Теория функций действительного переменного/Мера множеств, измеримые функции

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

Понятие меры множества является обобщением таких важных понятий математики, как:

• длина отрезка прямой;
• площадь плоской фигуры;
• объём тела.

Понятие меры перешло из теории функций действительного переменного в теорию вероятностей, теорию динамических систем, функциональный анализ и другие области математики.

Мера

Определение меры

Понятие меры множеств может быть введено аксиоматически.

Мерой называется функция множества $~\mu (A)$, заданная на полукольце множеств, принимающая неотрицательные вещественные значения и обладающая свойством аддитивности: для любого конечного разложения множества на объединение попарно непересекающихся множеств

$A=A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}$

имеет место равенство

$\mu (A)=\sum _{k=1}^{n}\mu (A_{k})$.

Мера пустого множества равна нулю, это следует из равенства

$\varnothing =\varnothing \cup \varnothing$

и аддитивности меры

$m(\varnothing )=m(\varnothing )+m(\varnothing )=2m(\varnothing )$.

Установим формулы для меры пересекающихся множеств $A_{1}$ и $A_{2}$. Объединение $A_{1}\cup A_{2}$ можно представить в виде объединения

$A_{1}\cup A_{2}=A_{1}\cup (A_{2}\setminus A_{1})$

непересекающихся множеств, поэтому в силу аддитивности меры

$\mu (A_{1}\cup A_{2})=\mu (A_{1})+\mu (A_{2}\setminus A_{1})$.

Множество $A_{2}$ можно представить в виде объединения двух непересекающихся множеств

$A_{2}=(A_{2}\setminus A_{1})\cup (A_{1}\cap A_{2})$,

из этого представления следует равенство

$\mu (A_{2}\setminus A_{1})=\mu (A_{2})-\mu (A_{1}\cap A_{2})$.

Окончательно имеем

$\mu (A_{1}\cup A_{2})=\mu (A_{1})+\mu (A_{2})-\mu (A_{1}\cap A_{2})$.

Продолжение меры с полукольца на кольцо

Мера $\mu$ называется продолжением меры $m$, если

${\mathfrak {S}}_{m}\subset {\mathfrak {S}}_{\mu }$

и для любого множества $A\in {\mathfrak {S}}_{m}$ выполняется равенство

$m(A)=\mu (A)$.

Теорема 1. Для каждой меры $m$, заданной на полукольце ${\mathfrak {S}}_{m}$, существует одно и только одно продолжение $\mu$, имеющее своей областью определения ${\mathfrak {R}}({\mathfrak {S}})_{m}$ — минимальное кольцо над ${\mathfrak {S}}_{m}$.

Доказательство.

Для каждого множества $A\in {\mathfrak {S}}_{m}$ существует конечное разложение

$A=\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}$

на непересекающиеся множества $A_{k}\in {\mathfrak {S}}_{m}$.

Положим

$\mu (A)=\sum _{k=1}^{n}m(A_{k})$.

Докажем, что данное определение $\mu$ не зависит от выбора разложения. Рассмотрим некоторое другое конечное разложение.

$A=\bigcup _{j=1}^{r}B_{j},~B_{j}\in {\mathfrak {S}}_{m},j\neq k\Rightarrow B_{j}\cap B_{k}=\varnothing$.

Поскольку $A_{k}\subset A$, то

$A_{k}=A_{k}\cap A=A_{k}\cap \bigcup _{j=1}^{r}B_{j}=\bigcup _{j=1}^{r}\left(A_{k}\cap B_{j}\right)$.

Возьмём объединение всех $A_{k}$:

$A=\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}=\bigcup _{k=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{r}\left(A_{k}\cap B_{j}\right)$.

Аналогичные рассуждения можно провести и для $B_{j}$:

$B_{j}=\bigcup _{k=1}^{n}\left(A_{k}\cap B_{j}\right)$.

$A=\bigcup _{j=1}^{r}B_{j}=\bigcup _{j=1}^{r}\bigcup _{k=1}^{n}\left(A_{k}\cap B_{j}\right)$.

Таким образом

$\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}=\bigcup _{k=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{r}\left(A_{k}\cap B_{j}\right)=\bigcup _{j=1}^{r}B_{j}$

Множества $A_{k}$ являются попарно непересекающимися, а $A_{k}\cap B_{j}\subset A_{k}$, поэтому множества $A_{k}\cap B_{j}$ также являются попарно непересекающимися.

