Основы теоретической физики/Закон сохранения момента импульса

1.2.4. Закон сохранения момента импульса

Еще один закон сохранения, является следствием изотропии пространства. Изотропия означает, что свойства механических систем не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. Чтобы вывести этот закон, нужно рассмотреть бесконечно малый поворот системы и потребовать, чтобы функция Лагранжа при таком преобразовании оставалась постоянной.

Рассмотрим материальную точку с радиус-вектором ${\overrightarrow {r}}$ которая повернулась вокруг оси «z» на бесконечно малый угол $d\varphi$. При таком повороте расстояние точки до оси «z» не изменяется, это расстояние равно $AC=BC=\mid {\overrightarrow {r}}{\text{ }}\mid \sin \theta$. Линейное перемещение точки в пространстве можно тогда найти как половину основания в равнобедренном треугольнике ABC по формуле:

${\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\mid d{\overrightarrow {r}}\mid }{2}}=\mid {\overrightarrow {r}}\mid \sin \theta \underbrace {\sin {\frac {d\varphi }{2}}} _{\approx {\frac {d\varphi }{2}}}\approx {\frac {1}{2}}\mid {\overrightarrow {r}}\mid d\varphi \sin \theta \\\Downarrow \\\displaystyle \mid d{\overrightarrow {r}}\mid =\mid {\overrightarrow {r}}\mid d\varphi \sin \theta \\\end{matrix}}$ (1.2.21)

Рис.1.3

Пусть $d{\overrightarrow {\varphi }}$ - вектор, модуль которого равен углу поворота $d\varphi$, а направление совпадает с осью поворота «z» по правилу винта. Тогда выражение  (1.2.21)  можно переписать как векторное произведение:

${\begin{aligned}&\displaystyle {\bigg \vert }d{\overrightarrow {r}}{\bigg \vert }={\bigg \vert }\left[d{\overrightarrow {\varphi }}\times {\overrightarrow {r}}\right]{\bigg \vert }\\&\displaystyle d{\overrightarrow {r}}=\left[d{\overrightarrow {\varphi }}\times {\overrightarrow {r}}\right]\\\end{aligned}}$ (1.2.22)

При повороте меняется не только радиус-вектор, но и направление скорости материальной точки. Повторив для скорости те же рассуждения, которые мы сделали для радиус-вектора, получим аналогичное  (1.2.22)  выражение:

$d{\overrightarrow {v}}=\left[d{\overrightarrow {\varphi }}\times {\overrightarrow {v}}\right]$ (1.2.23)

Для изотропного пространства функция Лагранжа не должна меняться при повороте, значит ее полный дифференциал равен нулю:

$dL\left({\overrightarrow {r}},{\overrightarrow {v}}\right)=\sum \limits _{a}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{\overrightarrow {r}}_{a}}}}d{{\overrightarrow {r}}_{a}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\overrightarrow {v}}_{a}}}}d{{\overrightarrow {v}}_{a}}\right)}=0$ (1.2.24)

Воспользуемся определением импульса   (1.2.19)  , а также выражениями  (1.2.22)  и  (1.2.23) , подставив все в  (1.2.24)  получим:

$\sum \limits _{a}{\left(\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {{\overrightarrow {r}}_{a}}}} _{\dot {{\overrightarrow {p}}_{a}}}\underbrace {d{{\overrightarrow {r}}_{a}}} _{\left[d{\overrightarrow {\varphi }}\times {{\overrightarrow {r}}_{a}}\right]}+\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {{\overrightarrow {v}}_{a}}}} _{{\overrightarrow {p}}_{a}}\underbrace {d{{\overrightarrow {v}}_{a}}} _{\left[d{\overrightarrow {\varphi }}\times {{\overrightarrow {v}}_{a}}\right]}\right)}=\sum \limits _{a}{\left({{\dot {\overrightarrow {p}}}_{a}}\left[d{\overrightarrow {\varphi }}\times {\overrightarrow {r}}\right]+{{\overrightarrow {p}}_{a}}\left[d{\overrightarrow {\varphi }}\times {{\overrightarrow {v}}_{a}}\right]\right)}$ (1.2.25)

Для смешанного произведения векторов можно делать произвольную циклическую перестановку, поэтому  (1.2.25)  можно преобразовать:

${\begin{aligned}&\displaystyle \sum \limits _{a}{\left({{\dot {\overrightarrow {p}}}_{a}}\left[d{\overrightarrow {\varphi }}\times {{\overrightarrow {r}}_{a}}\right]+{{\overrightarrow {p}}_{a}}\left[d{\overrightarrow {\varphi }}\times {{\overrightarrow {v}}_{a}}\right]\right)}=d{\overrightarrow {\varphi }}\sum \limits _{a}{\left(\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {{\dot {\overrightarrow {p}}}_{a}}\right]+\left[{{\overrightarrow {v}}_{a}}\times {{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]\right)}\\&\displaystyle \sum \limits _{a}{\left(\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {{\dot {\overrightarrow {p}}}_{a}}\right]+\left[{{\overrightarrow {v}}_{a}}\times {{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]\right)}={\frac {d}{dt}}\sum \limits _{a}{\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]}=0\\\end{aligned}}$ (1.2.26)

Интегрируя  (1.2.26) , получим постоянную интегрирования – интеграл движения, который называется «моментом импульса»:

$\displaystyle \sum \limits _{a}{\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]}=const={\overrightarrow {M}}$ (1.2.27)

Из формулы  (1.2.27)  сразу следует свойство аддитивности момента импульса, поскольку полный момент получается суммированием моментов всех частей системы.

Таким образом мы выяснили, что в замкнутой системе могут существовать всего семь аддитивных интегралов движения: энергия, вектор импульса и вектор момента импульса. Эти величины сохраняются при любом движении системы и связаны со свойствами однородности и изотропности пространства и однородностью времени.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление