Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Задачи
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- Предварительные понятия
- Метод координат
- Алгебраические линии первого и второго порядка
- Комплексные числа
- Матрицы и определители
- Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
- Системы линейных уравнений
- Определение векторного пространства
- Линейно-зависимые системы векторов
- Подпространства векторного пространства
- Линейные многообразия
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Линейные пространства. Линейные преобразования
- Задачи
Векторы[править]
Упорядоченные наборы чисел[править]
вектор а (1,2,0 ) вектор b (0,-1,1 ) вектор c (2,3,2 )
Сумма векторов и умножение вектора на скаляр[править]
Системы линейных уравнений[править]
Метод Гаусса[править]
Задачи[править]
- Дана система уравнений:
Для каких значений существует:- единственное решение?
- бесконечное множество решений? В случае, если у системы имеется бесконечное множество решений, запишите его в общем виде.
- Дана система уравнений:
- Докажите, что необходимым и достаточным условием того, что у системы имеется только тривиальное решение, является .
- Предположем, что и .
- Докажите, что у системы есть бесконечное множество решений.
- Предположим, какое-то нетривиальное решение системы . Докажите, что является множеством решений системы.
-
Предположим линейно-независимые векторы в . В каждом из нижеперечисленных случаев покажите являются ли векторы линейно-независимыми:
- .
Пространство [править]
Задачи[править]
- Покажите, что линейная оболочка векторов совпадает с пространством .
- Мы должны показать, что произвольный вектор в — линейная комбинация векторов , то есть
или, другими словами,
Составим эквивалентную систему и приведем её к треугольному виду:
Очевидно, что данная система совместна и имеет единственное решение: .
Следовательно, произвольный вектор из является линейной комбинацией векторов , т.е. линейная оболочка этих векторов совпадает со всем пространством.
- Мы должны показать, что произвольный вектор в — линейная комбинация векторов , то есть
Матрицы и детерминанты[править]
Поле комплексных чисел[править]
↑====Задачи====
- Найти тригонометрическое представление комплексного числа .
Для начала запишем в стандартном виде ().
Используем формулу для тригонометрического представление комплексного числа.
Используем формулу и найдём . . .
- Доказать .
- Доказать .
.
Линейные (векторные) пространства[править]
Задачи[править]
- Докажите или опровергните: .
- Во-первых,
Базис и размерность[править]
Теорема:
Пусть К подмножество
- Доказательство:
Первый способ
Линейная зависимость[править]
Определение
Базис линейного пространства[править]
Определение
Задачи[править]
- Найдите базис для пространства решений гомогенной системы уравнений:
Размерность конечномерного линейного пространства[править]
Определение
Координаты[править]
Определение
Задачи[править]
- Пусть U и W следующие подпространства :
- Найдите базис и размерность для
. - Найдите . Найдите базис .
- Найдите базис и размерность для
- Докажите, что множество является базисом для .
- Во-первых, докажем, что данное множество матриц линейно-независимо. Для этого исследуем линейную комбинацию матриц-членов В равную нуль-матрице:
(*)
или
.
Полученное равенство равнозначно системе уравнений:
У данной системы есть единственное и притом тривиальное решение, то есть множество В, состоящее из четырёх членов, линейно-независимо в пространстве, размерность которого равна 4 (). То есть, В является базисом .
- Во-первых, докажем, что данное множество матриц линейно-независимо. Для этого исследуем линейную комбинацию матриц-членов В равную нуль-матрице:
- Найдите координаты матриц и относительно упорядоченного базиса .
- a) Найдем коэффициенты , для которых
Это равенство выполняется при условии, что:
Единственным решением данной системы будет . Следовательно,
b) Подобным способом представим матрицу как линейную комбинацию матриц-членов базиса В:
Запишем систему:
Единственным решением данной системы будет . Следовательно, .
- a) Найдем коэффициенты , для которых
Ранг матрицы[править]
Определение
Линейные трансформации[править]
Задачи[править]
- Определим отображение из пространства в :
для любого вектора ,
.
Докажите, что отображение