Основы теоретической физики/Функция Лагранжа системы материальных точек

1.1.6. Функция Лагранжа системы материальных точек

«Замкнутой системой» называется система материальных точек, взаимодействующих друг с другом, но ни с какими посторонними телами. В классической механике взаимодействие между материальными точками можно описать прибавлением к функции Лагранжа   (1.1.44)   , некоторой функции координат:

$L=\sum _{a=1}^N\frac{m_a{v}_a^2}{2}-U(\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\mathrm{...},\overrightarrow{r_{{}_N}})$ (1.1.45)

где $\overrightarrow{r_a}$ - радиус-вектор a-той точки.

Первое слагаемое в   (1.1.45)    называют «кинетической энергией», а второе слагаемое – «потенциальной энергией» системы.

Поскольку U – зависит только от расположения материальных точек, то изменение положения одной, мгновенно скажется на всех остальных точках. Другими словами, вид функции Лагранжа (а значит и вид уравнений движения и траектории) мгновенно поменяется если изменится любая координата любой материальной точки. То есть в классической механике любые взаимодействия распространяются мгновенно.

Можно заметить, что замена в   (1.1.45)    времени $t$ на $-t$, не поменяет функцию Лагранжа. Это означает, что в классической механике время не только однородно, но и изотропно (не зависит от направления). Значит, если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно и обратное:все движения, происходящие по законам классической механики, обратимы.

Рассмотрим уравнения движения для замкнутой системы материальных точек:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{r_a}}=\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{r_a}}$ (1.1.46)

Подставим   (1.1.45)    в   (1.1.46)   ):

$m_a\frac{d\overrightarrow{v_a}}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{r_a}}$ (1.1.47)

Полученные уравнения  (1.1.47)  , называются «уравнениями Ньютона». Правая часть уравнений называется «силой», действующей на a-тую частицу со стороны остальных частиц системы.

$\overrightarrow{F_a}=-\frac{\partial U}{\partial \overrightarrow{r_a}}$ (1.1.48)

Из  (1.1.48) 

видно, что сила $\overrightarrow{F_a}$ - зависит только от координат и не зависит от скоростей. Это значит, что и ускорения тоже являются функциями только от координат.

В уравнения движения потенциальная энергия входит через частную производную от координат, значит U определяется с точностью до произвольной постоянной. Для практических целей, чаще всего постоянную выбирают так, чтобы потенциальная энергия стремилась к нулю при увеличении расстояния между телами.

Если для описания движения нужно использовать не декартовы координаты, то в уравнениях движения нужно сделать некоторые преобразования:

$\begin{array}{c}{x}_a=f_a(q_1,\mathrm{...},q_n)\Rightarrow x_a=\sum _{k=1}^n\frac{\partial f_a}{\partial q_{{}_k}}{\dot{q}}_{{}_k}\\ y_a=g_a(q_1,\mathrm{...},q_n)\Rightarrow y_a=\sum _{k=1}^n\frac{\partial g_a}{\partial q_{{}_k}}{\dot{q}}_{{}_k}\\ z_a=h_a(q_1,\mathrm{...},q_n)\Rightarrow z_a=\sum _{k=1}^n\frac{\partial h_a}{\partial q_{{}_k}}{\dot{q}}_{{}_k}\end{array}$ (1.1.49)

Подставив  (1.1.49) 

в  (1.1.45) 

, получим:

$\begin{array}{c}L=\sum _{a=1}^N\frac{m_a}{2}(x_a^2+y_a^2+z_a^2)-U(\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\mathrm{...})\\ x_a^2={\left(\sum _{k=1}^n\frac{\partial f_a}{\partial q_{{}_k}}{\dot{q}}_{{}_k}\right)}^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\partial f_a}{\partial q_{{}_i}}\frac{\partial f_a}{\partial q_{{}_j}}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j\\ y_a^2={\left(\sum _{k=1}^n\frac{\partial g_a}{\partial q_{{}_k}}{\dot{q}}_{{}_k}\right)}^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\partial g_a}{\partial q_{{}_i}}\frac{\partial g_a}{\partial q_{{}_j}}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j\\ z_a^2={\left(\sum _{k=1}^n\frac{\partial h_a}{\partial q_{{}_k}}{\dot{q}}_{{}_k}\right)}^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\partial h_a}{\partial q_{{}_i}}\frac{\partial h_a}{\partial q_{{}_j}}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j\\ L=\frac{1}{2}\sum _a{m}_a\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(\frac{\partial f_a}{\partial q_{{}_i}}\frac{\partial f_a}{\partial q_{{}_j}}+\frac{\partial g_a}{\partial q_{{}_i}}\frac{\partial g_a}{\partial q_{{}_j}}+\frac{\partial h_a}{\partial q_{{}_i}}\frac{\partial h_a}{\partial q_{{}_j}}){\dot{q}}_i\dot{q}-U(q_1,\mathrm{...},q_n)\end{array}$ (1.1.50)

Выражение  (1.1.50) 

можно записать более кратко если сделать дополнительные преобразования и ввести новые обозначения:

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\sum _{a=1}^N{m}_a\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\partial f_a}{\partial q_{{}_i}}\frac{\partial f_a}{\partial q_{{}_j}}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\underset{a_{ij}^{(1)}}{\underbrace{\sum _{a=1}^N{m}_a\frac{\partial f_a}{\partial q_{{}_i}}\frac{\partial f_a}{\partial q_{{}_j}}}}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j\\ \frac{1}{2}\sum _{a=1}^N{m}_a\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\partial g_a}{\partial q_{{}_i}}\frac{\partial g_a}{\partial q_{{}_j}}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\underset{a_{ij}^{(2)}}{\underbrace{\sum _{a=1}^N{m}_a\frac{\partial g_a}{\partial q_{{}_i}}\frac{\partial g_a}{\partial q_{{}_j}}}}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j\\ \frac{1}{2}\sum _{a=1}^N{m}_a\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\partial h_a}{\partial q_{{}_i}}\frac{\partial h_a}{\partial q_{{}_j}}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\underset{a_{ij}^{(3)}}{\underbrace{\sum _{a=1}^N{m}_a\frac{\partial h_a}{\partial q_{{}_i}}\frac{\partial h_a}{\partial q_{{}_j}}}}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j\\ L=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\underset{a_{ij}}{\underbrace{(a_{ij}^{(1)}+a_{ij}^{(2)}+a_{ij}^{(3)})}}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j-U(q_1,\mathrm{...},q_n)\\ L=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j-U(q_1,\mathrm{...},q_n)\end{array}$ (1.1.51)

Здесь первое слагаемое – это кинетическая энергия, а коэффициенты это функции от координат. Значит итоговое выражение  (1.1.51) 

показывает, что в обобщенных координатах кинетическая энергия остается квадратичной функцией скоростей и может зависеть от координат.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление