Определение и примеры[править]
Метрическое пространство (M, ρ) называется полным, если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Рассмотрим множество вещественных чисел с «естественной» метрикой
, то есть метрическое пространство
.
Если
— фундаментальная последовательность элементов пространства
, то
.
В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности последовательность
сходится, а следовательно
— полное метрическое пространство.
Пример 2. Пусть M = (0; 1), ρ(x, y)=|x-y|.
Рассмотрим последовательность

элементов множества
.
Так как
,
то последовательность

сходится и (согласно свойству 1 фундаментальных последовательностей) является фундаментальной.
Но
, поэтому пространство (M, ρ) — не является полным метрическим пространством.
Причина этого заключается в том, что интервал
— незамкнутый.
Замечание. Последовательность
является примером фундаментальной последовательности элементов множества M, которая не сходится в M.
Пример 3. Пусть
, ρ(x, y)=|x — y|.
Рассмотрим следующую последовательность

рациональных чисел.
Как известно из математического анализа:
.
Таким образом, в метрическом пространстве (Q, ρ) существуют фундаментальные послеовательности, которые не сходятся к элементам
, следовательно, (Q, ρ) не является полным метрическим пространством.
Пример 4. Рассмотрим n-мерное евклидово пространство
с метрикой
.
Покажем, что метрическое пространство
— полное.
Рассмотрим фунментальную последовательность

(здесь номера членов последовательности обозначены индексом в скобках наверху).
По определению фундаментальной последовательности,

выполняется неравенство
.
Пример 5. Покажем, что метрическое пространство непрерывных на отрезке
функций
с метрикой
![{\displaystyle \rho (f,g)=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5766d32439958733757919d3d7308f8129d6005e)
является полным.
Рассмотрим фундаментальную последовательность непрерывных функций
,
тогда для любого вещественного числа
существует такой номер
что
при
для любого
выполняется неравенство
,
это означает, что последовательность
сходится равномерно, а так как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция

Если в неравенстве
,
перейти к пределу при
, то оно перейдёт в неравенство

справедливое для всех
и любого
, а значит
,
таким образом последовательность
к
в метрике пространства
.
Пример 6. Покажем что пространство непрерывных функций
не является полным.
Рассмотрим последовательность непрерывных функций вида
.
Последовательность
является фундаментальной. Действительно, рассмотрим две функции
и
, они отличаются друг от друга лишь на отрезке ширины
,
причём абсолютная величина различия не превышает 1, следовательно
.
Однако последовательность
не сходится ни к одной непрерывной функции из
.
Для доказательства этого факта рассмотрим произвольную функцию
и разрывную функцию
.
В силу интегрального неравенства Минковского (это неравенство справедливо и для кусочно-непрерывных функций):
.
Так как
— непрерывная функция, а
имеет разрыв, то
.
С другой стороны:
![{\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}[g_{n}(t)-g(t)]^{2}dt\leq {\frac {2}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de3663efdc39e7089f1e68af3019f53aff8e227)
и следовательно
.
Таким образом:
.
Теоремы о полных пространствах[править]
Теорема 1. Пусть (M, ρ) — полное метрическое пространство и
.
Метрическое пространство (F, ρ) является полным тогда и только тогда, когда
(F — замкнутое.)
Теорема 2 (о вложенных шарах). Для того, чтобы метрическое пространство было полным необходимо и достаточно, чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.
Необходимость.
Рассмотрим полное метрическое пространство
и последовательность
вложенных друг в друга замкнутых шаров с центрами
и радиусами
:
.
Последовательность центров
является фундаментальной, так как
,
и
.
Так как пространство
является полным, то последовательность
сходится и
.
Шар
содержит все точки последовательность
кроме, быть может, точек
, а следовательно
— точка прикосновения любого из шаров
, так как шары предполагаются замкнутыми, отсюда следует, что
.
По определению пересечения множеств
.
Таким образом, пересечение шаров
действительно не является пустым множеством.
Достаточность.
Пусть
— фундаментальная последовательность, тогда можно указать такой номер
, что для
будет выполняться неравенство
.
Обозначим
.
Следующий номер
выберем таким образом, чтобы при
выполнялось неравенство
.
Обозначим
.
Пусть мы уже выбрали номера
.
Номер
выберем так, чтобы при
выполнялось неравенство
,
обозначим
.
Продолжая этот процесс, мы получим последовательность замкнутых вложенных шаров, по предположению теоремы эта последовательность имеет общую точку, обозначим эту точку как
.
Очевидно, что эта точка служит пределом последовательности
.
Фундаментальная последовательность, содержащая сходящуюся подпоследовательность, сходится к тому же пределу, следовательно
.
Так как последовательность взята произвольно, то метрическое пространство
является полным.
Теорема 3 (Бэр). Полное метрическое пространство
не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств.
Доказательство проведём от противного.
Пусть
,
причём каждое из множеств
нигде не плотно.
Рассмотрим некоторый замкнутый шар
радиуса 1, так как множество
нигде не плотно, то оно не плотно и в шаре
, то есть существует шар
, радиус которого меньше
, такой, что
.
Множество
не плотно в шаре
, значит существует шар
, радиус которого меньше
, для которого
,
и так далее.
Таким образом можно получить последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров
,
радиусы которых стремятся к нулю, причём
.
По теореме о вложенных шарах пересечение

содержит некоторую точку
, которая не принадлежит ни одному из
, так как
,
а значит точка
не принадлежит и объединению всех
,
то есть
,
что противоречит исходному предположению.
Теорема доказана.
Пополнение метрического пространства[править]
Полнота пространства является очень важным с точки зрения анализа свойством, так как в неполных пространствах не все фундаментальные последовательности имеют предел.
Возникает вопрос: можно ли расширить неполное пространство таким образом, чтобы оно стало полным.
Оказывается, что это всегда можно сделать, причём такое расширение является, по-существу, единственным.
Напомним, что множество

называется всюду плотным в M, если имеет место равенство
.
Например, множество рациональных чисел
является плотным в множестве всех действительных чисел
, так как
.
Пусть (M, ρ) — полное метрическое пространство и
.
(M, ρ) называется пополнением метрического пространства (X, ρ), если
.
Например,
— пополнение метрического пространства
.
Справедлива следующая теорема:
Теорема 4. Любое метрическое пространство
имеет пополнение, причём единственно с точностью до изометрии.
Существование.
Назовём две фундаментальные последовательности
и
элементов пространства
эквивалентными, если
.
Обозначать факт эквивалентности двух последовательностей будем следующим образом:
.
Используя аксиомы метрики, можно показать, что введённое нами отношение эквивалентности двух последовательностей является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
Таким образом, все фундаментальные последовательности точек метрического пространства
распадаются на классы эквивалентных друг другу последовательностей.
Рассмотрим пространство
, элементами которого являются классы эквивалентных последовательностей.
Метрика в нём может быть определена следующим образом.
Пусть
и
— два класса эквивалентности.
Выберем в каждом из них по одной фундаментальной последовательности

и положим
.
Для того, чтобы функцию
можно было считать метрикой в пространстве
, нужно доказать, что данный предел существует и не зависит от выбора последовательностей, кроме того, должны выполняться аксиомы метрики.
В силу неравенства четырёхугольника:
.
Так как последовательности
и
являются фундаментальными, то можно указать такое натуральное число
, что при
выполняется неравенство
.
Таким образом, последовательность вещественных чисел
имеет предел в силу критерия Коши.
Докажем, что данный предел не зависит от выбора последовательностей.
Пусть

.
По неравенству четырёхугольника
.
А так как
,
то по введённому определению эквивалентности
,
то есть
.
Таким образом, значение предела действительно не зависит от выбора последовательности.
Проверим теперь, выполняются ли аксиомы метрики для функции
.
Аксиомы тождества и симметрии следуют непосредственно из введённого определения эквивалентности.
Для доказательства аксиомы треугольника рассмотрим три класса эквивалентности
.
Выберем в каждом из этих классов по одной последовательности
.
Так как исходное пространство
является метрическим, то
.
Переходя в этом неравенстве к пределу, получим
,
то есть, по определению функции
:
.
Теперь докажем, что
можно рассматривать как подпространство пространства
.
Каждой точке
можно поставить в соответствие класс эквивалентности
, представляющий собой множество последовательностей, сходящихся к точке
.
Данный класс содержит по меньшей мере один элемент — стационарную последовательность, все элементы которой равны
.
Если
,
то по определению
и в силу непрерывности метрики
,
таким образом, существует изометрическое отображение элементов пространства
в
.
Так как с точки зрения теории метрических пространств изометричные пространства не различаются, то можно не различать пространство
и его образ в
.
Докажем, что
всюду плотно в
.
Пусть дана произвольная точка
и вещественное число
.
Выберем произвольную фундаментальную последовательность
.
Можно указать такой номер
, что при
будет выполняться неравенство
.
Тогда при
будем иметь
.
Таким образом в любой окрестности произвольной точки
содержится точка из
, то есть
.
Докажем наконец, что пространство
является полным.
По построению, любая последовательность точек
сходится к некоторой точке пространства
.
Пусть дана последовательность
точек пространства
.
Из точек пространства
можно построить последовательность эквивалентных, для этого достаточно в качестве
взять такую точку, чтобы выполнялось неравенство
.
Построенная таким образом последовательность будет фундаментальной в
, а значит будет сходится к некоторому классу
, а так как последовательности
и
эквивалентны, то они сходятся к одному пределу.
Единственность.
Пусть
и
— два пополнения пространства
, покажем, чтото между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие

такое, что
,
,
где
и
— метрики пространств
и
соответственно.
Выберем произвольную точку
.
Так как по предположению
— пополнение пространства
, то существует фундаментальная последовательность
, сходящаяся к точке
.
Но так как
тоже является пополнением
, то данная последовательность сходится к некоторой точке
.
Можно доказать, что
не зависит от выбора последовательности.
Если положить
,
то получим искомое отображение.
Действительно, если
, то
.
Кроме того, если в пространстве
,
а в пространстве
,
то в силу непрерывности метрики
,
,
а следовательно
.
Теорема доказана.