Понятие меры множества является обобщением таких важных понятий математики, как:
- длина отрезка прямой;
- площадь плоской фигуры;
- объём тела.
Понятие меры перешло из теории функций действительного переменного в теорию вероятностей, теорию динамических систем, функциональный анализ и другие области математики.
Определение меры[править]
Понятие меры множеств может быть введено аксиоматически.
Мерой называется функция множества
, заданная на полукольце множеств, принимающая неотрицательные вещественные значения и обладающая свойством аддитивности: для любого конечного разложения множества на объединение попарно непересекающихся множеств

имеет место равенство
.
Мера пустого множества равна нулю, это следует из равенства

и аддитивности меры
.
Установим формулы для меры пересекающихся множеств
и
.
Объединение
можно представить в виде объединения

непересекающихся множеств, поэтому в силу аддитивности меры
.
Множество
можно представить в виде объединения двух непересекающихся множеств
,
из этого представления следует равенство
.
Окончательно имеем
.
Продолжение меры с полукольца на кольцо[править]
Мера
называется продолжением меры
, если

и для любого множества
выполняется равенство
.
Теорема 1. Для каждой меры
, заданной на полукольце
, существует одно и только одно продолжение
, имеющее своей областью определения
— минимальное кольцо над
.
Доказательство.
Для каждого множества
существует конечное разложение

на непересекающиеся множества
.
Положим
.
Докажем, что данное определение
не зависит от выбора разложения.
Рассмотрим некоторое другое конечное разложение.
.
Поскольку
, то
.
Возьмём объединение всех
:
.
Аналогичные рассуждения можно провести и для
:
.
.
Таким образом

Множества
являются попарно непересекающимися, а
, поэтому множества
также являются попарно непересекающимися.
Так как, по определению полукольца, множества вида
принадлежат
, то в силу аддитивности меры
.
Неотрицательность и аддитивность функции
следует из неотрицательности и аддитивности меры
.
Таким образом, существование продолжения меры на кольцо
доказано.
Для доказательства единственности достаточно указать на тот факт, что для любого продолжения меры
должно выполняться равенство
.
Теорема доказана.
Теорема 2. Если
— мера, заданная на некотором кольце
, и даны множества
, принадлежащие
,
причём

,
то выполняется неравенство
.
В частности, если
, то
.
Доказательство.
В силу аддитивности меры
.
А так как мера — неотрицательная функция, то
,
следовательно
.
При
получаем
.
Теорема доказана.
Теорема 3. Если
— мера, заданная на некотором кольце
, и даны множества
, принадлежащие
,
причём
,
то выполняется неравенство
.
Доказательство.
Так как
,
то по индукции можно показать, что
.
Так как
,
то
.
В силу аддитивности и неотрицательности нормы
,
откуда и следует утверждение теоремы.
Счётная аддитивность[править]
Иногда приходится рассматривать не только конечные, но и счётные объединения множеств. Это приводит к необходимости введения более сильного требования, чем аддитивность меры.
Мера
счётно-аддитивной или σ-аддитивной, если для любого множества
и любой счётной системы множеств
,
принадлежащих её области определения
и удовлетворяющих условиям
,
,
имеет место равенство
.
Теорема 4. Если мера
, определённая на полукольце
, является σ-аддитивной, то и её продолжение
на кольцо
является σ-аддитивным.
Доказательство.
Пусть дано множество
и его представление в виде объединения счётного числа множеств
:
,
причём
.
Существуют представления

,
причём

.
Множества вида

являются попарно непересекающимися, кроме того, имеют место равенства
,
.
Так как мера
, по условию теоремы, является σ-аддитивной на
, то
,
.
А в силу теоремы 1:
,
.
Таким образом
.
Теорема доказана.
Докажем теперь теоремы, обобщающие теоремы 2 и 3 на случай σ-аддитивных мер.
Теорема 2σ. Если
— мера, заданная на некотором кольце
, и даны множества
, принадлежащие
,
причём

,
то выполняется неравенство
.
Доказательство.
В силу теоремы 2, при любом натуральном
выполняется неравенство
.
Утверждение теоремы получается предельным переходом при
.
Теорема 3σ (счётная полуаддитивность). Если
— мера, заданная на некотором кольце
, и даны множества
, принадлежащие
,
причём
,
то выполняется неравенство
.
Доказательство.
Введём обозначение
.
Так как
— кольцо множеств, то
.
Кроме того,

и
.
Таким образом

и следовательно
.
Теорема доказана.
Лебегово продолжение меры[править]
Случай полукольца с единицей[править]
Пусть дано полукольцо
с единицей
и σ-аддитивная мера
, заданная на нём.
Внешней мерой множества
называют число, определяемое по формуле
,
где нижняя грань берётся по всем покрытиям множества
конечными или счётными системами множеств
.
Теорема 5 (счётная полуаддитивность).
Если
— конечная или счётная система множеств и
,
то выполняется неравенство
.
Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством теоремы 4.
Множество
называется измеримым (по Лебегу), если для любого вещественного числа
найдётся такое множество
, что
.
Если внешняя мера рассматривается только на измеримых множествах, то её называют лебеговой мерой и обозначают
.
При этом
.
Из равенства

следует, что если измеримо множество
, то измеримо и его дополнение
.
Теорема 6.
Система
всех измеримых множеств есть кольцо.
Доказательство.
Так как имеют место равенства
,
,
то для доказательства данной теоремы нужно показать, что если
,
то
.
Возьмём произвольное вещественное число
.
Пусть множества
и
являются измеримыми, тогда, по определению, существуют такие множества
,
что выполняются неравенства
,
.
Так как

и выполняется соотношение
,
то
.
Так как число
— произвольное, то множество
является измеримым.
Теорема доказана.
Следствие. Так как
— это единица кольца
, то
— алгебра множеств.
Теорема 7. На системе
измеримых множеств функция
является аддитивной.
Теорема 8. На системе
измеримых множеств функция
является σ-аддитивной.
Доказательство.
Пусть даны множества
,
причём

и
.
По теореме 5:
,
а по по теореме 7 для любого натурального числа
:
,
откуда следует, что
.
Таким образом
,
теорема доказана.
Теорема 9. Система
измеримых по Лебегу множеств является σ-алгеброй с единицей
.
Из σ-аддитивности меры Лебега следует её непрерывность.
Теорема 10.
То есть если
— σ-аддитивная мера, определённая на σ-алгебре множеств, и дана последовательность вложенных друг в друга множеств вида
,
то
.
Доказательство.
Введём следующее обозначение:
.
Не ограничивая общности, можно считать, что
, так как в противном случае можно рассмотреть последовательность множеств
.
Для любого номера
множество
можно представить в виде счётного объединения непересекающихся множеств:
.
В силу σ-аддитивности меры
.
В частности, при
:
.
Отсюда видно, что
- это остаток ряда
, а так как ряд сходится, то
,
что и требовалось доказать.
Следствие.
Если дана последовательность вложенных множеств вида

и
,
то имеет место равенство
.
Для доказательства нужно применить теорему 10 к последовательности множеств
.
Функция
, определённая на системе измеримых множеств
и совпадающая на ней с внешней мерой
, называется Лебеговым продолжением меры
и обозначается
.
Случай полукольца без единицы[править]
Если исходная мера
определена на полукольце без единицы
, то введённые выше понятия нуждаются в некоторых уточнениях.
Например, внешняя мера
определяется только для таких множеств
, для которых существует покрытие множествами
, причём сумма

является конечной.
Теорема 9а. При любой исходной мере
система измеримых по Лебегу множеств
является δ-кольцом, измеримость множества
,
где все множества
являются измеримыми, имеет место тогда и только тогда, когда меры вида

ограничены некоторым независящим от
числом.
Мера
называется полной, если из
и
вытекает, что множество
измеримо.
При этом
.
Можно доказать, что лебегово продолжение любой меры полно.
Действительно, если
и
, то
, а любое множество
, внешняя мера которого равна нулю, измеримо, так как
.
Всякую σ-аддитивную меру, заданную на σ-алгебре, можно продолжить до полной меры, положив равной нулю меру произвольного подмножества каждого множества меры нуль.
В дальнейшем мы будем предполагать, что любая σ-аддитивная мера, заданная на σ-алгебре, является полной.
Расширение понятия измеримости в случае σ-конечной меры[править]
Измеримые функции[править]
Определения и основные свойства[править]
Рассмотрим два произвольных множества
и
и две системы их подмножеств:
и
.
Абстрактная функция (отображение, оператор)
называется
-измеримой, если из
следует, что
.
Понятие измеримой функции обобщает понятие непрерывной функции.
Рассмотрим множество
с σ-аддитивной мерой
, определённой на
-алгебре
.
Действительная функция
называется
-измеримой (или простой измеримой), если для любого борелевского множества
числовой прямой
.
Комплексная функция
, заданная на
, называется
-измеримой, если включение

выполняется для любого борелевского подмножества комплексной плоскости.
Можно доказать, что это условие равносильно
-измеримости действительной и мнимой части данной функции.
Если из контекста понятно, о какой мере идёт речь, то вместо «μ-измеримая функция» часто говорят просто «измеримая функция».
Числовая функция, заданная на вещественной прямой, называется борелевской или B-измеримой, если прообраз каждого боролевского множества есть борелевское множество.
Теорема 2.1. Пусть
,
и
— произвольные множества, с заданными в них системами подмножеств
,
и
соответственно. Пусть функция
, определённая на
является
-измеримой, а функция
, определённая на
является
-измеримой. Тогда функция

является
-измеримой.
Доказательство. Если подмножество
входит в систему
, то в силу
-измеримости функции
:
.
А в силу
-измеримости функции
:
.
Таким образом
,
а так как множество
можно взять произвольным, то функция
является
-измеримой.
Следствие. Борелевская функция от
-измеримой вещественной функции является
-измеримой. Непрерывная функция от
-измеримой функции является
-измеримой.
Теорема 2.2. Действительная функция
является измеримой тогда и только тогда, когда для любого действительного числа
множество
является измеримым.
Доказательство.
Необходимость условия очевидна, так как для любого вещественного числа
множество
является борелевским.
Рассмотрим σ-алгебру, порождённую системой
всех полупрямых
.
Данная σ-алгебра совпадает с σ-алгеброй всех борелевских множеств прямой.
Отсюда следует, что прообраз каждого борелевского множества принадлежит σ-алгебре, порождённой прообразами полупрямых из
, и следовательно — измерим.
Замечание. Иногда условие данной теоремы принимают за определение измеримой функции.
Как видно из определения, понятие измеримой функции можно ввести независимо от наличия меры, достаточно указать, какие множества области определения и области значения являются измеримыми.
Арифметические операции над измеримыми функциями[править]
Теорема 2.3. Сумма, разность и произведение двух измеримых функций является измеримой функцией. Частное двух измеримых функций является измеримой функцией, если знаменатель не обращается в нуль.
Доказательство.
Сначала заметим, что если функция
является измеримой, то для любых постоянных вещественных числе
и
измеримыми являются функция
.
Если
и
— измеримые функции, то множество

является измеримым, это следует из разложения
,
где объединение берётся по всем рациональным числам.
Отсюда следует, что измеримо множество
.
Таким образом, сумма измеримых функций является измеримой функцией.
Из равенства
,
следует, что разность измеримых функций измерима.
Для доказательства измеримости произведения двух измеримых функций воспользуемся тождеством
.
Сумма и разность измеримых функций измеримы по доказанному.
Квадрат измеримой функции измерим в силу теоремы 1.
Если функция
измерима и
, то измерима и функция
.
Если
, то
.
Если
, то
.
Если же
, то
.
Во всех случаях справа получаем измеримое множество.
Из равенства

