Теория функций действительного переменного/Преобразование Фурье

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Тригонометрический ряд Фурье позволяет представить произвольную периодическую функцию в виде линейной комбинации гармонических колебаний. Данный раздел посвящен распространению этого результата на непериодические функции. Мы начнём с нестрого наводящего рассуждения, а затем произведём строгое доказательство справедливости полученного результата.

Читатели, которых интересует применение преобразования Фурье, а не его строгое обоснование, могут сразу перейти к разделу «Преобразование Фурье».

Наводящие соображения

Рассмотрим функцию $f$,которая на каждом конечном отрезке вида $[-l;l]$ может быть разложена в ряд Фурье:

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\exp \left({{in\pi } \over l}x\right)$.

Подставив в эту формулу интегральные выражения для коэффициентов

$c_{n}={1 \over {2l}}\int \limits _{-l}^{l}f(t)\exp \left(-{{in\pi } \over l}t\right)dt$,

получим:

$f(x)={1 \over {2l}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int \limits _{-l}^{l}f(t)\exp \left(-{{in\pi } \over l}t\right)\exp \left({{in\pi } \over l}x\right)dt$.

Используя свойства показательной функции, это выражение можно переписать следующим образом:

$f(x)={1 \over {2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{{\pi } \over l}\int \limits _{-l}^{l}f(t)\exp \left(-{{in\pi }(t-x) \over l}\right)dt$.

Если положить

$s_{n}={{n\pi } \over l},~\Delta s={\pi \over l}$,

то равенство примет вид

$f(x)={1 \over {2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int \limits _{-l}^{l}f(t)e^{-is_{n}(t-x)}dt\Delta s$.

Потребуем, чтобы функция $f$ была абсолютно интегрируемой на всей числовой прямой:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|f(t)|dt<\infty$

и положим

$F_{l}(s,x)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-l}^{l}f(t)e^{-is(t-x)}dt$,

$F(s,x)=\lim _{l\to +\infty }F_{l}(s,x)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-is(t-x)}dt$,

тогда ряд Фурье на отрезке $[-l;l]$ примет вид

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{l}(s_{n},x)\Delta s$.

аналогичный интегральной сумме (но распространнённой на бесконечный интервал).

Естественно ожидать, что если устремить ширину интервала $2l$ к бесконечности, то ряд перейдёт в интеграл

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }F(s,x)ds$.

Функцию $F(x,s)$ можно представить в виде

$F(x,s)=e^{isx}{1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-ist}dt={1 \over {2\pi }}e^{isx}\phi (s)$,

где функция

$\phi (s)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-ist}dt$

является аналогом коэффициентов Фурье.

Равенство

$f(x)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-is(t-x)}dtds$

называется формулой Фурье в комплексной форме, интегральной формулой Фурье или интегралом Фурье.

Справедливость этого равенства нами ещё не доказана, чтобы сделать это, можно было бы обосновать законность сделанного нами предельного перехода. Но оказывается, что проще доказать справедливость формулы Фурье непосредственно.

Интеграл Фурье

Теорема 1. Если функция $f$ абсолютно интегрируема на всей числовой прямой и в некоторой точке $x$ удовлетворяет условию Дини, то имеет место равенство

$f(x)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-is(t-x)}dtds$

(которое называется интегралом Фурье).

Доказательство.

Обозначим

$J(A)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-A}^{A}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-is(t-x)}dtds$.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что предел

$\lim _{A\to +\infty }J(A)$

существует и равен $f(x)$.

Так как функция $f$ является абсолютно интегрируемой, то внутренний интеграл в $J(A)$ сходится, а двойной интеграл сходится абсолютно, следовательно, мы можем изменить порядок интегрирования:

$J(A)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)\int \limits _{-A}^{A}e^{-is(t-x)}dsdt$.

Вычислим внутренний интеграл

$\int \limits _{-A}^{A}e^{-is(t-x)}ds=\left.{{e^{-is(t-x)}} \over {-i(t-x)}}\right|_{s=-A}^{s=A}={{2\sin(A(t-x))} \over {t-x}}$.

Произведём замену переменных $z=t-x$ и заменим внутренний интеграл его значением:

$J(A)={1 \over {\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(z+x){{\sin(Az)} \over {z}}dt$.

Имеет место равенство

${1 \over \pi }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\sin(Az) \over z}dz=1,~A>0$.

Действительно:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\sin(Az) \over z}dz=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\sin(t) \over t}dt=\lim _{x\to \infty }\int \limits _{-x}^{x}{\sin(t) \over t}dt=\lim _{x\to +\infty }\left(\operatorname {Si} (x)-\operatorname {Si} (-x)\right)$,

где $\operatorname {Si}$ — это интегральный синус, а по свойствам этой функции:

$\lim _{x\to +\infty }\operatorname {Si} (x)={\pi \over 2}$,

$\lim _{x\to -\infty }\operatorname {Si} (x)=-{\pi \over 2}$.

Таким образом, разность $J(A)-f(x)$ можно представит в виде интеграла

$J(A)-f(x)={1 \over \pi }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{f(x+z)-f(x)} \over z}\sin(Az)dz$.

Этот интеграл можно записать как сумму трёх слагаемых:

$J(A)-f(x)={{D_{1}+D_{2}+D_{3}} \over \pi }$,

где

$D_{1}=\int \limits _{-B}^{+B}{{f(x+z)-f(x)} \over z}\sin(Az)dz$,

$D_{2}=\int \limits _{|z|\geq B}{f(x+z) \over z}\sin(Az)dz$,

$D_{3}=-f(x)\int \limits _{|z|\geq B}{\sin(Az) \over z}dz$.

Второй и третий интегралы являются сходящимися и могут быть сделать сколько угодно малыми, если взять число $B$ достаточно большим. Первое же слагаемое стремится к нулю при $A\to +\infty$ в силу условия Дини и Леммы 1 из раздела тригонометрические ряды.

Таким образом:

$\lim _{A\to \infty }\left(J(A)-f(x)\right)=0$

Теорема доказана.

Интеграл Фурье можно также записать в действительной (то есть не комплексной) форме:

$f(x)={1 \over {\pi }}\int \limits _{0}^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)\cos[s(t-x)]dtds$.

Преобразование Фурье

Интеграл Фурье можно представить в виде двух равенств:

$\phi (s)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-ist}dt$,

$f(t)={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\phi (s)e^{ist}ds$.

Первая из этих формул ставит в соответствие каждой функции $f\in L_{1}(-\infty ,+\infty )$ некоторую функцию $\phi (s)$, заданную на всей числовой прямой, эта функцию называют преобразованием Фурье функции $f$ и пишут

$\phi (s)=F[f]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-ist}dt$.

Вторую формулу называют обратным преобразованием Фурье.

Рассмотрим пример: вычислим преобразование Фурье функции $f(x)=e^{-ax^{2}}$ при $a>0$.

$\phi (s)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-ax^{2}}e^{-isx}dx=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-(ax^{2}+isx)}dx$.

Выделим в показателя полный квадрат

$ax^{2}+isx=a\left(x^{2}+2x{\frac {is}{2a}}\right)=a\left(x^{2}+2x{\frac {is}{2a}}+{\frac {(is)^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {(is)^{2}}{4a^{2}}}\right)=a\left(x+{\frac {is}{2a}}\right)^{2}+{\frac {s^{2}}{4a}}$.

Произведём замену переменно

$x=y-{\frac {is}{2a}}$,

тогда преобразование Фурье рассматриваемой функции примет вид (в силу аналитичности подынтегральной функции, интегрирование можно вести вдоль любой прямой, параллельной вещественной оси):

$\phi (s)=e^{-{\frac {s^{2}}{4a}}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-ay^{2}}dy=e^{-{\frac {s^{2}}{4a}}}{\sqrt {\pi \over a}}$.

Установим некоторые свойства преобразования Фурье.

Свойство 1. Если последовательность функций $\{f_{n}(x)\}$ пространства $L_{1}(-\infty ,+\infty )$ сходится (по метрике), то последовательность преобразований Фурье

$~\phi _{n}=F[f_{n}]$

сходится равномерно на всей числовой прямой.

Это свойство следует из оценки

$|\phi _{n}(s)-\phi _{m}(s)|\leq \int \limits _{-\infty }^{+\infty }|f_{n}(t)-f_{m}(t)||e^{-ist}|dt=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|f_{n}(t)-f_{m}(t)|dt$.

Свойство 2. Преобразование Фурье абсолютно непрерывной функции $f$ является ограниченной функцией, стремящейся к нулю на бесконечности.

Ограниченность функции $\phi =F[f]$ следует из оценки

$|\phi (s)|\leq \int \limits _{-\infty }^{+\infty }|f(t)||e^{-ist}|dt=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|f(t)|dt\leq +\infty$.

