Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Определение векторного пространства

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Центральными понятиями линейной алгебры является вектор и векторное пространство. При написании этой главы автор предполагает, что читатель знаком с курсом математики средней школы и помнит, как формулируется понятие вектора в курсе школьной геометрии в 9, 10 и 11 классах. Однако в линейной алгебре векторы изучаются с самой общей точки зрения. (Как говорил один мой преподаватель: «Забудьте, что вектор — это палка со стрелкой!!!» ☺) — примечание автора 194.67.2.153.) Для того, чтобы понять, что такое вектор, воспользуемся так называемым аксиоматическим методом. Вместо того, чтобы прямо дать определение, что такое вектор, перечислим свойства, которыми он должен обладать, и на основании этих свойств в дальнейшем будем строить нашу теорию. При таком подходе вектор как направленный отрезок — лишь частный случай, пример (модель — как говорят математики) этого понятия.

Обычно при аксиоматическом методе описывают не что такое отдельно взятый объект (в нашем случае — «вектор»), а сразу всю их совокупность описанием их основных свойств, которые, в свою очередь, описываются в предложениях, именуемых аксиомами. В нашем случае совокупность, множество векторов назовём векторным пространством. Его и опишем с помощью перечисления аксиом. (Рекомендую прочитать об этом соответствующую статью в журнале «Квант»,1976 г., № 4 Башмаков М. , «Что такое вектор?», [1].)

Аксиомы векторного пространства

Пусть V — непустое множество, элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать ${\vec {a}},{\vec {x}},{\vec {y}}$ … и т. д. Пусть на V заданы и определены́ каким-либо образом две операции. Первая операция — бинарная аддитивная операция (или грубо говоря — операция сложения). Эту операцию обозначим знаком +, (впрочем, необязательно, чтобы на все 100 % эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим, особым знаком, например так: $\oplus$ ( ${\vec {a}}\oplus {\vec {b}}={\vec {c}}$ ). Вторая операция — умножение вектора на какой-нибудь элемент $\alpha$ такого множества, которое является полем, в результате которой получается новый вектор ( $\alpha \cdot {\vec {a}}=\alpha {\vec {a}}$ ). Элементы поля называют ещё скалярами. (Кому лень смотреть, что такое поле, скажу что примерами алгебраических полей могут служить множество действительных или также комплексных чисел).

Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства.

a)сумма любых двух элементов из V и б)произведение скаляра и произвольного элемента из V являются некоторыми элементами из V (векторами).
сложение любых трёх элементов ${\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}}$ из V подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят — векторное сложение ассоциативно): ${\vec {x}}+({\vec {y}}+{\vec {z}})=({\vec {x}}+{\vec {y}})+{\vec {z}}$
сложение любых двух элементов ${\vec {x}},{\vec {y}}$ из V подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): ${\vec {x}}+{\vec {y}}={\vec {y}}+{\vec {x}}$ .
существует такой элемент ${\vec {0}}$ из V (нулевой вектор), что для любого ${\vec {x}}\quad {\vec {x}}+{\vec {0}}={\vec {x}}$ .
для любого элемента из V существует такой элемент из V, сумма которого с исходным элементом равна ${\vec {0}}$ , то есть ( $\forall {\vec {x}}\in V)\quad (\exists (-{\vec {x}}))\quad {\vec {x}}+(-{\vec {x}})={\vec {0}}$ .

Для любых скаляров (чисел) $\alpha$ и $\beta$ и для любых двух векторов ${\vec {x}},{\vec {y}}$ из V

6. $(\alpha \beta ){\vec {x}}=\alpha (\beta {\vec {x}})$

7. $(\alpha +\beta ){\vec {x}}=\alpha {\vec {x}}+\beta {\vec {x}}$

8. $\alpha ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\alpha {\vec {x}}+\alpha {\vec {y}}$

9. $1{\vec {x}}={\vec {x}}$

Замечание: аксиомы 1а,2,3,4 называют ещё аксиомами абелевой группы.

