Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Подпространства векторного пространства
- Предварительные понятия
- Метод координат
- Алгебраические линии первого и второго порядка
- Комплексные числа
- Матрицы и определители
- Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
- Системы линейных уравнений
- Определение векторного пространства
- Линейно-зависимые системы векторов
- Подпространства векторного пространства
- Линейные многообразия
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Линейные пространства. Линейные преобразования
- Задачи
Подпространство векторного пространства
[править]Пусть задано векторное пространство V над полем P и , причём .
Определение: W называется подпространством пространства V, если оно само является векторным пространством над полем P.
Теорема 1: Критерий подпространства. Непустое множество является подпространством пространства V тогда и только тогда, когда W замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры. Иными словами, выполняются следующие два условия:
Если W является подпространством V, то оно само векторное пространство, поэтому и должно быть замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры.
Обратно, пусть выполняются условия 1) и 2) критерия. По условию 2) , а значит . Поскольку, к тому же, операция сложения векторов ассоциативна на W, то W- абелева группа относительно сложения векторов (выполняются аксиомы 1-5). Условие 2) также означает, что на W задана операция умножения векторов на скаляры из P. Ясно, что все остальные аксиомы векторного пространства для W выполняются, и поэтому оно является подпространством пространства V.
Замечание: Условия 1) и 2) критерия можно было заменить следующим равносильным условием:
Примеры подпространств:
- Множество является подпространством в любом пространстве V.
- Множество компланарных какой-нибудь плоскости α векторов- подпространство в пространстве трёхмерных векторов.
- Докажите, применив критерий подпространства, что - подпространство арифметического пространства Pn.
Теорема 2: Пересечение любого семейства подпространств данного пространства V вновь является подпространством постранства V.
Пусть - произвольное семейство подпространств пространства V. Т.к. принадлежит любому подпространтву (см. доказательство критерия), то пересечение всех подпространств из этого семейства- не пусто (т.е. ). Возьмём произвольные скаляры α и β из поля P и произвольные векторы и из . Тогда, по критерию, , а значит , следовательно, - подпространство пространства V.
Линейная оболочка системы векторов
[править]Пусть - система векторов из векторного пространства V над полем P.
Определение 2: Линейной оболочкой L системы A называется множество всех линейных комбинаций векторов системы A. Обозначение L(A).
Можно показать, что для любых двух систем A и B,
- A линейно выражается через B тогда и только тогда, когда . (1)
- A эквивалентна B тогда и только тогда, когда L(A)=L(B). (2)
Доказательство следует из предыдущего свойства
- 3 Линейная оболочка любой системы векторов является подпространством пространства V.
Возьмём любые два вектора и из L(A), имеющие следующие разложения по векторам из A: . Проверим выполнимость условий 1) и 2) критерия:
- , так как представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.
- , так как тоже представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.
Рассмотрим теперь матрицу . Линейная оболочка строк матрицы A называется строчечным пространством матрицы и обозначается Lr(A). Линейная оболочка столбцов матрицы A называется столбцовым пространством и обозначается Lc(A). Обратите внимание, что при строчечное и столбцовое пространство матрицы A являются подпространствами разных арифметических пространств Pn и Pm соответственно. Пользуясь утверждением (2), можно придти к следующему выводу:
Теорема 3: Если одна матрица получена из другой цепочкой элементарных преобразований, то строчечные пространства таких матриц совпадают.