Свойство 3. Если функция $f$ является абсолютно непрерывной на каждом конечном интервале и $f'\in L_{1}(-\infty ,+\infty )$, то имеет место равенство

$~F[f']=isF[f]$.

Рассмотрим две интегрируемые на всей числовой прямой функции $f_{1}$ и $f_{2}$. Функция

$f(x)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{1}(t)f_{2}(x-t)dt$

называется свёрткой функций $f_{1}$ и $f_{2}$, кратко свёртку обозначают как $f_{1}*f_{2}$.

Вычислим преобразование Фурье свёртки двух функций:

$F[f]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\left[\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{1}(t)f_{2}(x-t)dt\right]e^{-isx}dx$.

Изменим порядок интегрирования:

$F[f]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{1}(t)\left[\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{2}(x-t)e^{-isx}dx\right]dt$.

Вычислим внутренний интеграл с помощью замены $x=y+t$:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{2}(x-t)e^{-isx}dx=e^{-ist}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{2}(y)e^{-isy}dy=e^{-ist}\phi _{2}(s)=e^{-ist}F[f_{2}]$.

Используем этот результат для вычисления двойного интеграла

$F[f]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{1}(t)e^{-ist}\phi _{2}(s)dt=F[f_{2}]\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{1}(t)e^{-ist}dt=F[f_{1}]\cdot F[f_{2}]$.

Таким образом, преобразование Фурье свёртки двух функций есть произведение их преобразований Фурье:

$F[f_{1}*f_{2}]=F[f_{1}]\cdot F[f_{2}]$.

Применение преобразования Фурье в математической физике

Применение преобразования Фурье к дифференциальным уравнениям в частных производных позволяет, при определённых условиях, свести задачу к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Рассмотрим, например, уравнение теплопроводности:

${\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{{\partial x}^{2}}}$.

Будем искать решение этого уравнения при

$-\infty <x<+\infty ,~t\geq 0$

с начальным условием

$u(x,0)=u_{0}(x)$.

Используем стандартные для уравнений в частных производных обозначения:

$u_{t}(x,t)={\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}$,

$u_{xx}(x,t)={\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{{\partial x}^{2}}}$.

Предположим, что функции $u_{0}(x)$, $u_{0}'(x)$ и $u_{0}''(x)$ принадлежат пространству $L_{1}(-\infty ,+\infty )$, а решения уравнения будем искать среди функций, удовлетворяющих двум условиям

1. Функции $u(x,t)$, $u_{x}(x,t)$ и $u_{xx}(x,t)$ являются абсолютно интегрируемыми на всей числовой оси для всех $t\geq 0$.
2. Функция $u_{t}(x,t)$ имеет не зависящую от $t$ интегрируемую мажоранту $f(x)$:

$|u_{t}(x,t)|\leq f(x),~\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx<\infty$.

Обозначим преобразование Фурье функции $u(x,t)$ по переменной $x$ как $w(s,t)$:

$w(s,t)=F[u(x,t)]$,

введём также обозначение

$w_{0}(s)=F[u_{0}]$.

Вычислим теперь преобразование Фурье (по первой — пространственной — переменной) от левой и правой части уравнения теплопроводности. В силу условия 2:

$F[u_{t}]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u_{t}(x,t)e^{isx}dx={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u(x,t)e^{isx}dx=w_{t}(s,t)$,

а по свойству 3 преобразования Фурье:

$~F[u_{xx}]=-s^{2}w(s,t)$.

Таким образом, мы пришли к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению (с параметром $s$):

$~w_{t}(s,t)=-s^{2}w(s,t)$,

которое нужно решить с начальным условием

$~w(s,0)=w_{0}(s)$.

Решением этой задачи является функция

$w(s,t)=w_{0}(s)e^{-s^{2}t}$.

Для того, чтобы получить окончательное решение, нужно произвести обратное преобразование Фурье. Выше мы установили, что

$F\left[e^{-ax^{2}}\right]={\sqrt {\pi \over a}}e^{-{\frac {s^{2}}{4a}}}$,

следовательно

$e^{-s^{2}t}=F\left[{\frac {1}{2{\sqrt {\pi t}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}\right]$.

А так как произведение преобразований Фурье двух функций является преобразованием Фурье их свёртки, то

$u(x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi t}}}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u_{0}(x-y)e^{-{\frac {y^{2}}{4t}}}dy$.