завершено на 100%

Основы теоретической физики/Свойства функции Лагранжа

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску

1.1.3. Свойства функции Лагранжа[править]

1. Уравнения движения каждой из невзаимодействующих частей не могут содержать величины, относящиеся к другим частям системы.

Доказательство:

Рис.1.2. Невзаимодействующие части системы

Чтобы исключить из рассмотрения взаимодействие между системами, достаточно развести эти системы на достаточно далекое расстояние друг от друга.

На рис.1.2 показаны две невзаимодействующих системы A и B, которым соответствуют функции Лагранжа LA и LB. Пусть эти системы являются частями одной замкнутой системы с функцией Лагранжа L. Поскольку уравнения движения (1.1.24)  являются линейными, получается, что при разведении частей настолько далеко, чтобы взаимодействием можно было пренебречь, функция Лагранжа всей системы действительно стремится к пределу:

(1.1.25)

Свойство   (1.1.25)   называется «свойством аддитивности» функции Лагранжа.

2. Функция Лагранжа определена с точностью до прибавления к ней полной производной от любой функции координат и времени.

Доказательство:

рассмотрим две функции и . Пусть эти функции отличаются друг от друга на полную производную по времени от какой-либо функции  :

(1.1.26)

тогда для действия будем иметь формулу:

(1.1.27)

Согласно принципу наименьшего действия, для вариаций имеем:

(1.1.28)

То есть действие отличается от действия на величину, которая исчезает (обнуляется) при варьировании. Значит второе слагаемое в   (1.1.26)   никак не влияет на решения уравнений движения   (1.1.24)  , что и требовалось доказать.

См. также[править]

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания[править]