Основы теоретической физики/Свойства функции Лагранжа
1.1.3. Свойства функции Лагранжа
[править]1. Уравнения движения каждой из невзаимодействующих частей не могут содержать величины, относящиеся к другим частям системы.
Доказательство:
Чтобы исключить из рассмотрения взаимодействие между системами, достаточно развести эти системы на достаточно далекое расстояние друг от друга.
На рис.1.2 показаны две невзаимодействующих системы A и B, которым соответствуют функции Лагранжа LA и LB. Пусть эти системы являются частями одной замкнутой системы с функцией Лагранжа L. Поскольку уравнения движения (1.1.24) являются линейными, получается, что при разведении частей настолько далеко, чтобы взаимодействием можно было пренебречь, функция Лагранжа всей системы действительно стремится к пределу:
Свойство (1.1.25) называется «свойством аддитивности» функции Лагранжа.
2. Функция Лагранжа определена с точностью до прибавления к ней полной производной от любой функции координат и времени.
Доказательство:
рассмотрим две функции и . Пусть эти функции отличаются друг от друга на полную производную по времени от какой-либо функции :
тогда для действия будем иметь формулу:
Согласно принципу наименьшего действия, для вариаций имеем:
То есть действие отличается от действия на величину, которая исчезает (обнуляется) при варьировании. Значит второе слагаемое в (1.1.26) никак не влияет на решения уравнений движения (1.1.24) , что и требовалось доказать.
См. также
[править]Примечания
[править]