2}-4\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt\cdot \int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt\leq 0$,

откуда и следует утверждение леммы.

Лемма 4 (Интегральное неравенство Минковского).

${\sqrt {\int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt}}\leq {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt}}+{\sqrt {\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}}$.

Доказательство.

По свойствам интеграла:

$\int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt=\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt+2\int \limits _{a}^{b}f(t)g(t)dt+\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt$

Воспользуемся интегральным неравенством Коши-Буняковского:

$\int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt\leq \int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt+2{\sqrt {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt}}\cdot {\sqrt {\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}}+\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt$,

откуда следует

$\int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt\leq \left({\sqrt {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt}}+{\sqrt {\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}}\right)^{2}$.

Интегральное неравенство Минковского получается после извлечения квадратного корня из правой и левой части данного неравенства.

Примеры метрических пространств

Мы уже рассмотрели два метрических пространства: множество вещественных чисел и множество рациональных чисел. Ниже приведены ещё некоторые примеры метрических пространств, все они играют важную роль в математическом анализе и алгебре.

Проверка первых двух аксиом является, как правило, тривиальной задачей, основные трудности связаны с доказательством справедливости аксиомы треугольника.

Арифметическое евклидово пространство

Множество $\mathbb {R} ^{n}$ с метрикой

$\rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$

является метрическим пространством.

Действительно, рассмотрим любые три элемента из множества $\mathbb {R} ^{n}$:

$x=(x_{1},...,x_{n})$,

$y=(y_{1},...,y_{n})$,

$z=(z_{1},...,z_{n})$.

Тогда

1. $\rho (x,y)=0\Leftrightarrow {\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}=0\Leftrightarrow \forall i={\overline {1,n}}\quad (x_{i}-y_{i})^{2}=0\Leftrightarrow \;\forall i={\overline {1,n}}\quad x_{i}=y_{i}\Leftrightarrow x=y$.
2. $\rho (x,y)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{\big (}(-1)(y_{i}-x_{i}){\big )}^{2}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(y_{i}-x_{i})^{2}}}=\rho (y,x)$.

Перейдём к проверке третьей аксиомы.
  3.

$\rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i}+z_{i}-y_{i})^{2}}}$.

По неравенству Минковского (Лемма 2):

$\rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i}+z_{i}-y_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(z_{i}-y_{i})^{2}}}=\rho (x,z)+\rho (z,y)$,

то есть аксиома действительно выполняется.

Таким образом, $(\mathbb {R} ^{n},\rho )$ — метрическое пространство.

Метрика Хэмминга

Снова рассмотрим множество $\mathbb {R} ^{n}$, но расстояние в нём определим как сумму расстояний между координатами:

$\rho _{1}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|$.

Метрика такого вида называется метрикой Хэмминга.

Метрическое пространство $(R^{n},\rho _{1})$ обозначают $\mathbb {R} _{1}^{n}$.

Равномерная метрика

На множестве $\mathbb {R} ^{n}$ можно ввести ещё одну метрику

$\rho _{\infty }(x,y)=\max _{1\leq k\leq n}|x_{k}-y_{k}|$.

Пространство с данной метрикой обозначают $\mathbb {R} _{\infty }^{n}$.

Таким образом, три рассмотренных примера показывают, что на основе одного и того же множество можно, задавая различные метрики, строить различные метрические пространства.

Комплексные числа

Множество комплексных чисел $\mathbb {C}$ с метрикой

$\rho (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|$

является метрическим пространством. Справедливость аксиом следует из свойств модуля комплексного числа. Действительно, если $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$, а $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$, то

$|z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$,

таким образом, с точки зрения теории метрических пространств, множество комплексных чисел эквивалентно двумерному арифметическому евклидову пространству (геометрическая интерпретация комплексных чисел).

Непрерывные функции

Множество непрерывных на отрезке $[a,b]$ функций $C[a;b]$ с метрикой

$\rho (f,g)=\max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|$

является метрическим пространством.

Если $f=g$, то очевидно, что $\rho (f,g)=0$. Наоборот, если $\rho (f,g)=0$, то по определению метрики для данного пространства:

$\max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|=0$,

так как

$|f(x)-g(x)|\leq \max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|=0$,

то функции $f$ и $g$ равны друг другу на отрезке $[a,b]$. Аксиома тождества доказана.

Аксиома симметрии:

$\rho (x,y)=\max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|=\max _{x\in [a;b]}|-(f(x)-g(x))|=\max _{x\in [a;b]}|g(x)-f(x)|=\rho (y,x)$.

Аксиома симметрии тоже выполняется.

Докажем теперь аксиому треугольника. Для любых трёх функций

$f,g,h\in C[a;b]$,

в силу неравенства треугольника для модуля, выполняется неравенство

$|f(x)-g(x)|=|f(x)-h(x)+h(x)-g(x)|\leq |f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|$.

Возьмём максимальное значение левой и правой части:

$\max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|\leq \max _{x\in [a;b]}\left\{|f(x)-h(x)|+|g(x)-h(x)|\right\}$.

Так как на отрезке $[a;b]$ для любых двух функций $w_{1},w_{2}\in C[a;b]$, в силу определения наибольшего значения, имеет место неравенство

$w_{1}(x)+w_{2}(x)\leq \max _{x\in [a;b]}w_{1}(x)+\max _{x\in [a;b]}w_{2}(x)$,

а следовательно

$\max _{x\in [a;b]}\{w_{1}(x)+w_{2}(x)\}\leq \max _{x\in [a;b]}w_{1}(x)+\max _{x\in [a;b]}w_{2}(x)$,

то есть наибольшее значение суммы функций не превосходит суммы их наибольших значений.

Используем последнее неравенство, положив

$w_{1}(x)=|f(x)-h(x)|,~w_{2}(x)=|h(x)-g(x)|$,

получим

$\max _{x\in [a;b]}\{{|f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|}\}\leq \max _{x\in [a;b]}|f(x)-h(x)|+\max _{x\in [a;b]}|h(x)-g(x)|$.

А значит:

$\rho (f,g)=\max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|\leq \max _{x\in [a;b]}|f(x)-h(x)|+\max _{x\in [a;b]}|h(x)-g(x)|=\rho (f,h)+\rho (h,g)$.

Все аксиомы действительно выполняются.

На множестве непрерывных функций метрику можно определить иначе, например

$\rho (x,y)={\sqrt {\int \limits _{a}^{b}[x(t)-y(t)]^{2}dt}}$,

полученное метрическое пространство обозначают $C_{2}[a;b]$.

Пространства числовых последовательностей

Рассмотрим множество всевозможных числовых последовательностей вида

$x=\{x_{1},...,x_{n},...\}$,

удовлетворяющих условию

$\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}^{2}<\infty$.

Если на этом множестве ввести расстояние

$\rho (x,y)={\sqrt {\sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}-y_{k})^{2}}}$,

то получим метрическое пространство, которое обозначают $l_{2}$. Ряд

$\sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}-y_{k})^{2}$

сходится, если сходятся ряды

$\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}^{2},~\sum _{k=1}^{\infty }y_{k}^{2}$,

а значит введённая метрика имеет смысл для любых последовательностей из $l_{2}$.

Доказательство аксиом тождества и симметрии не представляет труда, доказательство справедливости аксиомы треугольника для указанной метрики можно с помощью предельного перехода в неравенстве Минковского.

Выводы

Приведённые примеры показывают, что понятия метрики и метрического пространства позволяют рассматривать с единых позиций такие непохожие на первый взгляд объекты, как вещественные и комплексные числа, вектора, непрерывные функции и числовые последовательности.