Так как, по определению полукольца, множества вида $A_{k}\cap B_{j}$ принадлежат ${\mathfrak {S}}_{m}$, то в силу аддитивности меры

$\sum _{k=1}^{n}\mu (A_{k})=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{r}\mu (A_{k}\cap B_{j})=\sum _{j=1}^{r}\mu (B_{j})$.

Неотрицательность и аддитивность функции $\mu$ следует из неотрицательности и аддитивности меры $m$. Таким образом, существование продолжения меры на кольцо ${\mathfrak {R}}({\mathfrak {S}})_{m}$ доказано.

Для доказательства единственности достаточно указать на тот факт, что для любого продолжения меры $\mu _{1}$ должно выполняться равенство

$\mu _{1}(A)=\sum _{k=1}^{n}\mu _{1}(A_{k})=\sum _{k=1}^{n}m(A_{k})=\mu (A)$.

Теорема доказана.

Теорема 2. Если $m$ — мера, заданная на некотором кольце ${\mathfrak {R}}$, и даны множества $A_{1},...,A_{n}$, принадлежащие ${\mathfrak {R}}$, причём

$j\neq k\Rightarrow A_{k}\cap A_{j}=\varnothing$

$\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\subset A\in {\mathfrak {R}}$,

то выполняется неравенство

$\sum _{k=1}^{n}m(A_{k})\leq m(A)$.

В частности, если $A_{1}\subset A$, то $m(A_{1})\leq m(A)$.

Доказательство.

В силу аддитивности меры

$m(A)=\sum _{k=1}^{n}m(A_{k})+m\left(A\setminus \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\right)$.

А так как мера — неотрицательная функция, то

$m\left(A\setminus \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\right)\geq 0$,

следовательно

$m(A)\geq \sum _{k=1}^{n}m(A_{k})$.

При $n=1$ получаем

$A_{1}\subset A\Rightarrow m(A_{1})\leq m(A)$.

Теорема доказана.

Теорема 3. Если $m$ — мера, заданная на некотором кольце ${\mathfrak {R}}$, и даны множества $A_{1},...,A_{n}$, принадлежащие ${\mathfrak {R}}$, причём

$\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\supset A\in {\mathfrak {R}}$,

то выполняется неравенство

$\sum _{k=1}^{n}m(A_{k})\geq m(A)$.

Доказательство.

Так как

$m(A_{1}\cup A_{2})=m(A_{1})+m(A_{2})-m(A_{1}\cap A_{2})\leq m(A_{1})+m(A_{2})$,

то по индукции можно показать, что

$m\left(\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\right)\leq \sum _{k=1}^{n}m(A_{k})$.

Так как

$A\subset \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}$,

то

$\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}=A\cup \left(\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\setminus A\right)$.

В силу аддитивности и неотрицательности нормы

$m(A)\leq m\left(\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\right)\leq \sum _{k=1}^{n}m(A_{k})$,

откуда и следует утверждение теоремы.

Счётная аддитивность

Иногда приходится рассматривать не только конечные, но и счётные объединения множеств. Это приводит к необходимости введения более сильного требования, чем аддитивность меры.

Мера $m$ называется счётно-аддитивной или σ-аддитивной, если для любого множества $~A$ и любой счётной системы множеств

$~A_{1},A_{2},...,A_{n},...$,

принадлежащих её области определения ${\mathfrak {(}}S)_{m}$ и удовлетворяющих условиям

$~i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$,

$A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$,

имеет место равенство

$m(A)=\sum _{n=1}^{\infty }m(A_{n})$.

Теорема 4. Если мера $m$, определённая на полукольце ${\mathfrak {S}}_{m}$, является σ-аддитивной, то и её продолжение $\mu$ на кольцо ${\mathfrak {R}}({\mathfrak {S}}_{m})$ является σ-аддитивным.

Доказательство.

Пусть дано множество $A\in {\mathfrak {R}}({\mathfrak {S}}_{m})$ и его представление в виде объединения счётного числа множеств $B_{k}\in {\mathfrak {R}}({\mathfrak {S}}_{m})$:

$A=\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{k}$,

причём

$k\neq j\Rightarrow B_{k}\cap B_{j}=\varnothing$.

