Теория функций действительного переменного/Теория дифференцирования

Теория функций действительного переменного

Монотонные функции

Функция $f$ , заданная на некотором отрезке числовой прямой называется монотонной, если из

x_{1}\leq x_{2}

следует

f(x_{1})\leq f(x_{2})

.

Рассмотрим один важный класс монотонных функций — функции скачков. Пусть на отрезке $[a;b]$ задано конечное или счётное число точек

~x_{1},x_{2},...,x_{n},...

,

причём

a\leq x_{n}<b

.

и для каждой из них определено положительное число $h_{n}$ , причём сумма

\sum _{n=1}^{\infty }h_{n}

ограничена. Определим функцию $f$ на отрезке $[a;b]$ следующим образом:

f(x)=\sum _{x_{n}<x}h_{n}

.

Очевидно, что построенная функция является монотонной неубывающей и непрерывной слева. Можно образом построить аналогичную невозрастающую функцию, для этого достаточно потребовать, чтобы все $h_{n}$ были отрицательными.

Множество точке разрыва построенной таким образом функции совпадает с множеством $\{x_{n}\}$ , причём скачок в точке $x_{n}$ равен $h_{n}$ .

Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций.

Свойство 1. Всякая монотонная на отрезке $[a;b]$ функция $f$ измерима, ограничена и, как следствие, суммируема.

Доказательство. Рассмотрим монотонно неубывающие функции. Ограниченность следует из определения монотонной функции, действительно, на отрезке $[a;b]$ имеют место неравенства

f(a)\leq f(x)\leq f(b)

.

Для любого постоянного вещественного числа $c$ множество

X_{c}=\{x\mid f(x)<c\}

есть либо отрезок, либо полуинтервал, либо пустое множество, отсюда и следует измеримость функции.

Для монотонно невозрастающих функции доказывается аналогично.

Свойство 2. Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода.

Доказательство. Пусть $c$ — некоторая точка отрезка $[a;b]$ . Рассмотрим возрастающую последовательность

\{x_{n}\}

такую, что

\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=c

,

причём

x_{n}<c

.

Построим последовательность значений функции

\{f(x_{n})\}

,

данная последовательность является монотонной и ограниченной, а следовательно имеет предел, таким образом функция $f(x)$ имеет предел слева в каждой точке. Аналогично можно доказать существование правого предела монотонной функции в любой точке.

Свойство 3. Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счётно.

Доказательство. Сумма любого конечно числа скачков монотонной на отрезке $[a;b]$ функции $f$ не превосходит $f(b)-f(a)$ , следовательно, для каждого натурального числа $n$ число скачков, величина которых больше, чем $1/n$ ограничено величиной

{f(b)-f(a)} \over n

.

Произведя суммирование по всем натуральным числам, получаем, что количество скачков конечно или счётно.

Свойство 4. Всякую монотонную функцию, непрерывную слева, можно представить в виде суммы непрерывной монотонной функции и непрерывной слева функции скачков, причём это представление — единственно.

Функции с ограниченным изменением

Функция $f$ , заданная на отрезке $[a;b]$ называется функцией с ограниченным изменением, если существует такое вещественное число $M$ , что для любого разбиения отрезка $[a;b]$ точками

a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b

выполняется неравенство

\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|\leq M

.

Всякая монотонная функция является функцией с ограниченным изменением, так как для неё величина суммы не зависит от разбиения отрезка и равна $|f(b)-f(a)|$ .

Пусть $f$ — функция с ограниченным изменением. Точная верхняя грань сумм

\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|

по всевозможным конечным разбиениям отрезка $[a;b]$ называется полным изменением (или полной вариацией) функции $f$ на отрезке $[a;b]$ и обозначается $V_{a}^{b}[f]$ , таким образом

V_{a}^{b}[f]=\sup \sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|

Функция, заданная на всей числовой прямой называется функцией с ограниченным изменением, если для всевозможных отрезков $[a;b]$ величины $V_{a}^{b}[f]$ ограничены в совокупности. Величина

\lim _{\begin{smallmatrix}{a\rightarrow -\infty }\\{b\rightarrow +\infty }\end{smallmatrix}}V_{a}^{b}[f]

называется полным изменением функции на числовой прямой и обозначатся

V_{-\infty }^{+\infty }[f]

.

Свойство 1. Если $\alpha$ — вещественное число, тогда

V_{a}^{b}[\alpha f]=|\alpha |V_{a}^{b}[f]

.

Свойство 2. Если $f$ и $g$ — функции с ограниченным изменением, то функция $f+g$ также является функцией с ограниченным изменением, причём

V_{a}^{b}[f+g]\leq V_{a}^{b}[f]+V_{a}^{b}[g]

.

Из свойств 1 и 2 следует, что функции с ограниченным изменением образуют линейное пространство.

Свойство 3. Если $a<b<c$ , то

V_{a}^{c}[f]=V_{a}^{b}[f]+V_{b}^{c}[f]

.

Свойство 4. Если рассматривать полное изменение как функцию верхнего предела

v(x)=V_{a}^{x}[f]

,

то эта функция будет монотонно неубывающей.

Свойство 5. Если функция $f$ — непрерывна в точке $x^{*}$ слева, то и функкция

v(x)=V_{a}^{x}[f]

будет непрерывна в этой точке слева.

Теорема. Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена как разность двух монотонно неубывающих функций.

Полное изменение функции $V_{a}^{b}[f]$ обладает обладает свойствами 1, 3 и 4 нормы, но не свойством 2 (для всех постоянных функций полное изменение равно нулю). Рассмотрим функции с ограниченным изменением, удовлетворяющие условию

f(a)=0

,

эти функции образуют линейное пространство, в котором полное изменение обладает всеми свойствами нормы. Это пространство обозначают $V^{0}[a;b]$ .

Можно доказать, что функционал

|f(a)|+V_{a}^{b}[f]

обладает всем свойствами нормы в пространстве всех функций с ограниченным измерением, а само это пространство является полным.

Производная

Теорема 1 (Лебег). Монотонная функция $f$ , определённая на отрезке $[a;b]$ , имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную.

Абсолютно непрерывные функции