Перейти к содержанию

Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Подпространства векторного пространства

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Линейная алгебра и аналитическая геометрия

  1. Предварительные понятия
  2. Метод координат
  3. Алгебраические линии первого и второго порядка
  4. Комплексные числа
  5. Матрицы и определители
  6. Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
  7. Системы линейных уравнений
  8. Определение векторного пространства
  9. Линейно-зависимые системы векторов
  10. Подпространства векторного пространства
  11. Линейные многообразия
  12. Аналитическая геометрия в пространстве
  13. Линейные пространства. Линейные преобразования
  14. Задачи

Подпространство векторного пространства[править]

Пусть задано векторное пространство V над полем P и , причём .
Определение:  W называется подпространством пространства V, если оно само является векторным пространством над полем P.

Теорема 1: Критерий подпространства. Непустое множество является подпространством пространства V тогда и только тогда, когда W замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры. Иными словами, выполняются следующие два условия:

Доказательство

Если W является подпространством V, то оно само векторное пространство, поэтому и должно быть замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры.

Обратно, пусть выполняются условия 1) и 2) критерия. По условию 2)  , а значит . Поскольку, к тому же, операция сложения векторов ассоциативна на W, то W- абелева группа относительно сложения векторов (выполняются аксиомы 1-5). Условие 2) также означает, что на W задана операция умножения векторов на скаляры из P. Ясно, что все остальные аксиомы векторного пространства для W выполняются, и поэтому оно является подпространством пространства V.

Замечание: Условия 1) и 2) критерия можно было заменить следующим равносильным условием:

Примеры подпространств:

  • Множество является подпространством в любом пространстве V.
  • Множество компланарных какой-нибудь плоскости α векторов- подпространство в пространстве трёхмерных векторов.
  • Докажите, применив критерий подпространства, что - подпространство арифметического пространства Pn.

Теорема 2:  Пересечение любого семейства подпространств данного пространства V вновь является подпространством постранства V.

Доказательство

Пусть - произвольное семейство подпространств пространства V. Т.к. принадлежит любому подпространтву (см. доказательство критерия), то пересечение всех подпространств из этого семейства- не пусто (т.е. ). Возьмём произвольные скаляры α и β из поля P и произвольные векторы и из . Тогда, по критерию, , а значит , следовательно, - подпространство пространства V.

Линейная оболочка системы векторов[править]

Пусть - система векторов из векторного пространства V над полем P.

Определение 2:  Линейной оболочкой L системы A называется множество всех линейных комбинаций векторов системы A. Обозначение L(A).

Можно показать, что для любых двух систем A и B,

  1. A линейно выражается через B тогда и только тогда, когда .   (1)
  2. A эквивалентна B тогда и только тогда, когда L(A)=L(B).   (2)

Доказательство следует из предыдущего свойства

3   Линейная оболочка любой системы векторов является подпространством пространства V.
Доказательство

Возьмём любые два вектора и из L(A), имеющие следующие разложения по векторам из A: . Проверим выполнимость условий 1) и 2) критерия:

  1. , так как представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.
  2. , так как тоже представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.

Рассмотрим теперь матрицу . Линейная оболочка строк матрицы A называется строчечным пространством матрицы и обозначается Lr(A). Линейная оболочка столбцов матрицы A называется столбцовым пространством и обозначается Lc(A). Обратите внимание, что при строчечное и столбцовое пространство матрицы A являются подпространствами разных арифметических пространств Pn и Pm соответственно. Пользуясь утверждением (2), можно придти к следующему выводу:

Теорема 3:  Если одна матрица получена из другой цепочкой элементарных преобразований, то строчечные пространства таких матриц совпадают.