Основы теоретической физики/Законы преобразования энергии и импульса

1.2.5. Законы преобразования энергии и импульса

Импульс замкнутой механической системы имеет разные значения по отношению к разным инерциальным системам отсчета. Если полный импульс системы равен нулю, то говорят, что система «покоится как целое». Рассмотрим движение системы частиц в двух инерциальных системах отсчета $K$ и $K^{\prime }$. Пусть система отсчета $K^{\prime }$ движется относительно $K$ со скоростью ${\overrightarrow {V}}$. Тогда скорости и импульсы одних и тех же частиц для наблюдателей в разных системах отсчета, будут связаны соотношениями:

${\begin{aligned}&\displaystyle {{\overrightarrow {v}}_{a}}={{\overrightarrow {v}}_{a}^{\prime }}+{\overrightarrow {V}}\\&\displaystyle {\overrightarrow {P}}=\sum \limits _{a}{{{m}_{a}}{{\overrightarrow {v}}_{a}}=\sum \limits _{a}{{{m}_{a}}{{{\overrightarrow {v}}'}_{a}}}}+{\overrightarrow {V}}\sum \limits _{a}{{m}_{a}}={\overrightarrow {P}}'+{\overrightarrow {V}}\sum \limits _{a}{{m}_{a}}\\\end{aligned}}$ (1.2.28)

Найдем скорость системы отсчета $K^{\prime }$, в которой система частиц покоится как целое.

${\begin{matrix}{\overrightarrow {P}}'=0&\Rightarrow &{\overrightarrow {V}}={\frac {\displaystyle {\overrightarrow {P}}}{\displaystyle \sum \limits _{a}{{m}_{a}}}}\\\end{matrix}}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{a}{{{m}_{a}}{{\overrightarrow {v}}_{a}}}}{\displaystyle \sum \limits _{a}{{m}_{a}}}}$ (1.2.29)

Рис.1.4

Относительно наблюдателя в системе отсчета $K$, скорость в формуле  (1.2.29)  называют «скоростью движения системы как целого». Полученная формула  (1.2.29)  показывает, что связь между скоростью и импульсом системы частиц может быть такой же, как если бы мы рассматривали единственную материальную точу с массой

$\mu =\sum \limits _{a}{m_{a}}$ (1.2.30)

Выражение  (1.2.30)  называется «законом аддитивности массы». Если проинтегрировать  (1.2.29)  по времени, то можно получить выражение для радиус-вектора:

${\begin{matrix}{\overrightarrow {V}}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{a}{{{m}_{a}}{{\overrightarrow {v}}_{a}}}}{\displaystyle \sum \limits _{a}{{m}_{a}}}}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{a}{{{m}_{a}}{\frac {d{{\overrightarrow {r}}_{a}}}{dt}}}}{\displaystyle \sum \limits _{a}{{m}_{a}}}}={\frac {\displaystyle d{\overrightarrow {R}}}{\displaystyle dt}}&\Rightarrow &{\overrightarrow {R}}=\\\end{matrix}}{\frac {\displaystyle \sum \limits _{a}{{{m}_{a}}{{\overrightarrow {r}}_{a}}}}{\displaystyle \sum \limits _{a}{m_{a}}}}$ (1.2.31)

Точка, которой соответствует радиус-вектор  (1.2.31) , называется «центром инерции» системы. Таким образом, скорость системы как целого равна скорости перемещения в пространстве центра инерции этой системы.

Понятие центра инерции, позволяет сформулировать закон сохранения импульса в более общей форме чем это делалось ранее: центр инерции замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно в любой инерциальной системе отсчета.

Обычно, при рассмотрении движения замкнутой системы, пользуются той системой отсчета, в которой центр инерции покоится. В этом случае энергия покоящейся как целое системы называется «внутренней энергией системы». Внутренняя энергия включает в себя кинетическую энергию относительного движения частиц и потенциальную энергию их взаимодействия:

$E_{\text{внутр}}=\sum \limits _{a}{\frac {m_{a}v_{a}^{2}}{2}}+U\left({{\overrightarrow {r}}_{1}},...,{{\overrightarrow {r}}_{_{N}}}\right)$ (1.2.32)

Найдем закон преобразования энергии при переходе из одной системы отсчета в другую из  (1.2.32) :

${\begin{aligned}&\displaystyle E={\frac {1}{2}}\sum \limits _{a}{{{m}_{a}}{{\left({{{\overrightarrow {v}}'}_{a}}+{\overrightarrow {V}}\right)}^{2}}}+U\left({{\overrightarrow {r}}_{1}},...,{{\overrightarrow {r}}_{_{N}}}\right)={\frac {\mu {{V}^{2}}}{2}}+{\overrightarrow {V}}\underbrace {\sum \limits _{a}{{{m}_{a}}{{\overrightarrow {v}}_{a}'}}} _{{\overrightarrow {P}}'}+\underbrace {\sum \limits _{a}{\frac {{{m}_{a}}{{{v}'}_{a}^{2}}}{2}}+U\left({{\overrightarrow {r}}_{1}},...,{{\overrightarrow {r}}_{_{N}}}\right)} _{{E}_{\text{внутр}}}\\&\displaystyle E={\displaystyle {E}_{\text{внутр}}}+{\overrightarrow {V}}\cdot {\overrightarrow {P}}'+{\frac {\mu {{V}^{2}}}{2}}\\\end{aligned}}$ (1.2.33)

Если в системе $K^{\prime }$, центр инерции покоится, тогда полная энергия замкнутой системы, движущейся скоростью ${\overrightarrow {V}}$ и из  (1.2.33)  получается:

${\overrightarrow {P}}'=0\Rightarrow E={\frac {\mu V^{2}}{2}}+E_{\text{внутр}}$ (1.2.34)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление