Основы теоретической физики/Функция Лагранжа системы материальных точек

1.1.6. Функция Лагранжа системы материальных точек

«Замкнутой системой» называется система материальных точек, взаимодействующих друг с другом, но ни с какими посторонними телами. В классической механике взаимодействие между материальными точками можно описать прибавлением к функции Лагранжа   (1.1.44)  , некоторой функции координат:

$L=\sum _{a=1}^{N}{\frac {m_{a}v_{a}^{2}}{2}}-U({\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},...,{\overrightarrow {r_{_{N}}}})$ (1.1.45)

где ${\overrightarrow {r_{a}}}$ - радиус-вектор a-той точки.

Первое слагаемое в   (1.1.45)   называют «кинетической энергией», а второе слагаемое – «потенциальной энергией» системы.

Поскольку U – зависит только от расположения материальных точек, то изменение положения одной, мгновенно скажется на всех остальных точках. Другими словами, вид функции Лагранжа (а значит и вид уравнений движения и траектории) мгновенно поменяется если изменится любая координата любой материальной точки. То есть в классической механике любые взаимодействия распространяются мгновенно.

Можно заметить, что замена в   (1.1.45)   времени $t$ на $-t$, не поменяет функцию Лагранжа. Это означает, что в классической механике время не только однородно, но и изотропно (не зависит от направления). Значит, если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно и обратное:все движения, происходящие по законам классической механики, обратимы.

Рассмотрим уравнения движения для замкнутой системы материальных точек:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}={\frac {\partial L}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}$ (1.1.46)

Подставим   (1.1.45)   в   (1.1.46)  ):

$m_{a}{\frac {d{\overrightarrow {v_{a}}}}{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}$ (1.1.47)

Полученные уравнения  (1.1.47) , называются «уравнениями Ньютона». Правая часть уравнений называется «силой», действующей на a-тую частицу со стороны остальных частиц системы.

${\overrightarrow {F_{a}}}=-{\frac {\partial U}{\partial {\overrightarrow {r_{a}}}}}$ (1.1.48)

Из  (1.1.48)  видно, что сила ${\overrightarrow {F_{a}}}$ - зависит только от координат и не зависит от скоростей. Это значит, что и ускорения тоже являются функциями только от координат.

В уравнения движения потенциальная энергия входит через частную производную от координат, значит U определяется с точностью до произвольной постоянной. Для практических целей, чаще всего постоянную выбирают так, чтобы потенциальная энергия стремилась к нулю при увеличении расстояния между телами.

Если для описания движения нужно использовать не декартовы координаты, то в уравнениях движения нужно сделать некоторые преобразования:

${\begin{array}{c}\displaystyle x_{a}=f_{a}(q_{1},...,q_{n})\Rightarrow x_{a}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial f_{a}}{\partial q_{_{k}}}}{\dot {q}}_{_{k}}\\\displaystyle y_{a}=g_{a}(q_{1},...,q_{n})\Rightarrow y_{a}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial g_{a}}{\partial q_{_{k}}}}{\dot {q}}_{_{k}}\\\displaystyle z_{a}=h_{a}(q_{1},...,q_{n})\Rightarrow z_{a}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial h_{a}}{\partial q_{_{k}}}}{\dot {q}}_{_{k}}\end{array}}$ (1.1.49)

Подставив  (1.1.49)  в  (1.1.45) , получим:

${\begin{array}{c}\displaystyle L=\sum _{a=1}^{N}{\frac {m_{a}}{2}}(x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2})-U({\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},...)\\\displaystyle x_{a}^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial f_{a}}{\partial q_{_{k}}}}{\dot {q}}_{_{k}}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{a}}{\partial q_{_{i}}}}{\frac {\partial f_{a}}{\partial q_{_{j}}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\\\displaystyle y_{a}^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial g_{a}}{\partial q_{_{k}}}}{\dot {q}}_{_{k}}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g_{a}}{\partial q_{_{i}}}}{\frac {\partial g_{a}}{\partial q_{_{j}}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\\\displaystyle z_{a}^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial h_{a}}{\partial q_{_{k}}}}{\dot {q}}_{_{k}}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial h_{a}}{\partial q_{_{i}}}}{\frac {\partial h_{a}}{\partial q_{_{j}}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\\\displaystyle L={\frac {1}{2}}\sum _{a}m_{a}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f_{a}}{\partial q_{_{i}}}}{\frac {\partial f_{a}}{\partial q_{_{j}}}}+{\frac {\partial g_{a}}{\partial q_{_{i}}}}{\frac {\partial g_{a}}{\partial q_{_{j}}}}+{\frac {\partial h_{a}}{\partial q_{_{i}}}}{\frac {\partial h_{a}}{\partial q_{_{j}}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}-U(q_{1},...,q_{n})\end{array}}$ (1.1.50)

Выражение  (1.1.50)  можно записать более кратко если сделать дополнительные преобразования и ввести новые обозначения:

${\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{a=1}^{N}m_{a}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{a}}{\partial q_{_{i}}}}{\frac {\partial f_{a}}{\partial q_{_{j}}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\displaystyle {\underset {a_{ij}^{(1)}}{\underbrace {\sum _{a=1}^{N}m_{a}{\frac {\partial f_{a}}{\partial q_{_{i}}}}{\frac {\partial f_{a}}{\partial q_{_{j}}}}} }}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\\\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{a=1}^{N}m_{a}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g_{a}}{\partial q_{_{i}}}}{\frac {\partial g_{a}}{\partial q_{_{j}}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\displaystyle {\underset {a_{ij}^{(2)}}{\underbrace {\sum _{a=1}^{N}m_{a}{\frac {\partial g_{a}}{\partial q_{_{i}}}}{\frac {\partial g_{a}}{\partial q_{_{j}}}}} }}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\\\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{a=1}^{N}m_{a}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial h_{a}}{\partial q_{_{i}}}}{\frac {\partial h_{a}}{\partial q_{_{j}}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\displaystyle {\underset {a_{ij}^{(3)}}{\underbrace {\sum _{a=1}^{N}m_{a}{\frac {\partial h_{a}}{\partial q_{_{i}}}}{\frac {\partial h_{a}}{\partial q_{_{j}}}}} }}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\\\displaystyle L={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\underset {a_{ij}}{\underbrace {(a_{ij}^{(1)}+a_{ij}^{(2)}+a_{ij}^{(3)})} }}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-U(q_{1},...,q_{n})\\\displaystyle L={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-U(q_{1},...,q_{n})\end{array}}$ (1.1.51)

Здесь первое слагаемое – это кинетическая энергия, а коэффициенты это функции от координат. Значит итоговое выражение  (1.1.51)  показывает, что в обобщенных координатах кинетическая энергия остается квадратичной функцией скоростей и может зависеть от координат.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление