В основе математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности и операция предельного перехода.
Достаточно сказать, что производная и определённый интеграл определяются через понятие предела.
При определении предела используется тот факт, что на числовой прямой определено расстояние между вещественными числами.
Но оказывается, что для формулировки многих фундаментальных понятий и доказательства различных теорем анализа важна не природа действительных чисел, а только само понятие расстояния.
Обобщением представления о расстоянии между действительными числами на случай произвольного множества является понятие метрики, которое мы сейчас введём.
Определение метрического пространства
[править]
Пусть M — некоторое непустое множество, ρ — некое отображение, ставящие в соответствие двум элементам множества M некоторое вещественное число:
,
отображение ρ называется метрикой, если оно обладает следующими свойствами (аксиомы метрики):
- Аксиома тождества:
,
- Аксиома симметрии:
,
- Аксиома треугольника:
.
Совокупность множества M и определённой на нём метрики ρ называют метрическим пространством и обозначают (M,ρ).
Иногда, особенно когда из контекста понятно о какой метрике идёт речь, метрическое пространство обозначают так же, как и само множество М.
Элементы метрического пространства обычно называют точками.
Одним из простейших (и важнейших) примеров метрического пространства является числовая прямая.
Покажем, что множество вещественных чисел с метрикой ρ(x, y)=|х — у| является метрическим пространством.
Действительно, рассмотрим три произвольных вещественных числа
,
Все аксиомы метрического пространства выполняются, по свойствам модуля:
,
,
.
Пусть (M, ρ) — метрическое пространство, и A — непустое подмножество множества M, тогда (A, ρ) — тоже является метрическим пространством, которое называется подпространством метрического пространства (M,ρ).
Например, множество рациональных чисел является подмножеством действительных чисел:
,
а следовательно, если взять естественную для вещественных чисел метрику
,
то

будет метрическим пространством.
В принципе, любое множество можно рассматривать как метрическое пространство.
Действительно, если для элементов произвольного множества ввести так называемую дискретную метрику:
,
то получится метрическое пространство, которое называют пространством изолированных точек.
На одном и том же множестве можно задавать различные метрики (ниже дан пример), однако не следует считать, что метрику можно задавать произвольно.
Дело в том, что при решении практических задач метрика, как правило, является частью постановки задачи.
Рассмотрим некоторые свойства метрики, которые могут быть выведены из её определения.
Свойство 1. Метрика является неотрицательной функцией:
.
Доказательство:
По аксиоме тождества
.
С другой стороны, по аксиоме треугольника:
.
В силу аксиомы симметрии:
,
поэтому
.
Откуда и получается, что
.
Свойство 2 (Неравенство многоугольника). Для любой конечной системы элементов

множества M имеет место неравенство
.
Доказательство проводится с помощью метода математической индукции, база индукции — аксиома треугольника.
Предположим, утверждение верно для некоторого целого числа
.
Рассмотрим систему из
элемента.
По аксиоме треугольника:
.
Но по предположению:
,
следовательно:
.
Таким образом утверждение доказано для всех целых чисел
.
Свойство 3 (Неравенство четырёхугольника). Для любых четырёх элементов

имеет место неравенство
.
Доказательство основано на применении неравенства многоугольника для
:
,
.
Сравнивая два эти неравенства, получим
.
Свойство 3а (Второе неравенство треугольника). Для любых трёх элементов

имеет место неравенство
.
Для доказательства нужно положить
в неравенстве четырёхугольника.
Для проверки аксиомы треугольника для различных пространств полезны следующие леммы.
Лемма 1 (неравенство Коши-Буняковского):
Для любых двух конечных наборов вещественных чисел
и
имеет место
неравенство:
.
Доказательство.
Определим функцию вещественного переменного
следующим образом
.
Применим формулу квадрата суммы:
.
Пусть сначала все
равны нулю.
В этом случае
,
.
Так как
, то в этом случае неравенство Коши-Буняковского действительно имеет место.
Теперь будем считать, что
.
Поскольку

как сумма квадратов, то дискриминант
квадратичной относительно
функции
должен быть меньше либо равен нулю.
Так как
,
то

и следовательно
.
Лемма доказана.
Лемма 2 (неравенство Минковского):
Для любых двух конечных наборов вещественных чисел
и
имеет место
неравенство:
.
Доказательство.
По формуле квадрата суммы и в силу неравенства Коши-Буняковского:
.
Правая часть этого неравенства может быть записана в виде квадрата суммы:
.
Таким образом
.
Неравенство Минковского получается после извлечения квадратного корня из правой и левой части данного неравенства.
Лемма 3 (Интегральное неравенство Коши-Буняковского).
.
Доказательство.
Если одна из функций равна нулю на всём
, то левая и правая части нестрого неравенства равны нулю и лемма доказана.
Теперь будем считать, что обе функции не равны тождественно нулю на всём
.
Рассмотрим неотрицательную функцию
.
По свойствам интеграла и формуле квадрата суммы:
.
Функция
является квадратичной и неотрицательной, значит её дискриминант должен быть меньше либо равен нулю:
,
откуда и следует утверждение леммы.
Лемма 4 (Интегральное неравенство Минковского).
.
Доказательство.
По свойствам интеграла:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(t)+g(t)]^{2}dt=\int \limits _{a}^{b}f^{2}(t)dt+2\int \limits _{a}^{b}f(t)g(t)dt+\int \limits _{a}^{b}g^{2}(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c4857caed1359ea94da46b3de5026e859565b2)
Воспользуемся интегральным неравенством Коши-Буняковского:
,
откуда следует
.
Интегральное неравенство Минковского получается после извлечения квадратного корня из правой и левой части данного неравенства.
Примеры метрических пространств
[править]
Мы уже рассмотрели два метрических пространства: множество вещественных чисел и множество рациональных чисел.
Ниже приведены ещё некоторые примеры метрических пространств, все они играют важную роль в математическом анализе и алгебре.
Проверка первых двух аксиом является, как правило, тривиальной задачей, основные трудности связаны с доказательством справедливости аксиомы треугольника.
Арифметическое евклидово пространство
[править]
Множество
с метрикой

является метрическим пространством.
Действительно, рассмотрим любые три элемента из множества
:
,
,
.
Тогда
.
.
Перейдём к проверке третьей аксиомы.
3.
.
По неравенству Минковского (Лемма 2):
,
то есть аксиома действительно выполняется.
Таким образом,
— метрическое пространство.
Снова рассмотрим множество
, но расстояние в нём определим как сумму расстояний между координатами:
.
Метрика такого вида называется метрикой Хэмминга.
Метрическое пространство
обозначают
.
На множестве
можно ввести ещё одну метрику
.
Пространство с данной метрикой обозначают
.
Таким образом, три рассмотренных примера показывают, что на основе одного и того же множество можно, задавая различные метрики, строить различные метрические пространства.
Множество комплексных чисел
с метрикой

является метрическим пространством.
Справедливость аксиом следует из свойств модуля комплексного числа.
Действительно, если
, а
, то
,
таким образом, с точки зрения теории метрических пространств, множество комплексных чисел эквивалентно двумерному арифметическому евклидову пространству (геометрическая интерпретация комплексных чисел).
Множество непрерывных на отрезке
функций
с метрикой
![{\displaystyle \rho (f,g)=\max _{x\in [a;b]}|f(x)-g(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594b2b9d082955e804439ad9cdb01bf29ae59abc)
является метрическим пространством.
Если
, то очевидно, что
.
Наоборот, если
, то по определению метрики для данного пространства:
,
так как
,
то функции
и
равны друг другу на отрезке
.
Аксиома тождества доказана.
Аксиома симметрии:
.
Аксиома симметрии тоже выполняется.
Докажем теперь аксиому треугольника.
Для любых трёх функций
,
в силу неравенства треугольника для модуля, выполняется неравенство
.
Возьмём максимальное значение левой и правой части:
.
Так как на отрезке
для любых двух функций
, в силу определения наибольшего значения, имеет место неравенство
,
а следовательно
,
то есть наибольшее значение суммы функций не превосходит суммы их наибольших значений.
Используем последнее неравенство, положив
,
получим
.
А значит:
.
Все аксиомы действительно выполняются.
На множестве непрерывных функций метрику можно определить иначе, например
,
полученное метрическое пространство обозначают
.
Пространства числовых последовательностей
[править]
Рассмотрим множество всевозможных числовых последовательностей вида
,
удовлетворяющих условию
.
Если на этом множестве ввести расстояние
,
то получим метрическое пространство, которое обозначают
.
Ряд

сходится, если сходятся ряды
,
а значит введённая метрика имеет смысл для любых последовательностей из
.
Доказательство аксиом тождества и симметрии не представляет труда, доказательство справедливости аксиомы треугольника для указанной метрики можно с помощью предельного перехода в неравенстве Минковского.
Приведённые примеры показывают, что понятия метрики и метрического пространства позволяют рассматривать с единых позиций такие непохожие на первый взгляд объекты, как вещественные и комплексные числа, вектора, непрерывные функции и числовые последовательности.