Теория функций действительного переменного/Применение принципа сжимающихся отображений

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

В данном разделе приведены примеры применения принципа сжимающих отображений к уравнениям различных видов.

Системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим отображение A n-мерного арифметического эвклидова пространства в себя

$y_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}+b_{i},~i=1,...,n$.

Если данное отображение является сжатием, то для решения уравнения $Ax=x$ можно применить принцип сжимающих отображений. Определим, при каких условиях отображение A будет сжимающим. В рассматриваемом пространстве метрику можно ввести несколькими способами. Рассмотрим три варианта.

Равномерная метрика

$\rho (x,y)=\max _{1\leq i\leq n}\left|x_{i}-y_{i}\right|$. Рассмотрим два вектора: x и x' — преобразование A ставит им в соответствие вектора y и y':

$\rho (y,y')=\max _{1\leq i\leq n}\left|y_{i}-y'_{i}\right|=\max _{1\leq i\leq n}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\left(x_{j}-x'_{j}\right)\right|$

Применив аксиому треугольника для модуля, получим:

$\rho (y,y')\leq \max _{1\leq i\leq n}\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\left|x_{j}-x'_{j}\right|$.

Так как

$\left|x_{j}-x'_{j}\right|\leq \max _{1\leq i\leq n}\left|x_{j}-x'_{j}\right|=\rho (x,x')$,

то

$\rho (y,y')\leq \left(\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\right)\rho (x,x')$.

Отсюда следует условие сжимаемости:

$\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\leq \alpha <1,~i=1,...,n$

«Городская метрика»

Пусть теперь метрика задана следующим образом:

$\rho (x,y)=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|$,

тогда

$\rho (y,y')=\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-y'_{i}\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{j}-x'_{j})\right|$.

Применим необходимое число раз аксиому треугольника:

$\rho (y,y')\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\left|x_{j}-x'_{j}\right|=\sum _{j=1}^{n}\left(\left|x_{j}-x'_{j}\right|\sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\right)$.

Так как

$\sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\leq \max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|$,

то $\rho (y,y')\leq \max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\sum _{j=1}^{n}\left|x_{j}-x'_{j}\right|=\left(\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\right)\rho (x,x')$.

Таким образом, в данном случае, условие сжимаемости имеет вид:

$\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|\leq \alpha <1$.

Евклидова метрика

В данном случае метрика задаётся формулой

$\rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$.

В силу неравенства Коши-Буняковского:

$\rho ^{2}(y,y')=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{j}-x'_{j})\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}^{2}\right)\rho ^{2}(x,x')$.

Следовательно, в данной метрике, условие сжимаемости принимает вид:

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}^{2}\leq \alpha <1$.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы

Задача Коши для одного уравнения

Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение

${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)$

и задано начальное условие

$~y(x_{0})=y_{0}$,

причём функция $f$ определена и непрерывна в некоторой плоской области $G$, содержащей точку $(x_{0},y_{0})$, и удовлетворяет в этой области условию Липшица по $y$:

$\left|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})\right|\leq M\left|y_{1}-y_{2}\right|$.

Задача решения дифференциального уравнения с начальным условием (задача Коши) эквивалентна задаче решения интегрального уравнения

$\varphi (x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f\left(t,\varphi (t)\right)dt$.

Так как функция $f$ непрерывна, то в некоторой плоской области $G'\subseteq G,~(x_{0},y_{0})\in G'$ будет иметь место

$\left|f(x,y)\right|\leq K$.

Подберём $d>0$ таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Если $\left|x-x_{0}\right|\leq d$ и $\left|y-y_{0}\right|\leq Kd$, то $(x,y)\in G'$;
2. $~Md<1$.

Обозначим пространство всех непрерывных функций $\varphi$, определённых на отрезке $\left|x-x_{0}\right|\leq d$ и удовлетворяющих условию $\left|\varphi (x)-y_{0}\right|\leq Kd$, как $C^{*}$ и введём в нём метрику следующим образом

$\rho (\varphi _{1},\varphi _{2})=\max _{|x-x_{0}|\leq d}\left|\varphi _{1}(x)-\varphi _{2}(x)\right|$.

