Теория функций действительного переменного/Непрерывные отображения метрического пространства

Теория функций действительного переменного

Непрерывная функция мало меняется при малом изменении аргумента. Легко понять, что это важнейшее для приложений математики свойство. Допустим, что зависимость какого-то технического устройства от характеристик его составных частей не является непрерывной. Это означало бы, что малейшая погрешность при изготовлении детали может привести к полной неработоспособности всего устройства.

Для отображений произвольных метрических пространств также можно ввести понятие непрерывности.

Непрерывность в точке

Пусть даны два метрические пространства R = (X, ρ_X) и R' = (Y, ρ_Y), подмножество $A\subset X$ и отображение $f\colon A\to Y$ .

Непрерывность отображения метрического пространства можно определить несколькими способами. Данное определение обобщает известное определение непрерывной функции из математического анализа.

Определение 1. Отображение f называется непрерывным в точке $a\in A$ , если для любого вещественно числа $\epsilon >0$ существует такое вещественное число $\delta >0$ , что для любой точки $x\in A$ из неравенства

~\rho _{X}(x,a)<\delta

следует неравенство

~\rho _{Y}(f(x),f(a))<\epsilon

.

Нестрого говоря, отображение называется непрерывным, если оно переводит близкие точки в близкие (близость определяется метрикой соответствующих пространств).

Определение 2 (по Коши). Отображение f называется непрерывным в точке $a$ , если для любого вещественно числа $\epsilon >0$ существует такое вещественное число $\delta >0$ , что из

x\in A\cap B(a,\delta )

следует

f(x)\in B(f(a),\epsilon )

.

Определение 3 (по Гейне). Отображение f называется непрерывным в точке $a\in A$ , если для любой последовательности $\{x_{n}\}$ точек множества $A$ сходящейся к точке $a\in A$ :

\lim _{n\to \infty }x_{n}=a

,

имеет место равенство

\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(a)

.

Можно доказать, что все три эти определения эквивалентны.

Эквивалентность определений непрерывности

Рассмотрим определение непрерывного отображения по Коши. Если

x\in A\cap B(a,\delta )

,

то по определению пересечения множества

x\in A,~x\in B(a,\delta )

,

по определению открытого шара в этом случае

\rho _{X}(x,a)<\delta

.

Аналогично

f(x)\in B(f(a),\epsilon )\Leftrightarrow \rho _{Y}(f(x),f(a))<\epsilon

.

Таким образом, определение по Коши эквивалентно определению 1.

Теперь рассмотрим определение по Гейне. Если последовательность $\{x_{n}\}$ сходится к $a\in A$ , то для любого вещественного числа $\delta >0$ существует такой номер $n_{\delta }>0$ , что

n>n_{\delta }\Rightarrow \rho _{X}(x_{n},a)<\delta

.

Аналогично, если

\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(a)

,

то для любого вещественного числа $\epsilon >0$ существует такой номер $n_{\epsilon }>0$ , что

n>n_{\epsilon }\Rightarrow \rho _{Y}(f(x_{n}),f(a))<\epsilon

.

Если выбрать из $n_{\epsilon }$ и $n_{\delta }$ наибольшее

n_{0}=\max(n_{\epsilon },n_{\delta })

,

то при $n>n_{0}$ будут выполняться оба условия. Последовательность $\{x_{n}\}$ можно взять произвольно, значит для любого $x\in A$ такого, что

~\rho _{X}(x,a)<\delta

будет выполняться неравенство

~\rho _{Y}(f(x),f(a))<\epsilon

.

Непрерывность и равномерная непрерывность на множестве

Отображение f называется непрерывным на множестве A, если оно непрерывно в каждой точке этого множества, то есть

(\forall a\in A)(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)\quad \rho _{X}(x,a)<\delta \Rightarrow \rho _{Y}(f(x),f(a))<\epsilon

Отображение f называется равномерно-непрерывным на множестве A, если

(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x_{1},x_{2}\in A)\quad \rho _{X}(x_{1},x_{2})<\delta \Rightarrow \rho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon

.

Теорема 1. Если отображение f равномерно-непрерывно на множестве A, то оно и непрерывно на этом множестве.

Доказательство. Чтобы доказать теорему, покажем, что равномерно-непрерывное отображение f непрерывно для любого элемента из A. Возьмём произвольный элемент $a\in A$ , зафиксируем его и положим x₂=a в определении равномерно-непрерывного отображения:

(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x_{1}\in A)\quad \rho _{X}(x_{1},a)<\delta \Rightarrow \rho _{Y}(f(x_{1}),f(a))<\epsilon

,

а это обозначает, что отображение непрерывно в $a$ , а так как элемент $a$ был выбран произвольно, то f — непрерывно на всём множестве A.

Изометрические пространства

Если отображение $f:X\to Y$ взаимно-однозначно, то существует обратное отображение $f^{-1}:Y\to X$ . Если отображение f — взаимно-однозначно и взаимно-непрерывно (то есть непрерывно как f, так и $f^{-1}$ ), то оно называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом, а пространства (X, ρ_X) и (Y, ρ_Y), между которыми можно установить гомеоморфизм, называются гомеоморфными между собой.

Взаимно-однозначное отображение

f\colon R\to R'

называется изометрией, если для любых двух точек $\forall x_{1},x_{2}\in R$ имеет место равенство

~\rho _{X}(x_{1},x_{2})=\rho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))

,

то есть если это отображение сохраняет значение метрики. Пространства R и R', между которыми можно установить изометрическое соответствие, называются изометричными.

Изометрия пространств означает, что с точки зрения теории метрических пространств эти пространства можно рассматривать просто как тождественные.

Дополнения

Аналогичным образом можно ввести понятие непрерывной функции от нескольких переменных $x_{1}\in X_{1},...,x_{n}\in X_{n}$ , где $~X_{1},...,X_{2}$ — метрические пространства, со значениями в метрическом пространстве (Y, ρ_Y).

Замечание. Сама метрика является непрерывным отображением от двух переменных на множество действительных чисел. Это следует из свойства 4 сходящихся последовательностей.