следует, что отношение измеримых функций измеримо, если знаменатель не обращается в нуль.
Теорема 2.4. Предел сходящейся в каждой точке множества
последовательности измеримых функций является измеримой функцией.
Эквивалентные функции, сходимость почти всюду[править]
Две функции
и
, заданные на одном измеримом множестве
называют эквивалентными (пишут
), если эти функции различаются на множестве меры нуль, то есть если имеет место равенство
.
Говорят, что некоторое свойство выполняется почти всюду на множестве
, если оно выполняется на всём множестве
, за исключением, быть может, точек, образующих множество меры нуль.
Теорема 2.5. Функция
, заданная на некотором измеримом множестве
и эквивалентная на этом множестве измеримой функции
также является измеримой.
Доказательство.
Из эквивалентности функций
и
следует, что множества

и

отличаются друг от друга лишь на множество меры нуль.
А так как меру без ограничения общности можно считать полной, то из измеримости второго множества следует измеримость первого.
Утверждение теоремы следует отсюда по определению измеримой функции.
Последовательность функций
, заданных на некотором пространстве
с мерой, называется сходящейся почти всюду к функции
, если почти всюду на
выполняется равенство
.
Используя понятие сходимости почти всюду, можно обобщить Теорему 2.4:
Теорема 2.4а. Если последовательность измеримых функций
сходится на множестве
к функции
почти всюду, то функция
является измеримой.
Доказательство.
Пусть
- это множество, на котором выполняется равенство
.
По определению сходимости почти всюду:
.
По теореме 2.4 функция
измерима на
, а на множестве меры нуль измерима любая функция, то функция
измерима на
.
Теорема Егорова[править]
Следующая теорема устанавливает связь между сходимостью почти всюду и равномерной сходимостью.
Теорема 2.6 (Егоров). Пусть
— множество конечной меры, а последовательность измеримых функций
сходится на
почти всюду к функции
. Тогда для любого вещественного числа
существует такое измеримое множество
, что
,
и на множестве
последовательность
сходится к функции
равномерно.
Доказательство.
Функция
является измеримой по теореме 2.4а.
Положим
,
из данного определения ясно, что при заданном
выполняются включения
.
Положим также
.
Так как σ-аддитивная мера является непрерывной, то для любого номера
и любого вещественного числа
найдётся такой номер
, что
.
Докажем, что множество

удовлетворяют условиям теоремы.
Если
, то для любого
при
выполняется неравенство
,
а следовательно последовательность
сходится на
к
равномерно.
Далее, если
, то можно указать сколь угодно большое целое число
для которого
,
а значит последовательность
не сходится к
на множестве
, а так как по условию теоремы сходимость имеет место почти всюду, то
.
Таким образом:
.
Окончательно имеем
.
Теорема доказана.
Сходимость по мере[править]
Говорят, что последовательность измеримых функций
сходится по мере к функции
, если для любого
.
Предполагается, что рассматриваемая мера является конечной.
Теорема 2.7. Если последовательность измеримых функций
сходится почти всюду к некоторой функции
, то эта последовательность сходится к
по мере.
Доказательство. Из теоремы 2.4а следует, что функция
является измеримой.
Рассмотрим множество точек, в которых последовательность
не сходится к функции
:
,
по условию теоремы
.
Введём следующие обозначения:
,
,
.
По определению
,
следовательно, в силу непрерывности меры, имеет место равенство
.
Если
, то есть
,
то для любого вещественного числа
существует такой номер
, что при
выполняется неравенство
,
то есть
,
а следовательно, по свойству пересечения множеств:
.
Таким образом
,
откуда следует, что

и в силу непрерывности нормы
,
а так как
,
то
,
теорема доказана.
Обратное утверждение, вообще говоря, не выполняется, можно указать последовательность, сходящуюся по мере, но не сходящуюся почти всюду.
Тем не менее, можно доказать доказать более слабое утверждение:
Теорема 2.8. Если последовательность измеримых функций
сходится по мере к некоторой функции
, то из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к
почти всюду.
Теорема Лузина[править]
Теорема 2.9 (Лузин). Для того, чтобы функция
, заданная на отрезке
, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого вещественного числа
существовала такая непрерывная на отрезке
функция
, что
.
Другими словами, из измеримой функции можно получить непрерывную, изменив её значения на множестве сколь угодно малой меры.