Основы теоретической физики/Закон сохранения энергии

1.2.2. Закон сохранения энергии

Первый закон сохранения, который мы рассмотрим — это закон сохранения энергии. Данный закон связан с однородностью времени. В системах, где время течет неоднородно (где ход времени зависит от выбора начала отсчета времени), этот закон неприменим. Однако, если время однородно, то частная производная по времени от функции Лагранжа будет равна нулю, а полная производная по времени тогда найдется по формуле:

${\frac {d}{dt}}={\underset {=0}{\underbrace {\frac {\partial L}{\partial t}} }}+\sum _{i=1}^{S}{\frac {\partial L}{\partial q_{_{i}}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i=1}^{S}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}=0$ (1.2.3)

Подставим в  (1.2.3)  уравнения Лагранжа   (1.1.24)  :

${\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=\sum _{i=1}^{S}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+\sum _{i=1}^{S}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}=\sum _{i=1}^{S}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\\\displaystyle {\frac {dL}{dt}}-\sum _{i=1}^{S}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)=0\\\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{S}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-L\right)=0\end{array}}$ (1.2.4)

Интегрируя  (1.2.4) , находим постоянную интегрирования – интеграл движения:

$\sum _{i=1}^{S}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-L={const}=E$ (1.2.5)

Неизменная во времени постоянная E, называется «энергией системы». Как видно из  (1.2.5) , энергия линейно зависит от функции Лагранжа. Поскольку функция Лагранжа обладает свойством аддитивности, значит и энергия тоже обладает этим свойством, то есть энергия является аддитивным интегралом движения.

По определению: механические системы, энергия которых сохранятся, называются «консервативными системами».

Как было показано ранее   (1.1.51)  , для замкнутой системы функция Лагранжа представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии:

$L=T(q,{\dot {q}})-U(q)$ (1.2.6)

Можно объединить формулы  (1.2.5)  и  (1.2.6) :

$\left.{\begin{array}{c}\displaystyle L=\sum _{i=1}^{S}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-E\\\displaystyle L=T(q,{\dot {q}})-U(q)\end{array}}\right\}\Rightarrow L=\sum _{i=1}^{S}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-E$ (1.2.7)

Кинетическая энергия является однородной функцией второй степени относительно скоростей ${\dot {q}}_{i}$ , значит, воспользовавшись теоремой Эйлера об однородных функциях, получим:

$L=\sum _{i=1}^{S}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-E=2T-E$ (1.2.8)

Подставив  (1.2.6)  в  (1.2.8) , получаем для энергии выражение:

${\begin{array}{c}\displaystyle T-U=2T-E\\\displaystyle E=T+U\end{array}}$ (1.2.9)

То есть энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий и эта величина не зависит от времени (сохраняется). Данный закон и называется «законом сохранения энергии».

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление