Теория функций действительного переменного/Сходимость метрического пространства

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Наличие метрики позволяет определить в абстрактном множестве понятие предела и операцию предельного перехода. Понятие предела последовательности абстрактного множества опирается на понятие предела числовой последовательности.

Предел последовательности в метрическом пространстве

Определение 1:  Последовательностью {x_n} в метрическом пространстве (M, ρ) называется отображение из множества натуральных чисел в множество M.

Определение 2:  Последовательность {x_n} элементов метрического пространства называется сходящейся к элементу $a\in M$, а сам элемент $a$ называется пределом последовательности, если

$\lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},a)=0$,

это равносильно тому, что для любого вещественного числа $\epsilon >0$ существует натуральное число $n_{0}$ такое, что для любого номера $~n>n_{0}$ выполняется неравенство

$~\rho (x_{n},a)<\epsilon$.

Свойство 1 (Единственность предела). Если у последовательности {x_n} существует предел, то он единственный.

Доказательство. Допустим, что у данной последовательности существует несколько пределов:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

и

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=b$.

Тогда, по определению предела последовательности:

$\lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},a)=\lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},b)=0$.

Согласно неравенству треугольника и свойству неотрицательности метрики:

$0\leq \rho (a,b)\leq \rho (a,x_{n})+\rho (x_{n},b)$

Переходя к пределу при $n\to \infty$, получим:

$0\leq \rho (a,b)\leq 0+0=0$.

А из равенства нулю метрики для двух элементов следует их равенство.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что сходящаяся последовательность {x_n} элементов множества M ограничена, покажем, что все её члены содержатся в некотором шаре B конечного радиуса. Пусть последовательность {x_n} сходится в пространстве M, тогда последовательность {ρ (x_n, a)} сходится на множестве действительных чисел:

$(\exists M>0)\quad (\forall n\in \mathbb {N} )\quad \rho (x_{n},a)\leq \;M$.

Следовательно,

$\forall n\in \mathbb {N} \quad x_{n}\in B[a,M]$

Определение 3:  Последовательность {x_nk} называется подпоследовательностью последовательности {x_n}, если $\{n_{k}\}$ — возрастающая последовательность натуральных чисел.

На основании определения 3 докажите самостоятельно свойство:

Свойство 3. Если последовательность {x_n} сходится к элементу a, то и любая её подпоследовательность сходится к тому же самому элементу.

Свойство 4 (Непрерывность метрики).: Пусть заданы две последовательности

$\{x_{n}\}$, $\{y_{n}\}$,

причём

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$,

тогда

$\lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},y_{n})=\rho (a,b)$.

Доказательство.

Согласно неравенству четырёхугольника, для каждого номера n 

$|\rho (x_{n},y_{n})-\rho (a,b)|\leq \rho (x_{n},a)+\rho (y_{n},b)$.

Переходя к пределу в правой и левой частях неравенства, и учитывая свойство неотрицательности метрики, получаем:

$0\leq \lim _{n\to \infty }|\rho (x_{n},y_{n})-\rho (a,b)|\leq 0+0$.

Отсюда

$\lim _{n\to \infty }\left(\rho (x_{n},y_{n})-\rho (a,b)\right)=0$.

Предел разности равен разности пределов, поэтому

$\lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},y_{n})=\rho (a,b)$

Что и требовалось доказать.

Понятие фундаментальной последовательности в метрическом пространстве

Определение 4:  Последовательность {x_n} из M называется фундаментальной, если для любого вещественного числа $\epsilon >0$ существует такое натуральное число $n_{0}$, что для всех номеров

$n,m>n_{0}$

выполняется неравенство

$\rho (x_{n},x_{m})<\epsilon$.

Рассмотрим некоторые свойства фундаментальных последовательностей.

Свойство А. Если последовательность сходится, то она является фундаментальной.

Доказательство.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }\rho (x_{n},a)=0$.

Воспользуясь определением предела, запишем это как

$(\forall \epsilon >0)\quad (\exists n_{0}\in \mathbb {N} )\quad (\forall n>n_{0})\quad \rho (x_{n},a)<{\frac {\epsilon }{2}}$.

Следовательно, при любых n>n₀ и m>n₀

$\rho (x_{n},x_{m})\leq \rho (x_{n},a)+\rho (x_{m},a)<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$,

что и требовалось доказать.

Замечание: Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

Свойство Б. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.

Доказательство.

Чтобы доказать, что {x_n} ограничена, нужно доказать, что все её члены содержаться в некотором шаре B конечного радиуса r. Пусть

$(\forall \epsilon >0)\quad (\exists n_{0}\in \mathbb {N} )\quad (\forall n>n_{0})\quad (\forall m>n_{0})\quad \rho (x_{n},x_{m})<\epsilon$.

Положим $\epsilon =1$(найдя для него соответствующее n₀), m= n₀+1. Тогда

$\forall n>n_{0}\quad \rho (x_{n},x_{n_{0}+1})<1$.

Определим число $r$ следующим образом:

$r=\max\{1,\rho (x_{1},x_{n_{0}+1}),\rho (x_{2},x_{n_{0}+1}),...,\rho (x_{n_{0}},x_{n_{0}+1})\}$,

тогда для любого номера n будет иметь место

$x_{n}\in B[x_{n_{0}+1},r]$,

свойство доказано.

Свойство В. Если последовательность фундаментальна, то и любая её подпоследовательность фундаментальна. (Доказать самостоятельно).

Свойство Г. Если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности {x_n} сходится к элементу a, то к элементу a сходится и вся последовательность.

Доказательство.