Существуют представления

$A=\bigcup _{j=1}^{n}A_{j},~A_{j}\in {\mathfrak {S}}_{m}$

$B_{k}=\bigcup _{t=1}^{r_{k}}B_{kt},~B_{kt}\in {\mathfrak {S}}_{m}$,

причём

$j\neq i\Rightarrow A_{j}\cap A_{i}=\varnothing$

$t\neq s\Rightarrow B_{kt}\cap B_{ks}=\varnothing$.

Множества вида

$C_{jkt}=A_{j}\cap B_{kt}$

являются попарно непересекающимися, кроме того, имеют место равенства

$A_{j}=\bigcup _{k=1}^{\infty }\bigcup _{t=1}^{r_{k}}C_{jkt}$,

$B_{kt}=\bigcup _{j=1}^{n}C_{jkt}$.

Так как мера $m$, по условию теоремы, является σ-аддитивной на ${\mathfrak {S}}_{m}$, то

$m(A_{j})=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{t=1}^{r_{k}}m(C_{jkt})$,

$m(B_{kt})=\sum _{t=1}^{r_{k}}m(C_{jkt})$.

А в силу теоремы 1:

$\mu (A)=\sum _{j=1}^{n}m(A_{j})$,

$\mu (B_{k})=\sum _{t=1}^{r_{k}}m(B_{kt})$.

Таким образом

$\mu (A)=\sum _{j=1}^{n}m(A_{j})=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{t=1}^{r_{k}}m(C_{jkt})=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{t=1}^{r_{k}}m(B_{kt})=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{k})$.

Теорема доказана.

Докажем теперь теоремы, обобщающие теоремы 2 и 3 на случай σ-аддитивных мер.

Теорема 2σ. Если $m$ — мера, заданная на некотором кольце ${\mathfrak {R}}$, и даны множества $A_{1},...,A_{n}$, принадлежащие ${\mathfrak {R}}$, причём

$j\neq k\Rightarrow A_{k}\cap A_{j}=\varnothing$

$\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\subset A\in {\mathfrak {R}}$,

то выполняется неравенство

$\sum _{k=1}^{\infty }m(A_{k})\leq m(A)$.

Доказательство. В силу теоремы 2, при любом натуральном $n$ выполняется неравенство

$\sum _{k=1}^{n}m(A_{k})\leq m(A)$.

Утверждение теоремы получается предельным переходом при $n\to \infty$.

Теорема 3σ (счётная полуаддитивность). Если $m$ — мера, заданная на некотором кольце ${\mathfrak {R}}$, и даны множества $A_{1},...,A_{n}$, принадлежащие ${\mathfrak {R}}$, причём

$\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\supset A\in {\mathfrak {R}}$,

то выполняется неравенство

$\sum _{k=1}^{n}m(A_{k})\geq m(A)$.

Доказательство. Введём обозначение

$B_{n}=(A_{n}\cap A)\setminus \bigcup _{k=1}^{n-1}A_{k}$.

Так как ${\mathfrak {R}}$ — кольцо множеств, то

$B_{n}\in {\mathfrak {R}}$.

Кроме того,

$B_{n}\subset A_{n}$

и

$n\neq r\Rightarrow B_{n}\cap B_{r}=\varnothing$.

Таким образом

$A=\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}$

и следовательно

$m(A)=\sum _{n=1}^{\infty }m(B_{n})\leq \sum _{k=1}^{\infty }m(A_{k})$.

Теорема доказана.

Лебегово продолжение меры

Случай полукольца с единицей

Пусть дано полукольцо ${\mathfrak {S}}_{m}$ с единицей $E$ и σ-аддитивная мера $m$, заданная на нём.

Внешней мерой множества $A\subset E$ называют число, определяемое по формуле

$\mu ^{*}(A)=\inf \sum _{n}m(B_{n})$,

где нижняя грань берётся по всем покрытиям множества $A$ конечными или счётными системами множеств $B_{n}\in {\mathfrak {S}}_{m}$.

Теорема 5 (счётная полуаддитивность). Если $\{A_{n}\}$ — конечная или счётная система множеств и

$A\subset \bigcup _{n}A_{n}$,

то выполняется неравенство

$\mu ^{*}(A)\leq \sum _{n}\mu ^{*}(A_{n})$.

Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством теоремы 4.

Множество $A$ называется измеримым (по Лебегу), если для любого вещественного числа $\epsilon >0$ найдётся такое множество $B\in {\mathfrak {R}}({\mathfrak {S}}_{m})$, что

$\mu ^{*}(A\vartriangle B)<\epsilon$.

