Теория функций действительного переменного/Принцип сжимающиющихся отображений

Теория функций действительного переменного

Пусть $R=(M,\rho )~$ — метрическое пространство.

Отображение $A$ метрического пространства $R$ в себя называется сжимающим отображением или сжатием, если существует такое положительное действительное число $\alpha <1$ , что для любых двух точек $x,y\in R$ имеет место неравенство:

\rho (Ax,Ay)\leq \alpha \rho (x,y)

.

Всякое сжимающее отображение является непрерывным. Действительно, условие

\rho (Ax,Ay)\leq \epsilon

выполняется для таких точек $x,y\in R$ , что

~\rho (x,y)<\delta ={\epsilon /\alpha }

.

Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если имеет место равенство

~Ax=x

.

Другими словами, неподвижная точка — это решение уравнения

~Ax=x

.

Теорема 1 (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение $A$ , заданное на полном метрическом пространстве $R$ , имеет одну и только одну неподвижную точку.

Доказательство.

Пусть $x_{0}$ — произвольная точка пространства $R$ . Положим

x_{1}=Ax_{0}

,

~x_{2}=Ax_{1}=A^{2}x_{0}

и так далее:

~x_{n}=Ax_{n-1}=A^{n}x_{0}

.

Докажем, что последовательность $\{x_{n}\}$ является фундаментальной. Пусть, для определённости, $m>n$ . Тогда

x_{m}=A^{m}x_{0}=A^{n}\left(A^{m-n}x\right)=A^{n}x_{m-n}

.

По определению сжимающего отображения:

\rho (x_{n},x_{m})=\rho (A^{n}x_{0},A^{n}x_{m-n})\leq \alpha ^{n}\rho (x_{0},x_{m-n})

.

Воспользуемся неравенством многоугольника:

\rho (x_{0},x_{m-n})\leq \sum _{k=1}^{n-m}\rho (x_{k-1},x_{k})\leq \rho (x_{0},x_{1})\sum _{k=1}^{n-m}\alpha ^{k-1}

.

По формуле для суммы геометрической прогрессии:

\sum _{k=1}^{n-m}\alpha ^{k-1}={{1-\alpha ^{n-m-1}} \over {1-\alpha }}\leq {1 \over {1-\alpha }}

.

Используем полученные соотношения:

\rho (x_{n},x_{m})\leq \rho (x_{0},x_{1}){{\alpha ^{n}} \over {1-\alpha }}

.

Так как $\alpha <1$ , то при достаточно большом $n$ величина $\rho (x_{n},x_{m})$ станет меньше любого наперёд заданного вещественного числа $\epsilon >0$ , откуда и следует фундаментальность последовательности.

Поскольку $R$ — полное метрическое пространство, то последовательность $\{x_{n}\}$ будет иметь предел в этом пространстве. Обозначим этот предел как $x$ :

x=\lim _{n\to \infty }x_{n}

.

Отображение $A$ непрерывно, поэтому

Ax=A\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\left(Ax_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=x

.

Существование неподвижной точки доказано.

Докажем теперь её единственность. Доказательство проведём от противного. Пусть у отображения $A$ есть две неподвижные точки $x$ и $y$ , тогда имеют места равенства:

~Ax=x

,

~Ay=y

.

По определению сжимающего отображения:

\rho (Ax,Ay)\leq \alpha \rho (x,y)

,

с другой стороны, по определению неподвижной точки:

~\rho (Ax,Ay)=\rho (x,y)

.

Из этих двух соотношений можно вывести, что

\rho (x,y)\leq \alpha \rho (x,y)

.

Так как $\alpha <1$ , то выполнение последнего неравенство возможно только если $\rho (x,y)=0$ , откуда, по аксиоме тождества метрики следует, что $~x=y$ . Теорема доказана.

Следует отметить, что доказательство принципа сжимающих отображений конструктивно: данная теорема не только доказывает существование единственного решения, но и указывает конкретный метод приближённого нахождения этого решения (называемый методом последовательных приближений или методом простой итерации).

Принцип сжимающих отображений может быть применён для доказательства существования и единственности решения различных видов уравнений. Ниже дан простейший пример применения принципа сжимающих отображений, ещё несколько примеров приведены в следующем разделе.