В данном разделе приведены примеры применения принципа сжимающих отображений к уравнениям различных видов.
Системы линейных алгебраических уравнений
[править]
Рассмотрим отображение A n-мерного арифметического эвклидова пространства в себя
.
Если данное отображение является сжатием, то для решения уравнения
можно применить принцип сжимающих отображений.
Определим, при каких условиях отображение A будет сжимающим. В рассматриваемом пространстве метрику можно ввести несколькими способами. Рассмотрим три варианта.
.
Рассмотрим два вектора: x и x' — преобразование A ставит им в соответствие вектора y и y':

Применив аксиому треугольника для модуля, получим:
.
Так как
,
то
.
Отсюда следует условие сжимаемости:

Пусть теперь метрика задана следующим образом:
,
тогда
.
Применим необходимое число раз аксиому треугольника:
.
Так как
,
то
.
Таким образом, в данном случае, условие сжимаемости имеет вид:
.
В данном случае метрика задаётся формулой
.
В силу неравенства Коши-Буняковского:
.
Следовательно, в данной метрике, условие сжимаемости принимает вид:
.
Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы
[править]
Задача Коши для одного уравнения
[править]
Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение

и задано начальное условие
,
причём функция
определена и непрерывна в некоторой плоской области
, содержащей точку
, и удовлетворяет в этой области условию Липшица по
:
.
Задача решения дифференциального уравнения с начальным условием (задача Коши) эквивалентна задаче решения интегрального уравнения
.
Так как функция
непрерывна, то в некоторой плоской области
будет иметь место
.
Подберём
таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:
- Если
и
, то
;
.
Обозначим пространство всех непрерывных функций
, определённых на отрезке
и удовлетворяющих условию
, как
и введём в нём метрику следующим образом
.
Данное метрическое пространство полно, так как является замкнутым подпространством полного метрического пространства (пространства всех непрерывных функций, заданных на том же отрезке). Докажем, что отображение
, заданное формулой
,
переводит пространство
в себя и является сжатием этого пространства.
Пусть
и
, тогда
,
а значит
.
Теперь докажем, что отображение является сжатием, действительно:
.
Так как
, то отображение
— является сжатием. Таким образом, задача Коши имеет единственное решение в пространстве
.
Задача Коши для систем уравнений
[править]
Интегральные уравнения второго рода
[править]
Уравнение Фредгольма второго рода — это интегральное уравнение вида
.
Функции
(ядро) и
(правая часть) заданы,
— произвольный параметр, необходимо найти функцию
.
Будем считать, что функции
(ядро) и
является непрерывными при
.
Кроме того, существует такое число
, что
.
Рассмотрим отображение
полного пространства непрерывных на отрезке
функций
в себя, заданное формулой
.
Определим, при каких условиях данное отображение является сжимающим в равномерной метрике
.
Рассмотрим две функции
и
и оценим
.
По свойствам интеграла:
.
Так как ядро ограничено числом
, то:
.
Таким образом, отображение
является сжимающим при условии
,
а значит, что при выполнении данного условия последовательность

будет сходится к решению уравнения.
В качестве начального приближения можно взять произвольную непрерывную функцию
.
Нелинейные интегральные уравнения
[править]
Рассмотрим уравнение вида
,
где функции
и
непрерывны, а ядро ещё и удовлетворяет условию Липшица по третьему аргументу, то есть выполняется неравенство
.
Рассмотрим отображение
, заданное формулой

Если
и
— две непрерывные функции и
,
то справедлива оценка
,
таким образом
,
а значит метод последовательных приближений применим при
.
Рассмотрим теперь неоднородное интегральное уравнение типа Вольтерра
.
Оказывается, что в данном случае, в отличие от случая уравнения Фредгольма, метод последовательных приближений можно использовать при любых значениях параметра
.
Как и при рассмотрении линейного уравнению Фредгольма, будем считать, что функции
(ядро) и
является непрерывными при
,
а
ещё и ограниченной, то есть существует такое число
, что
.
Рассмотрим отображение
, определённое следующим образом:
.
Введём обозначение

и рассмотрим последовательность
.
Рассуждая так же как в случае уравнения Фредгольма, получим оценку:
.
Из этой оценки следует
,
и вообще
.
Для любого значения параметра
можно указать, такое целое число
, что будет выполняться условие

и, так как
, отображение
будет сжимающим.
Возьмём некоторую непрерывную функцию
и построим последовательность
.
Рассмотрим подпоследовательность этой последовательности
,
так как
,
то данная последовательность будет, в силу принципа сжимающих отображений, сходится к решению уравнения,
а следовательно к решению уравнению будет сходится и вся последовательность
.