Если внешняя мера рассматривается только на измеримых множествах, то её называют лебеговой мерой и обозначают $\mu (A)$. При этом

$A\in {\mathfrak {S}}_{m}\Rightarrow \mu (A)=m(A)$.

Из равенства

$A_{1}\vartriangle A_{2}=(E\setminus A_{1})\vartriangle (E\setminus A_{2})$

следует, что если измеримо множество $A$, то измеримо и его дополнение $E\setminus A$.

Теорема 6. Система ${\mathfrak {M}}$ всех измеримых множеств есть кольцо.

Доказательство. Так как имеют место равенства

$A_{1}\cap A_{2}=A_{1}\setminus (A_{1}\setminus A_{2})$,

$A_{1}\cup A_{2}=E\setminus \left[(E\setminus A_{1})\cap (E\setminus A_{2})\right]$,

то для доказательства данной теоремы нужно показать, что если

$A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {M}}$,

то

$A=A_{1}\setminus A_{2}\in {\mathfrak {M}}$.

Возьмём произвольное вещественное число $\epsilon >0$. Пусть множества $A_{1}$ и $A_{2}$ являются измеримыми, тогда, по определению, существуют такие множества

$B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {R}}({\mathfrak {S}}_{m})$,

что выполняются неравенства

$\mu ^{*}(A_{1}\vartriangle B_{1})<{\frac {\epsilon }{2}}$,

$\mu ^{*}(A_{2}\vartriangle B_{2})<{\frac {\epsilon }{2}}$.

Так как

$B=B_{1}\setminus B_{2}\in {\mathfrak {R}}({\mathfrak {S}}_{m})$

и выполняется соотношение

$A\vartriangle B=(A_{1}\setminus A_{2})\vartriangle (B_{1}\setminus B_{2})\subset (A_{1}\vartriangle B_{1})\cup (A_{2}\vartriangle B_{2})$,

то

$\mu ^{*}(A\vartriangle B)\leq \mu ^{*}(A_{1}\vartriangle B_{1})+\mu ^{*}(A_{2}\vartriangle B_{2})<\epsilon$.

Так как число $\epsilon$ — произвольное, то множество $A_{1}\setminus A_{2}$ является измеримым. Теорема доказана.

Следствие. Так как $E$ — это единица кольца ${\mathfrak {M}}$, то ${\mathfrak {M}}$ — алгебра множеств.

Теорема 7. На системе ${\mathfrak {M}}$ измеримых множеств функция $\mu$ является аддитивной.

Теорема 8. На системе ${\mathfrak {M}}$ измеримых множеств функция $\mu$ является σ-аддитивной.

Доказательство. Пусть даны множества

$A_{1},...,A_{n}...\in {\mathfrak {M}}$,

причём

$n\neq m\Rightarrow A_{n}\cap A_{m}=\varnothing$

и

$A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$.

По теореме 5:

$\mu (A)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$,

а по по теореме 7 для любого натурального числа $N$:

$\mu (A)\geq \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})$,

откуда следует, что

$\mu (A)\geq \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$.

Таким образом

$\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})\leq \mu (A)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$,

теорема доказана.

Теорема 9. Система ${\mathfrak {M}}$ измеримых по Лебегу множеств является σ-алгеброй с единицей $E$.

Из σ-аддитивности меры Лебега следует её непрерывность.

Теорема 10. То есть если $\mu$ — σ-аддитивная мера, определённая на σ-алгебре множеств, и дана последовательность вложенных друг в друга множеств вида

$A_{1}\supset A_{2}\supset ...\supset A_{n}\supset ...$,

то

$\mu \left(\bigcap _{n=1}^{n}A_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})$.

Доказательство. Введём следующее обозначение:

$A=\bigcap _{n=1}^{n}A_{n}$.

Не ограничивая общности, можно считать, что $A=\varnothing$, так как в противном случае можно рассмотреть последовательность множеств

$B_{n}=A_{n}\setminus A$.

Для любого номера $n$ множество $A_{n}$ можно представить в виде счётного объединения непересекающихся множеств:

$A_{n}=\bigcup _{m=n}^{\infty }\left(A_{m}\setminus A_{m+1}\right)$.

В силу σ-аддитивности меры

$\mu \left(A_{n}\right)=\sum _{m=n}^{\infty }\mu \left(A_{m}\setminus A_{m+1}\right)$.

