Основы теоретической физики/Закон сохранения импульса

1.2.3. Закон сохранения импульса

Второй закон сохранения связан с однородностью пространства. В системах, где законы движения зависят от выбора начала системы отсчета координат, этот закон не работает. Если же любой параллельный перенос системы в пространстве не меняет ее механических свойств, то функция Лагранжа тоже не должна меняться.

Рассмотрим для наглядности функцию Лагранжа в декартовых координатах.

$L=L({\overrightarrow {r_{1}}},...,{\overrightarrow {r_{n}}},{\dot {\overrightarrow {r_{1}}}},...,{\dot {\overrightarrow {r_{n}}}})$ (1.2.10)

Запишем изменение функции Лагранжа при переносе всех точек системы на бесконечно малую величину, если скорости остаются неизменными:

${\begin{array}{c}\displaystyle {\overrightarrow {r_{a}}}={\overrightarrow {r_{a}}}+d{\overrightarrow {r_{a}}}\\\displaystyle {\dot {\overrightarrow {r_{a}}}}={\dot {\overrightarrow {r_{a}}}}+d{\dot {\overrightarrow {r_{a}}}}\\\displaystyle dL=\sum _{a=1}^{N}{\frac {\partial L}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}d{\overrightarrow {r_{a}}}=0\end{array}}$ (1.2.11)

При параллельном переносе все точки системы смещаются на постоянную величину, значит в однородном пространстве (где функция Лагранжа не изменяется) имеем:

${\begin{array}{c}\displaystyle d{\overrightarrow {r_{a}}}={\overrightarrow {\varepsilon }}={const}\\\displaystyle dL=\sum _{a=1}^{N}{\frac {\partial L}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}d{\overrightarrow {r_{a}}}={\overrightarrow {\varepsilon }}\sum _{a=1}^{N}{\frac {\partial L}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}=0\\\displaystyle \sum _{a=1}^{N}{\frac {\partial L}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}=0\end{array}}$ (1.2.12)

Подставим в  (1.2.12)  уравнения Лагранжа   (1.1.24)  :

$\displaystyle 0=\sum _{a=1}^{N}{\frac {\partial L}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}=\sum _{a=1}^{N}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\overrightarrow {r_{a}}}}}}={\frac {d}{dt}}\sum _{a=1}^{N}{\frac {\partial L}{\partial {\overrightarrow {v_{a}}}}}$ (1.2.13)

Интегрируя  (1.2.13) , получаем постоянную интегрирования – интеграл движения, который называется «импульсом»:

$\sum _{a=1}^{N}{\frac {\partial L}{\partial {\overrightarrow {v_{a}}}}}={const}={\overrightarrow {P}}$ (1.2.14)

Если подставить в  (1.2.14)  функцию Лагранжа в декартовых координатах для системы материальных точек   (1.1.44)  , то получим выражение:

${\overrightarrow {P}}=\sum _{a=1}^{N}m_{_{a}}{\overrightarrow {v_{_{a}}}}=\sum _{a=1}^{N}{\overrightarrow {p}}_{a}$ (1.2.15)

Как видно из  (1.2.15) ,импульс является аддитивным интегралом движения, равным сумме импульсов отдельных частиц вне зависимости от взаимодействия между ними. Из  (1.2.14)  и  (1.2.15) , мы приходим к закону сохранения импульса: полный импульс системы материальных точек является постоянной величиной, не зависящей от времени.

Равенство  (1.2.12)  также имеет простой физический смысл, если подставить в него функцию Лагранжа   (1.1.45)  :

${\frac {\partial L}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}=-{\frac {\partial U}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}={\overrightarrow {F}}_{a}$ (1.2.16)

Значит из  (1.2.12)  получаем:

$\sum _{a=1}^{N}{\frac {\partial L}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}=-\sum _{a=1}^{N}{\frac {\partial U}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}=\sum _{a=1}^{N}{\overrightarrow {F}}_{a}=0$ (1.2.17)

Другими словами, формулу  (1.2.17)  можно сформулировать как еще один закон: сумма сил, действующих на все материальные точки замкнутой системы равна нулю.

В частном случае, если система состоит из двух материальных точек, то:

${\begin{array}{c}\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{1}+{\overrightarrow {F}}_{2}=0\\\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{1}={\overrightarrow {F}}_{2}\end{array}}$ (1.2.18)

То есть получаем третий закон Ньютона: сила, действующая на первую частицу со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей на вторую частицу со стороны первой.

Если рассматривать движение в обобщенных координатах, то нужно использовать «обобщенный импульс» и «обобщенную силу», которые находятся по формулам, аналогичным  (1.2.15)  и  (1.2.16) :

${\begin{array}{c}\displaystyle p_{_{i}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\\\displaystyle F_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{_{i}}}}\end{array}}$ (1.2.19)

В этих обозначениях уравнения Лагранжа принимают вид:

${\dot {p}}_{i}=F_{i}$ (1.2.20)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление