Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску
Линейная алгебра и аналитическая геометрия

  1. Предварительные понятия
  2. Метод координат
  3. Алгебраические линии первого и второго порядка
  4. Комплексные числа
  5. Матрицы и определители
  6. Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
  7. Системы линейных уравнений
  8. Определение векторного пространства
  9. Линейно-зависимые системы векторов
  10. Подпространства векторного пространства
  11. Линейные многообразия
  12. Аналитическая геометрия в пространстве
  13. Линейные пространства. Линейные преобразования
  14. Задачи

В статьях по линейной алгебре могут совместно использоваться понятия точки, вектора и матрицы. Например, при описании нелинейного метода сопряжённых градиентов часто применяются формулы вида

где и соответствуют точкам в некотором пространстве, - просто число (скаляр), - вектор. Формула описывает, как осуществляется перемещение из точки в некотором пространстве в направлении вектора , причём длина шага зависит от . Перемещение приводит к новой точке :

Points and vectors.svg

Операция умножения вектора на скаляр () в математике определена, она даёт в результате вектор другой длины. Но может показаться странным, что точка (абстрактный объект в определённом месте пространства, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других измеримых характеристик) складывается с вектором (направленным отрезком). В математике не определена операция сложения точки с вектором.

Дело в том, что в действительности в приведённой формуле используются матрицы, а не точки и вектора. - это матрица из одного столбца, в которую записаны координаты точки в Декартовой системе координат:

Случай двух координат изображён на рисунке, приведённом выше.

- это матрица из одного столбца, в которую записаны координаты конца вектора в Декартовой системе координат. При этом начало вектора устанавливается в начало координат. В случае двух координат:

Также и можно рассматривать как длины вектора вдоль соответствующих осей координат. Вектор можно изображать на координатной плоскости в любом месте. Где бы он ни был изображён - это будет один и тот же вектор (если его не поворачивать).

Таким образом, для записи координат точек и векторов используются матрицы-столбцы, и в формулах производятся операции с координатами в матрицах, а не с точками и векторами непосредственно.

Во многих статьях применяется запись координат в матрицах-столбцах, однако в других источниках может применяться запись в матрицах-строках. Это столь же правомерно. При необходимости применяется операция транспонирования. Она меняет в матрице строки на столбцы, переводит матрицу-строку в матрицу-столбец и наоборот:

если , то .