Данное метрическое пространство полно, так как является замкнутым подпространством полного метрического пространства (пространства всех непрерывных функций, заданных на том же отрезке). Докажем, что отображение $\psi =A\varphi$, заданное формулой

$\psi (x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,\varphi (t))dt$,

переводит пространство $C^{*}$ в себя и является сжатием этого пространства. Пусть $\varphi \in C^{*}$ и $\left|x-x_{0}\right|\leq d$, тогда

$\left|\psi (x)-y_{0}\right|=\left|\int _{x_{0}}^{x}f(t,\varphi (t))dt\right|\leq Kd$,

а значит $A(C^{*})\subseteq C^{*}$. Теперь докажем, что отображение является сжатием, действительно:

$\left|\psi _{1}-\psi _{2}\right|\leq \int \limits _{x_{0}}^{x}\left|f(t,\varphi _{1}(t))-f(t,\varphi _{2}(t))\right|dt\leq Md\max _{|x-x_{0}|\leq d}\left|\varphi _{1}(x)-\varphi _{2}(x)\right|$.

Так как $Md<1$, то отображение $A$ — является сжатием. Таким образом, задача Коши имеет единственное решение в пространстве $C^{*}$.

Интегральные уравнения второго рода

Уравнения Фредгольма

Уравнение Фредгольма второго рода — это интегральное уравнение вида

$x(t)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(t,s)x(s)\,\mathrm {d} s+f(t)$.

Функции $K(t,s)$ (ядро) и $f(t)$ (правая часть) заданы, $\lambda$ — произвольный параметр, необходимо найти функцию $x$.

Будем считать, что функции $K(t,s)$ (ядро) и $f(t)$ является непрерывными при

$a\leq t\leq b,~a\leq s\leq b$.

Кроме того, существует такое число $M$, что

$|K(t,s)|\leq M$.

Рассмотрим отображение $y=Ax$ полного пространства непрерывных на отрезке $[a;b]$ функций $C[a;b]$ в себя, заданное формулой

$y(t)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(t,s)x(s)\,\mathrm {d} s+f(t)$.

Определим, при каких условиях данное отображение является сжимающим в равномерной метрике

$\rho (x_{1},x_{2})=\max _{t\in [a;b]}|x_{1}(t)-x_{2}(t)|$.

Рассмотрим две функции $x_{1}$ и $x_{2}$ и оценим

$\rho (y_{1},y_{2})=\rho (Ax_{1},Ax_{2})=\max _{t\in [a;b]}\left|\lambda \int \limits _{a}^{b}K(t,s){\big [}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big ]}\,\mathrm {d} s\right|$.

По свойствам интеграла:

$\rho (y_{1},y_{2})\leq |\lambda |(b-a)\max _{t\in [a;b]}\max _{s\in [a;b]}{\Big |}K(t,s){\big [}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big ]}{\Big |}$.

Так как ядро ограничено числом $M$, то:

$\rho (y_{1},y_{2})\leq |\lambda |(b-a)M\max _{s\in [a;b]}|x_{1}(s)-x_{2}(s)|=|\lambda |(b-a)M\rho (x_{1},x_{2})$.

Таким образом, отображение $A$ является сжимающим при условии

$|\lambda |\leq {\frac {1}{(b-a)M}}$,

а значит, что при выполнении данного условия последовательность

$x_{n+1}(t)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(t,s)x_{n}(s)\,\mathrm {d} s+f(t)$

будет сходится к решению уравнения. В качестве начального приближения можно взять произвольную непрерывную функцию $x_{0}(t)$.

Нелинейные интегральные уравнения

Рассмотрим уравнение вида

$x(t)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K{\big (}t,s,x(s){\big )}\,\mathrm {d} s+f(t)$,

где функции $K$ и $f$ непрерывны, а ядро ещё и удовлетворяет условию Липшица по третьему аргументу, то есть выполняется неравенство

$|K(t,s,y_{1})-K(t,s,y_{2})|\leq M|y_{1}-y_{2}|$.

Рассмотрим отображение $A$, заданное формулой

$Ax=\lambda \int \limits _{a}^{b}K{\big (}t,s,x(s){\big )}\,\mathrm {d} s+f(t)$

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ — две непрерывные функции и

$y_{1}=Ax_{1},~y_{2}=Ax_{2}$,

то справедлива оценка

$|y_{1}(t)-y_{2}(t)|\leq |\lambda |(b-a)\max _{s\in [a;b]}\left|K{\big (}t,s,x_{1}(s){\big )}-K{\big (}t,s,x_{2}(s){\big )}\right|\leq |\lambda |(b-a)M\max _{s\in [a;b]}|x_{1}(s)-y_{2}(s)|$,

таким образом

$\rho (Ax_{1},Ax_{2})\leq |\lambda |(b-a)M\rho (Ax_{1},Ax_{2})$,

а значит метод последовательных приближений применим при

$|\lambda |<{\frac {1}{(b-a)M}}$.

Уравнения Вольтерры

Рассмотрим теперь неоднородное интегральное уравнение типа Вольтерра

$x(t)=\lambda \int \limits _{t}^{b}K(t,s)f(s)\,\mathrm {d} s+f(t)$.

Оказывается, что в данном случае, в отличие от случая уравнения Фредгольма, метод последовательных приближений можно использовать при любых значениях параметра $\lambda$.

Как и при рассмотрении линейного уравнению Фредгольма, будем считать, что функции $K(t,s)$ (ядро) и $f(t)$ является непрерывными при

$a\leq t\leq b,~a\leq s\leq b$,

а $K(t,s)$ ещё и ограниченной, то есть существует такое число $M$, что

$|K(t,s)|\leq M$.

Рассмотрим отображение $A$, определённое следующим образом:

$y=Ax=\lambda \int \limits _{t}^{b}K(t,s)f(s)\,\mathrm {d} s+f(t)$.

Введём обозначение

$~g_{0}=A(x_{1}-x_{2})=Ax_{1}-Ax_{2}$

и рассмотрим последовательность

$~g_{n+1}=Ag_{n}$.

Рассуждая так же как в случае уравнения Фредгольма, получим оценку:

$|g_{1}(t)|\leq |\lambda |M(t-a)\max _{s\in [a;b]}{\big |}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big |}$.

Из этой оценки следует

$|g_{2}(t)|\leq |\lambda |^{2}M^{2}{\frac {(t-a)^{2}}{2}}\max _{s\in [a;b]}{\big |}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big |}$,

и вообще

$|g_{n}(t)|\leq |\lambda |^{n}M^{n}{\frac {(t-a)^{n}}{n!}}\max _{s\in [a;b]}{\big |}x_{1}(s)-x_{2}(s){\big |}$.

Для любого значения параметра $\lambda$ можно указать, такое целое число $n_{0}$, что будет выполняться условие

$|\lambda |^{n_{0}}M^{n}{\frac {(b-a)^{n_{0}}}{n_{0}!}}$

и, так как $a\leq t\leq b$, отображение $B=A^{n_{0}}$ будет сжимающим.

Возьмём некоторую непрерывную функцию $x_{0}(t)$ и построим последовательность

$~\{A^{n}x_{0}\}$.

Рассмотрим подпоследовательность этой последовательности

$~\{A^{kn_{0}}x_{0}\}$,

так как $A^{kn_{0}}x_{0}=B^{k}x_{0}$, то данная последовательность будет, в силу принципа сжимающих отображений, сходится к решению уравнения, а следовательно к решению уравнению будет сходится и вся последовательность

$~\{A^{n}x_{0}\}$.