Примеры векторных пространств

Конечномерное арифметическое пространство

Пусть n-произвольное фиксированное натуральное число, а R — множество действительных чисел. Назовём арифметическим n-мерным вектором упорядоченную последовательность из n действительных чисел. Как правило такой вектор записывают в виде строки ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}...a_{n})$ , a числа $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}...a_{n}$ называют ещё первой, второй и т. д. координатой вектора. Множество всех арифметических n-мерных векторов обозначим Rⁿ. Введём операции сложения векторoв по такой формуле:

Пусть вектор

{\vec {a}}

=(a₁, a₂, a₃, a₄,… a_n), а вектор

{\vec {b}}

=(b₁, b₂, b₃, b₄,… b_n). Тогда

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},a_{4}+b_{4},...a_{n}+b_{n})

.

a yмножение на скаляр α (то есть на действительное число) по такой формуле:

Пусть вектор

{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}...a_{n})

. Тогда вектор

\alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{1},\alpha a_{2},\alpha a_{3},\alpha a_{4}...\alpha a_{n})

,

то есть сложение и умножение векторов осуществляется покоординатно. Нетрудно видеть, что на множестве Rⁿ с только что определёнными выше операциями выполняются все 8 аксиом, то есть Rⁿ-векторное пространство.

Действительно, пусть ${\vec {a}}$ =(a₁, a₂, a₃,… a_n), ${\vec {b}}$ =(b₁, b₂, b₃,… b_n), ${\vec {c}}$ =(c₁, c₂, c₃,… c_n)- произвольные векторы из Rⁿ, а α и β-произвольные числа (скаляры). Тогда

${\vec {a}}+{\vec {b}}$ =(a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃,… a_n+b_n) $\in$ V; $\alpha {\vec {a}}=$ (αa₁, αa₂, αa₃,…αa_n) $\in$ V.
$({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}=$ ((a₁+b₁)+c₁, (a₂+b₂)+c₂,…(a_n+b_n)+c_n)=(a₁+(b₁+c₁), a₂+(b₂+c₂),…a_n+(b_n+c_n))= ${\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})$
${\vec {a}}+{\vec {b}}$ =(a₁+b₁, a₂+b₂,…a_n+b_n)=(b₁+a₁, b₂+a₂,…b_n+a_n)= ${\vec {b}}+{\vec {a}}$ .
Примем за нулевой вектор ${\vec {0}}$ строку из n нулей ${\vec {0}}=$ (0,0,…0). Тогда ${\vec {a}}+{\vec {0}}$ =(a₁+0, a₂+0, a₃+0,… a_n+0)= ${\vec {0}}+{\vec {a}}$
Найдём для вектора ${\vec {a}}(a_{1},a_{2},...a_{n})$ обратный ему вектор ${\vec {x}}(x_{1},x_{2},...x_{n})$ такой, что ${\vec {a}}+{\vec {x}}={\vec {0}}$ . Поскольку сложение векторов осуществляется покоординатно, то $(a_{1},a_{2},...a_{n})+(x_{1},x_{2},...x_{n})=(a_{1}+x_{1},a_{2}+x_{2},...a_{n}+x_{n})=(0,0,...0)$ . Отсюда $x_{1}=-a_{1},x_{2}=-a_{2},x_{n}=-a_{n}$ , и вектор ${\vec {x}}=(-a_{1},-a_{2},...-a_{n})=-{\vec {a}}$ .
Пусть α и β-произвольные числа. Тогда $(\alpha \beta )\cdot {\vec {a}}=(\alpha \beta )\cdot (a_{1},a_{2},...a_{n})=(\alpha \beta a_{1},\alpha \beta a_{2},...\alpha \beta a_{n})$ α $(\beta {\vec {a}})=\alpha \cdot (\beta a_{1},\beta a_{2},...\beta a_{n})=(\alpha \beta a_{1},\alpha \beta a_{2},...\alpha \beta a_{n})$ , то есть $(\alpha \beta ){\vec {a}}=\alpha (\beta {\vec {a}}).$
Аксиомы 7, 8, 9 проверьте самостоятельно в виде несложного упражнения.

Бесконечномерное арифметическое пространство

Назовём арифметическим бесконечномерным вектором бесконечную упорядоченную последовательность из действительных чисел, то есть ${\vec {a}}=$ $(a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n}...)$ . Можно проверить, что множество таких последовательностей относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр образуют векторное пространство. Его обычно обозначают $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ .

Пространство матриц

Пусть m и n-два каких-то фиксированных натуральных числа. Можно также показать, что множество всех матриц совпадающих размеров относительно их сложения и умножения на число (см. здесь) образуют векторное пространство. Проверьте, например, что матрица, у которой все элементы равны 0 играет роль нулевого вектора, а для матрицы A роль противоположного элемента играет матрица -A, у которой все соответствующие элементы из A взяты с противоположным знаком.

Ещё примеры

Вводя понятие конечно- или бесконечномерного вектора, мы говорили что координаты и скаляры- действительные числа. Но нетрудно видеть, что упорядоченные последовательности из n комплексных чисел, (то есть координаты вектора будут комплексными числами), относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр, являющегося тоже комплексным числом, тоже образуют векторное пространство (обозначим его Cⁿ) и при этом Rⁿ $\subset$ Cⁿ.

Сказанное можно отнести и к матрицам, элементы которых комплексные числа.

Упражнения

Проверьте, что множество всех векторов плоскости относительно их сложения по правилу параллелограма (или равносильного ему правила треугольника) и умножения на число образует векторное пространство.
Покажите, что множество комплексных чисел относительно сложения между собой и умножения на скаляр-действительное число образует векторное пространство.
Покажите, что множество всех функций, заданных наR проходящих через точку (0,0) относительно сложения функций и умножения на действительное число образует векторное пространство, а множество функций проходящих через точку (0,5) векторное пространство не образует.

Свойства векторных пространств

Приведённые ниже свойства кажутся в свете представленных выше примеров очевидны, но при аксиоматическом методе любой шаг должны быть логически обоснован, тем более, что векторные пространства вышеприведёнными примерами не исчерпываются.

Пусть V-произвольное векторное пространство а P▬произвольное множество, являющееся полем. (В примерах, которые были рассмотрены выше, полями являлись множество действительных или комплексных чисел, но существуют и другие поля). Справедливы следующие утверждения: 1 $(\forall {\vec {x}}\in V)\quad 0\cdot {\vec {x}}={\vec {0}}$

Доказательство

Согласно акс.4 ${\vec {x}}+{\vec {0}}={\vec {x}}$ . С другой стороны ${\vec {x}}+0{\vec {x}}=$ (по акс.9) $1{\vec {x}}+0{\vec {x}}=$ (по акс.7) $(1+0){\vec {x}}={\vec {x}}$ . То есть ${\vec {x}}+{\vec {0}}={\vec {x}}+0{\vec {x}}$ . Согласно свойству 2 в группах последнее равенство равносильно ${\vec {0}}=0{\vec {x}}$ , ч.т.д.

2 $(\forall \alpha \in P)\quad \alpha \cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ 3 $(\forall \alpha \in P)\ (\forall {\vec {x}}\in V)\quad \alpha {\vec {x}}={\vec {0}}\Rightarrow \alpha =0\vee {\vec {x}}={\vec {0}}$

4 $(\forall {\vec {x}}\in V)\quad (-1){\vec {x}}=-{\vec {x}}$

Доказательство

${\vec {x}}+(-1){\vec {x}}=$ (по акс.9) $1{\vec {x}}+(-1){\vec {x}}=$ (по акс.7) $(1+(-1)){\vec {x}}=0{\vec {x}}=$ (по св-ву 2 вект. пространства) ${\vec {0}}$ Т.о. с одной стороны ${\vec {x}}+(-1){\vec {x}}={\vec {0}}$ , с другой стороны по акс.4 ${\vec {x}}+(-{\vec {x}})={\vec {0}}$ . Отсюда, как и в свойстве 1, сокращая на ${\vec {x}}$ , получаем $(-1){\vec {x}}=-{\vec {x}}$

5 $(\forall \alpha \in P)\ (\forall {\vec {x}}\in V)\quad \alpha (-{\vec {x}})=(-\alpha ){\vec {x}}=-(\alpha {\vec {x}})$

Свойства 2, 3, 5 докажите самостоятельно.