Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Задачи

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску
Линейная алгебра и аналитическая геометрия

  1. Предварительные понятия
  2. Метод координат
  3. Алгебраические линии первого и второго порядка
  4. Комплексные числа
  5. Матрицы и определители
  6. Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
  7. Системы линейных уравнений
  8. Определение векторного пространства
  9. Линейно-зависимые системы векторов
  10. Подпространства векторного пространства
  11. Линейные многообразия
  12. Аналитическая геометрия в пространстве
  13. Линейные пространства. Линейные преобразования
  14. Задачи

Векторы[править]

Упорядоченные наборы чисел[править]

вектор а (1,2,0 ) вектор b (0,-1,1 ) вектор c (2,3,2 )

Сумма векторов и умножение вектора на скаляр[править]

Системы линейных уравнений[править]

Метод Гаусса[править]

Задачи[править]

  1. Дана система уравнений:



    Для каких значений существует:
    1. единственное решение?
    2. бесконечное множество решений? В случае, если у системы имеется бесконечное множество решений, запишите его в общем виде.
  2. Дана система уравнений:



    1. Докажите, что необходимым и достаточным условием того, что у системы имеется только тривиальное решение, является .
    2. Предположем, что и .
      1. Докажите, что у системы есть бесконечное множество решений.
      2. Предположим, какое-то нетривиальное решение системы . Докажите, что является множеством решений системы.
  3. Предположим линейно-независимые векторы в . В каждом из нижеперечисленных случаев покажите являются ли векторы линейно-независимыми:
    1. .

Пространство [править]

Задачи[править]

  1. Покажите, что линейная оболочка векторов совпадает с пространством .
    • Мы должны показать, что произвольный вектор в — линейная комбинация векторов , то есть



      или, другими словами,



      Составим эквивалентную систему и приведем её к треугольному виду:



      Очевидно, что данная система совместна и имеет единственное решение: .

      Следовательно, произвольный вектор из является линейной комбинацией векторов , т.е. линейная оболочка этих векторов совпадает со всем пространством.


Матрицы и детерминанты[править]

Поле комплексных чисел[править]

Задачи[править]

  1. Найти тригонометрическое представление комплексного числа .
    • Для начала запишем в стандартном виде ().

      Используем формулу для тригонометрического представление комплексного числа.

      Используем формулу и найдём . . .

  2. Доказать .
  3. Доказать .




    • .

Линейные (векторные) пространства[править]

Задачи[править]

  1. Докажите или опровергните: .
    • Во-первых,

Базис и размерность[править]

Теорема:


Пусть К подмножество

  • Доказательство:

    Первый способ

Линейная зависимость[править]

Определение


Базис линейного пространства[править]

Определение


Задачи[править]

  1. Найдите базис для пространства решений гомогенной системы уравнений:

Размерность конечномерного линейного пространства[править]

Определение


Координаты[править]

Определение


Задачи[править]

  1. Пусть U и W следующие подпространства :





    1. Найдите базис и размерность для
      .
    2. Найдите . Найдите базис .
  2. Докажите, что множество является базисом для .
    • Во-первых, докажем, что данное множество матриц линейно-независимо. Для этого исследуем линейную комбинацию матриц-членов В равную нуль-матрице:

      (*)

      или

      .

      Полученное равенство равнозначно системе уравнений:



      У данной системы есть единственное и притом тривиальное решение, то есть множество В, состоящее из четырёх членов, линейно-независимо в пространстве, размерность которого равна 4 (). То есть, В является базисом .
  3. Найдите координаты матриц и относительно упорядоченного базиса .
    • a) Найдем коэффициенты , для которых



      Это равенство выполняется при условии, что:



      Единственным решением данной системы будет . Следовательно,

      b) Подобным способом представим матрицу как линейную комбинацию матриц-членов базиса В:



      Запишем систему:



      Единственным решением данной системы будет . Следовательно, .

Ранг матрицы[править]

Определение


Линейные трансформации[править]

Задачи[править]

  1. Определим отображение из пространства в  :

    для любого вектора ,

    .

    Докажите, что отображение