завершено на 100%

Основы теоретической физики/Закон сохранения момента импульса

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску

1.2.4. Закон сохранения момента импульса[править]

Еще один закон сохранения, является следствием изотропии пространства. Изотропия означает, что свойства механических систем не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. Чтобы вывести этот закон, нужно рассмотреть бесконечно малый поворот системы и потребовать, чтобы функция Лагранжа при таком преобразовании оставалась постоянной.

Рассмотрим материальную точку с радиус-вектором которая повернулась вокруг оси «z» на бесконечно малый угол . При таком повороте расстояние точки до оси «z» не изменяется, это расстояние равно . Линейное перемещение точки в пространстве можно тогда найти как половину основания в равнобедренном треугольнике ABC по формуле:

(1.2.21)
Рис.1.3

Пусть - вектор, модуль которого равен углу поворота , а направление совпадает с осью поворота «z» по правилу винта. Тогда выражение (1.2.21)  можно переписать как векторное произведение:

(1.2.22)

При повороте меняется не только радиус-вектор, но и направление скорости материальной точки. Повторив для скорости те же рассуждения, которые мы сделали для радиус-вектора, получим аналогичное (1.2.22)  выражение:

(1.2.23)

Для изотропного пространства функция Лагранжа не должна меняться при повороте, значит ее полный дифференциал равен нулю:

(1.2.24)

Воспользуемся определением импульса   (1.2.19)  , а также выражениями (1.2.22)  и (1.2.23) , подставив все в (1.2.24)  получим:

(1.2.25)

Для смешанного произведения векторов можно делать произвольную циклическую перестановку, поэтому (1.2.25)  можно преобразовать:

(1.2.26)

Интегрируя (1.2.26) , получим постоянную интегрирования – интеграл движения, который называется «моментом импульса»:

(1.2.27)

Из формулы (1.2.27)  сразу следует свойство аддитивности момента импульса, поскольку полный момент получается суммированием моментов всех частей системы.

Таким образом мы выяснили, что в замкнутой системе могут существовать всего семь аддитивных интегралов движения: энергия, вектор импульса и вектор момента импульса. Эти величины сохраняются при любом движении системы и связаны со свойствами однородности и изотропности пространства и однородностью времени.

См. также[править]

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания[править]