В частности, при $n=1$:

$\mu \left(A_{1}\right)=\sum _{m=1}^{\infty }\mu \left(A_{m}\setminus A_{m+1}\right)$.

Отсюда видно, что $\mu (A_{n})$ - это остаток ряда $\mu (A_{1})$, а так как ряд сходится, то

$\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=0=\mu (\varnothing )$,

что и требовалось доказать.

Следствие. Если дана последовательность вложенных множеств вида

$A_{1}\subset A_{2}\subset ...\subset A_{n}\subset ...$

и

$A=\bigcup _{n=1}^{n}A_{n}$,

то имеет место равенство

$\mu \left(A\right)=\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})$.

Для доказательства нужно применить теорему 10 к последовательности множеств

$\{A\setminus A_{n}\}$.

Функция $\mu$, определённая на системе измеримых множеств ${\mathfrak {M}}$ и совпадающая на ней с внешней мерой $\mu ^{*}$, называется Лебеговым продолжением меры $m$ и обозначается

$\mu =L(m)$.

Случай полукольца без единицы

Если исходная мера $m$ определена на полукольце без единицы ${\mathfrak {S}}_{m}$, то введённые выше понятия нуждаются в некоторых уточнениях. Например, внешняя мера $\mu ^{*}$ определяется только для таких множеств $A$, для которых существует покрытие множествами $A_{n}\in {\mathfrak {S}}_{m}$, причём сумма

$\sum _{n}m(A_{n})$

является конечной.

Теорема 9а. При любой исходной мере $m$ система измеримых по Лебегу множеств ${\mathfrak {M}}$ является δ-кольцом, измеримость множества

$\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$,

где все множества $A_{n}$ являются измеримыми, имеет место тогда и только тогда, когда меры вида

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)$

ограничены некоторым независящим от $N$ числом.

Мера $m$ называется полной, если из $m(A)=0$ и $A_{1}\subset A$ вытекает, что множество $A_{1}$ измеримо. При этом $m(A_{1})=0$.

Можно доказать, что лебегово продолжение любой меры полно. Действительно, если $A_{1}\subset A$ и $m(A)=0$, то $\mu ^{*}(A)$, а любое множество $B$, внешняя мера которого равна нулю, измеримо, так как

$\mu (B\vartriangle \varnothing )=\mu (B)=0$.

Всякую σ-аддитивную меру, заданную на σ-алгебре, можно продолжить до полной меры, положив равной нулю меру произвольного подмножества каждого множества меры нуль. В дальнейшем мы будем предполагать, что любая σ-аддитивная мера, заданная на σ-алгебре, является полной.

Измеримые функции

Определения и основные свойства

Рассмотрим два произвольных множества $X$ и $Y$ и две системы их подмножеств: ${\mathfrak {S}}_{X}$ и ${\mathfrak {S}}_{Y}$.

Абстрактная функция (отображение, оператор) $f\colon X\rightarrow Y$ называется $\left({\mathfrak {S}}_{X},{\mathfrak {S}}_{Y}\right)$-измеримой, если из $A\in {\mathfrak {S}}_{Y}$ следует, что $f^{-1}(A)\in {\mathfrak {S}}_{X}$.

Понятие измеримой функции обобщает понятие непрерывной функции.

Рассмотрим множество $X$ с σ-аддитивной мерой $\mu$, определённой на $\sigma$-алгебре ${\mathfrak {S}}_{\mu }$. Действительная функция $f(x)$ называется $\mu$-измеримой (или простой измеримой), если для любого борелевского множества $A$ числовой прямой

$f^{-1}(A)\in {\mathfrak {S}}_{\mu }$.

Комплексная функция $\varphi (x)$, заданная на $X$, называется $\mu$-измеримой, если включение

$\varphi ^{-1}(A)\in {\mathfrak {S}}_{\mu }$

выполняется для любого борелевского подмножества комплексной плоскости. Можно доказать, что это условие равносильно $\mu$-измеримости действительной и мнимой части данной функции.

Если из контекста понятно, о какой мере идёт речь, то вместо «μ-измеримая функция» часто говорят просто «измеримая функция».

Числовая функция, заданная на вещественной прямой, называется борелевской или B-измеримой, если прообраз каждого боролевского множества есть борелевское множество.

Теорема 2.1. Пусть $X$, $Y$ и $Z$ — произвольные множества, с заданными в них системами подмножеств ${\mathfrak {S}}_{X}$, ${\mathfrak {S}}_{Y}$ и ${\mathfrak {S}}_{Z}$ соответственно. Пусть функция $y=f(x)$, определённая на $X$ является $\left({\mathfrak {S}}_{X},{\mathfrak {S}}_{Y}\right)$-измеримой, а функция $z=g(y)$, определённая на $Y$ является $\left({\mathfrak {S}}_{Y},{\mathfrak {S}}_{Z}\right)$-измеримой. Тогда функция

$z=\phi (x)=g\left(f(x)\right)$

является $\left({\mathfrak {S}}_{X},{\mathfrak {S}}_{Z}\right)$-измеримой.

Доказательство. Если подмножество $A\subset Z$ входит в систему ${\mathfrak {S}}_{Z}$, то в силу $\left({\mathfrak {S}}_{Y},{\mathfrak {S}}_{Z}\right)$-измеримости функции $g$:

$g^{-1}(A)=B\in {\mathfrak {S}}_{Y}$.

А в силу $\left({\mathfrak {S}}_{X},{\mathfrak {S}}_{Y}\right)$-измеримости функции $f$:

$f^{-1}(B)\in {\mathfrak {S}}_{X}$.

Таким образом

$f^{-1}\left(g^{-1}(A)\right)=\phi ^{-1}(A)\in {\mathfrak {S}}_{X}$,

а так как множество $A$ можно взять произвольным, то функция $\phi$ является $\left({\mathfrak {S}}_{X},{\mathfrak {S}}_{Z}\right)$-измеримой.

Следствие. Борелевская функция от $\mu$-измеримой вещественной функции является $\mu$-измеримой. Непрерывная функция от $\mu$-измеримой функции является $\mu$-измеримой.

Теорема 2.2. Действительная функция $f(x)$ является измеримой тогда и только тогда, когда для любого действительного числа $c$ множество $\{x:f(x)<c\}$ является измеримым.

Доказательство.

Необходимость условия очевидна, так как для любого вещественного числа $c$ множество $(-\infty ,c)$ является борелевским.

Рассмотрим σ-алгебру, порождённую системой $\Sigma$ всех полупрямых $(-\infty ,c)$. Данная σ-алгебра совпадает с σ-алгеброй всех борелевских множеств прямой. Отсюда следует, что прообраз каждого борелевского множества принадлежит σ-алгебре, порождённой прообразами полупрямых из $\Sigma$, и следовательно — измерим.

Замечание. Иногда условие данной теоремы принимают за определение измеримой функции.

Как видно из определения, понятие измеримой функции можно ввести независимо от наличия меры, достаточно указать, какие множества области определения и области значения являются измеримыми.

Арифметические операции над измеримыми функциями

Теорема 2.3. Сумма, разность и произведение двух измеримых функций является измеримой функцией. Частное двух измеримых функций является измеримой функцией, если знаменатель не обращается в нуль.

Доказательство.

Сначала заметим, что если функция $f$ является измеримой, то для любых постоянных вещественных числе $a$ и $b$ измеримыми являются функция $af+b$.

Если $f$ и $g$ — измеримые функции, то множество

$\{x\mid f(x)>g(x)\}$

является измеримым, это следует из разложения

$\{x\mid f(x)>g(x)\}=\bigcup _{r\in \mathbb {Q} }\left(\{x\mid f(x)>r\}\cap \{x\mid r>g(x)\}\right)$,

где объединение берётся по всем рациональным числам. Отсюда следует, что измеримо множество

$\{x\mid f(x)+g(x)>c\}=\{x\mid f(x)>c-g(x)\}$.

Таким образом, сумма измеримых функций является измеримой функцией. Из равенства

$f(x)-g(x)=f(x)+(-1\cdot g(x))$,

следует, что разность измеримых функций измерима.

Для доказательства измеримости произведения двух измеримых функций воспользуемся тождеством

$fg={\frac {1}{4}}\left[(f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right]$.

Сумма и разность измеримых функций измеримы по доказанному. Квадрат измеримой функции измерим в силу теоремы 1.

Если функция $g$ измерима и $g(x)\neq 0$, то измерима и функция $1/g(x)$. Если $c>0$, то

$\{x\mid 1/g(x)<c\}=\{x\mid g(x)<0\}\cup \{x\mid g(x)>1/c\}$.

Если $c<0$, то

$\{x\mid 1/g(x)<c\}=\{x\mid 0<g(x)<1/c\}$.

Если же $c=0$, то

$\{x\mid 1/g(x)<c\}=\{x\mid g(x)<c\}$.

Во всех случаях справа получаем измеримое множество. Из равенства

${\frac {f}{g}}=f\cdot {\frac {1}{g}}$

следует, что отношение измеримых функций измеримо, если знаменатель не обращается в нуль.

Теорема 2.4. Предел сходящейся в каждой точке множества $X$ последовательности измеримых функций является измеримой функцией.

Эквивалентные функции, сходимость почти всюду

Две функции $f$ и $g$, заданные на одном измеримом множестве $X$ называют эквивалентными (пишут $f\sim g$), если эти функции различаются на множестве меры нуль, то есть если имеет место равенство

$\mu \{x:f(x)\neq g(x)\}=0$.

Говорят, что некоторое свойство выполняется почти всюду на множестве $X$, если оно выполняется на всём множестве $X$, за исключением, быть может, точек, образующих множество меры нуль.

Теорема 2.5. Функция $f(x)$, заданная на некотором измеримом множестве $X$ и эквивалентная на этом множестве измеримой функции $g(x)$ также является измеримой.

Доказательство.

Из эквивалентности функций $f$ и $g$ следует, что множества

$\{x\mid f(x)<c\}$

и

$\{x\mid g(x)<c\}$

отличаются друг от друга лишь на множество меры нуль. А так как меру без ограничения общности можно считать полной, то из измеримости второго множества следует измеримость первого. Утверждение теоремы следует отсюда по определению измеримой функции.

Последовательность функций $\left\{f_{n}(x)\right\}$, заданных на некотором пространстве $X$ с мерой, называется сходящейся почти всюду к функции $f(x)$, если почти всюду на $X$ выполняется равенство

$\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)$.

Используя понятие сходимости почти всюду, можно обобщить Теорему 2.4:

Теорема 2.4а. Если последовательность измеримых функций $\left\{f_{n}(x)\right\}$ сходится на множестве $X$ к функции $f(x)$ почти всюду, то функция $f(x)$ является измеримой.

Доказательство.

Пусть $X_{1}\subset X$ - это множество, на котором выполняется равенство

$\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)$.

По определению сходимости почти всюду:

$\mu (X\setminus X_{1})=0$.

По теореме 2.4 функция $f$ измерима на $X_{1}$, а на множестве меры нуль измерима любая функция, то функция $f$ измерима на

$X_{1}\cup (X\setminus X_{1})=X$.

Теорема Егорова

Следующая теорема устанавливает связь между сходимостью почти всюду и равномерной сходимостью.

Теорема 2.6 (Егоров). Пусть $X$ — множество конечной меры, а последовательность измеримых функций $\left\{f_{n}(x)\right\}$ сходится на $X$ почти всюду к функции $f(x)$. Тогда для любого вещественного числа $\delta >0$ существует такое измеримое множество $X_{\delta }\subset X$, что

$~\mu (X_{\delta })>\mu (X)-\delta$,

и на множестве $X_{\delta }$ последовательность $\{f_{n}(x)\}$ сходится к функции $f(x)$ равномерно.

Доказательство.

Функция $f(x)$ является измеримой по теореме 2.4а.

Положим

$A_{n}^{m}=\bigcap _{k=n}^{\infty }\left\{x:|f_{k}(x)-f(x)|<{\frac {1}{m}}\right\}$,

из данного определения ясно, что при заданном $m$ выполняются включения

$A_{1}^{m}\subset A_{2}^{m}\subset ...\subset A_{n}^{m}\subset ...$.

Положим также

$B_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}^{m}$.

Так как σ-аддитивная мера является непрерывной, то для любого номера $m$ и любого вещественного числа $\delta >0$ найдётся такой номер $N(m)$, что

$\mu (B_{n}\setminus A_{N(m)}^{m})<{\frac {\delta }{2^{m}}}$.

Докажем, что множество

$X_{\delta }=\bigcap _{m=1}^{\infty }A_{N(m)}^{m}$

удовлетворяют условиям теоремы.

Если $x\in X_{\delta }$, то для любого $m$ при $k>N(m)$ выполняется неравенство

$|f_{k}(x)-f(x)|<{\frac {1}{m}}$,

а следовательно последовательность $\{f_{n}(x)\}$ сходится на $X_{\delta }$ к $f(x)$ равномерно.

Далее, если $x\in X\setminus X_{\delta }$, то можно указать сколь угодно большое целое число $k$ для которого

$|f_{k}(x)-f(x)|\geq {\frac {1}{m}}$,

а значит последовательность $\{f_{n}(x)\}$ не сходится к $f$ на множестве $X\setminus X_{\delta }$, а так как по условию теоремы сходимость имеет место почти всюду, то

$\mu \left(X\setminus B_{m}\right)=0$.

Таким образом:

$\mu \left(X\setminus A_{N(m)}^{m}\right)=\mu \left(X\setminus B_{m}\right)+\mu \left(B_{m}\setminus A_{N(m)}^{m}\right)<{\frac {\delta }{2^{m}}}$.

Окончательно имеем

$\mu \left(X\setminus X_{\delta }\right)=\mu \left(X\setminus \bigcap _{m=1}^{\infty }A_{N(m)}^{m}\right)\leq \mu \left(\bigcup _{m=1}^{\infty }\left[X\setminus A_{N(m)}^{m}\right]\right)<\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {\delta }{2^{m}}}=\delta$.

Теорема доказана.

Сходимость по мере

Говорят, что последовательность измеримых функций $\left\{f_{n}(x)\right\}$ сходится по мере к функции $f(x)$, если для любого $\epsilon >0$

$\lim _{n\rightarrow \infty }\mu \{x:\left|f_{n}(x)-f(x)\right|\geq \epsilon \}=0$.

Предполагается, что рассматриваемая мера является конечной.

Теорема 2.7. Если последовательность измеримых функций $\left\{f_{n}(x)\right\}$ сходится почти всюду к некоторой функции $f(x)$, то эта последовательность сходится к $f(x)$ по мере.

Доказательство. Из теоремы 2.4а следует, что функция $f(x)$ является измеримой. Рассмотрим множество точек, в которых последовательность $\left\{f_{n}(x)\right\}$ не сходится к функции $f(x)$:

$C=\{x:\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\neq f(x)\}$,

по условию теоремы

$\mu (C)=0$.

Введём следующие обозначения:

$A_{k}(\epsilon )=\{x:|f_{k}(x)-f(x)|\geq \epsilon \}$,

$B_{n}(\epsilon )=\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}(\epsilon )$,

$B(\epsilon )=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}(\epsilon )$.

По определению

$B_{1}\supset B_{2}\supset ...\supset B_{n}\supset ...$,

следовательно, в силу непрерывности меры, имеет место равенство

$\lim _{n\to \infty }\mu (B_{n}(\epsilon ))=\mu (B(\epsilon ))$.

Если $x_{0}\notin C$, то есть

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})=f(x_{0})$,

то для любого вещественного числа $\epsilon >0$ существует такой номер $n_{0}(\epsilon )$, что при $k>n_{0}(\epsilon )$ выполняется неравенство

$|f_{k}(x)-f(x)|<\epsilon$,

то есть

$x_{0}\notin B_{n}(\epsilon )$,

а следовательно, по свойству пересечения множеств:

$x_{0}\notin B(\epsilon )$.

Таким образом

$B(\epsilon )\subset C$,

откуда следует, что

$\mu (B(\epsilon ))=0$

и в силу непрерывности нормы

$\lim _{n\to \infty }\mu (B_{n}(\epsilon ))=0$,

а так как

$A_{n}(\epsilon )\subset B_{n}(\epsilon )$,

то

$\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n}(\epsilon ))=0$,

теорема доказана.

Обратное утверждение, вообще говоря, не выполняется, можно указать последовательность, сходящуюся по мере, но не сходящуюся почти всюду. Тем не менее, можно доказать доказать более слабое утверждение:

Теорема 2.8. Если последовательность измеримых функций $\left\{f_{n}(x)\right\}$ сходится по мере к некоторой функции $f(x)$, то из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к $f(x)$ почти всюду.

Теорема Лузина

Теорема 2.9 (Лузин). Для того, чтобы функция $f(x)$, заданная на отрезке $[a;b]$, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого вещественного числа $\epsilon >0$ существовала такая непрерывная на отрезке $[a;b]$ функция $\phi _{\epsilon }$, что

$\mu \{x:f(x)\neq \phi _{\epsilon }(x)\}<\epsilon$.

Другими словами, из измеримой функции можно получить непрерывную, изменив её значения на множестве сколь угодно малой меры.