Основы теоретической физики/Законы преобразования момента импульса

1.2.6. Законы преобразования момента импульса

Покажем, что значение момента импульса зависит от выбора начала координат. Рассмотрим две системы отсчета $K$ и $K^{'}$ , которые смещены относительно друг друга на вектор $\vec{a}$ . Значит для наблюдателя в одной системе отсчета, все точки замкнутой системы будут смещены на этот вектор:

{\vec{r}}_{a} = {\vec{r}}_{a}^{'} + \vec{a}

(1.2.35)

Подставим (1.2.35)

в определение момента   (1.2.27)

:

\begin{matrix} \vec{M} = \sum_{a} [{\vec{r}}_{a} \times {\vec{p}}_{a}] = \underset{{\vec{M}}^{'}}{\underset{⏟}{\sum_{a} [{\vec{r}}^{'}_{a} \times {\vec{p}}_{a}]}} + [\vec{a} \times \sum_{a} {\vec{p}}_{a}] \\ \vec{M} = {\vec{M}}^{'} + [\vec{a} \times \vec{P}] \end{matrix}

(1.2.36)

Таким образом, из (1.2.36)

видно, что момент импульса не зависит от выбора начала координат только в случае, если система отсчета покоится (только если  $\vec{P} = 0$ ).

Найдем теперь закон преобразования момента импульса при переходе из одной системы отсчета в другую. Для этого предположим, что система отсчета $K^{'}$ движется относительно системы отсчета $K$ с постоянной скоростью $\vec{V}$ . Тогда скорости всех точек будут связаны соотношением:

{\vec{v}}_{a} = {\vec{v}}_{a}^{'} + \vec{V}

(1.2.37)

Если мы рассмотрим момент времени, когда начала координат систем отсчета $K$ и $K^{'}$ совпадают, то подставляя (1.2.37)

в   (1.1.27)

, а также используя формулы для массы (1.2.30)

и центра инерции  (1.2.31)

, получим:

\begin{matrix} \vec{M} = \sum_{a} [{\vec{r}}_{a} \times {\vec{p}}_{a}] = \underset{{\vec{M}}^{'}}{\underset{⏟}{\sum_{a} m_{a} [{\vec{r}}_{a} \times {\vec{v}}^{'}_{a}]}} + \sum_{a} m_{a} [{\vec{r}}_{a} \times \vec{V}] \\ \vec{M} = {\vec{M}}^{'} + μ [\vec{R} \times \vec{V}] \end{matrix}

(1.2.38)

Полученное выражение (1.2.38)

определяет закон преобразования момента импульса, который можно переписать в виде:

\vec{M} = {\vec{M}}^{'} + [\vec{R} \times \vec{P}]

(1.2.39)

Другими словами, момент импульса замкнутой механической системы складывается из ее собственного момента (относительно покоящейся системы отсчета) и момента $[\vec{R} \times \vec{P}]$ , связанного с движением системы как целого.

См. также

<<Назад | Далее>>
Оглавление

Примечания