Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Матрицы и определители

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

---

1. Предварительные понятия
2. Метод координат
3. Алгебраические линии первого и второго порядка
4. Комплексные числа
5. Матрицы и определители
6. Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
7. Системы линейных уравнений
8. Определение векторного пространства
9. Линейно-зависимые системы векторов
10. Подпространства векторного пространства
11. Линейные многообразия
12. Аналитическая геометрия в пространстве
13. Линейные пространства. Линейные преобразования
14. Задачи

В этой главе будет рассмотрен формальный аппарат, используемый в линейной алгебре, — алгебра матриц. При таком «предварительном» введении понятий матричной алгебры определения могут выглядеть недостаточно мотивированными. Однако их смысл проясняется в дальнейшем изложении курса.

Действия над матрицами

Определение матрицы

Определение Матрицей называют прямоугольную таблицу чисел (вещественных или комплексных). Эти числа называют элементами матрицы. Матрицу будем записывать следующим способом:

(1)

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right).$

Элементы $a_{ij}$ нумеруются двумя индексами; первый из них есть номер строки и меняется вдоль столбца, второй — номер столбца, который меняется вдоль строки. Для матрицы (1) употребляется также краткое обозначение, которое явно указывает на её размеры:

(2)

$A=\{a_{ij}{\}}_{i=1,\cdots ,m}^{j=1,\cdots ,n}.$

Матрица, составленная из m строк и n столбцов, называется (m х n)-матрицей. Такая матрица возникнет, например, при последовательном выписывании коэффициентов при неизвестных в системе из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Множество всех (m х n)-матриц будем обозначать через $M^{m,n}$. В некоторых случаях будем обозначать элемент $a_{ij}$ матрицы А, как $[A{]}_{i,j}$

Линейные действия над матрицами

Введем линейные действия над матрицами — сложение матриц и умножение матрицы на число. Сложение матриц определяется только для матриц совпадающих размеров: если $A\in M^{m,n},B\in M^{m,n}$, то $A+B\in M^{m,n}$, где

(3)

$[A+B{]}_{ij}=[A{]}_{ij}+[B{]}_{ij},i=1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n.$

Таким образом, сложение матриц состоит в поэлементном сложении. Умножение матрицы на число состоит в умножении на это число каждого элемента матрицы. Для произведения матрицы А на число $\alpha$ используется как обозначение $\alpha$A, так и обозначение A$\alpha$. Таким образом,

(4)

$[\alpha A{]}_{ij}=[A\alpha {]}_{ij}=\alpha [A{]}_{ij},i=1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n.$

Ясно, что $[\alpha A{]}_{ij}\in M^{m,n}$, если $A\in M^{m,n}$. При этом предполагается, что в случае вещественных матриц их можно умножать на вещественные множители. В классе комплексных матриц подразумевается умножение на комплексные числа. Перечислим свойства линейных операций в классе матриц $M^{m,n}$

Действия транспонирования и сопряжения

http://www.pm298.ru/matr3.php