Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Предварительные понятия

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к: навигация, поиск
Линейная алгебра и аналитическая геометрия

  1. Предварительные понятия
  2. Метод координат
  3. Алгебраические линии первого и второго порядка
  4. Комплексные числа
  5. Матрицы и определители
  6. Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
  7. Системы линейных уравнений
  8. Определение векторного пространства
  9. Линейно-зависимые системы векторов
  10. Подпространства векторного пространства
  11. Линейные многообразия
  12. Аналитическая геометрия в пространстве
  13. Линейные пространства. Линейные преобразования
  14. Задачи

Содержание данного параграфа не относится напрямую к линейной алгебре, но в дальнейшем изложении рассмотренные здесь понятия будут часто использоваться .

Бинарные операции[править]

Любому школьнику известны понятия операции (действия) сложения, вычитания, умножения и деления. Эти операции осуществляются над двумя числами, в результате чего получается какое-то третье число. Разные арифметические выражения являются сочетаниями этих операций (например: 3+2*3=9 — сочетание умножения (3*2) и сложения (3 складывается с результатом умножения 6). Обобщим теперь представление об операциях, осуществляемых над элементами какого-либо множества.

Рассмотрим произвольное множество M и зададим на этом множестве некую операцию (действие), которой для своего совершения нужны два элемента из этого множества, в результате чего однозначно получается какой-то третий элемент (возможно, иногда и равный одному из исходных элементов). Если данная операция осуществима над любыми двумя элементами и множества M и в результате получается элемент z из того же самого множества, то такую операцию (действие) назовём бинарной, при этом x и y называют операндами, а z — результатом. Строгое матопределение смотри здесь.

Примеры:

  • операция сложения или вычитания на множестве действительных или комплексных чисел — бинарные операции (любые два числа из этого множества можно сложить/вычесть, в результате чего получится число из того же самого множества)
  • операция вычитания на множестве натуральных чисел не является бинарной (на множестве натуральных чисел из меньшего числа нельзя вычесть большее)
  • операция умножения на множестве и натуральных, и целых, и действительных чисел — бинарная операция.
  • операция деления на множестве действительных чисел не является бинарной (на 0 делить нельзя), но на множестве действительных чисел, из которого исключён 0, это бинарная операция.

Существуют операции, которым для своего осуществления требуется один элемент, например . Такие операции называются унарными (от лат. uno — один).

Группы[править]

Пусть на некоем множестве G задана какая-то операция . Обозначение , где G — само множество, а — некая заданная на нём операция.

называется группой, если:

  1. — бинарная операция;
  2. , или, как говорят, операция ассоциативна (подчиняется сочетательному закону). Знак обозначает «для любого», «для всех», «для каждого»;
  3. — в G существует нейтральный элемент;
  4. — для каждого элемента можно найти элемент, ему обратный. Знак обозначает «существует, можно найти»;

Если от перестановки операндов результат не меняется, то такую группу называют коммутативной, или абелевой, т.е.:

5.

Отметим некоторые свойства групп:

  1. Нейтральный элемент в группе всегда единственный.
  2. Если , то для любого . Верно и обратное. (То есть в группах можно сокращать.)
  3. Уравнение всегда имеет единственный корень

Поля[править]

Пусть на некотором множестве P заданы какие-то две двуместные(т.е. для своего совершения каждой операции нужны два элемента из этого множества, в результате чего однозначно получается какой-то третий элемент) операции. Обозначение:. Одну из них (пусть ) назовём аддитивной, а другую()- мультипликативной. Если:

  1. P относительно -коммутативная группа,
  2. Операция ассоциативна и коммутативна, имеет для себя нейтральный элемент.
  3. Все элементы множества P кроме нейтрального элемента по аддитивной операции обратимы по мультипликативной операции.
  4. Операция относительно подчиняется распределительному закону (дистрибутивна):,

то такое множество с заданными на нём операциями называют полем. Строгое матопределение смотри здесь.

Отметим некоторые дополнительные свойства полей:

  1. Нейтральные элементы по двум заданным операциям ни в каком поле никогда не совпадают.

Нейтральный элемент по аддитивной операции обозначают 0P или просто 0, а по мультипликативной операции 1P ( 1 ). Отметим, что "0" и "1" в общей теории полей -символы (можно придумать такое поле, где под 0 и 1 понимается совсем не числа 0 и 1).

Примеры групп и полей[править]

  • Множество целых чисел относительно операции сложения - группа
  • Множество векторов плоскости относительно операции векторного сложения - группа.
  • Множество действительных чисел относительно операции сложения (аддитивная) и умножения (мультипликативная)-поле. Действительно, нетрудно проверить, что -группа (усл.№1), умножение подчиняется сочетательному и переместительному закону, а число 1-нейтрально по умножению (усл.№2), на 0 делить нельзя (это и есть усл. №3), сложение относительно умножения подчиняется распределительному закону: (x+y)z=xz+yz.