Основы теоретической физики/Функция Лагранжа свободной материальной точки

1.1.5. Функция Лагранжа свободной материальной точки

Простейшей задачей механики является нахождение функции Лагранжа материальной точки в ИСО. Рассмотрим две ИСО К и К' которые движутся со скоростями v и v'. Пусть скорости систем отличаются на бесконечно малую величину:

${\begin{array}{c}{\overrightarrow {v}}^{\prime }={\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {\varepsilon }}\\{\overrightarrow {\varepsilon }}\ll {\overrightarrow {v}}\end{array}}$ (1.1.38)

Так как уравнения движения должны иметь одинаковый вид, то функции Лагранжа этих систем должны быть одинаковы, либо должны отличаться на полную производную по времени от произвольной функции   (1.1.26)  . То есть:

$L^{\prime }(v^{\prime {\text{ }}2})=L(v^{2})+{\frac {d}{dt}}f(q,t)$ (1.1.39)

С другой стороны, подставляя   (1.1.38)   в   (1.1.39)   и пользуясь разложением в ряд Тейлора, получим:

${\begin{array}{c}\displaystyle L^{\prime }(v^{\prime {\text{ }}2})=L\left(v^{2}+2{\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {\varepsilon }}+{\underset {\approx 0}{\underbrace {\varepsilon ^{2}} }}\right)\approx L(v^{2})+\displaystyle {\underline {\frac {\partial L}{\partial (v^{2}+2{\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {\varepsilon }})}}}\cdot 2{\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {\varepsilon }}\\\displaystyle {\underline {\frac {\partial L}{\partial (v^{2}+2{\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {\varepsilon }})}}}={\frac {\partial L}{\partial v^{2}}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial (v^{2}+2{\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {\varepsilon }})}}={\frac {\partial L}{\partial v^{2}}}{\frac {1}{\left(1+\displaystyle {\frac {\overrightarrow {\varepsilon }}{\overrightarrow {v}}}\right)}}\approx {\frac {\partial L}{\underline {\partial v^{2}}}}\end{array}}$ (1.1.40)

Таким образом, сравнивая   (1.1.39)   и   (1.1.40)  , приходим к выражениям:

${\begin{array}{c}\left\vert {\overline {\underline {\displaystyle {{\cancel {L(v^{2})}}+{\frac {d}{dt}}f(q,t)={\cancel {L(v^{2})}}+{\frac {\partial L}{\partial v^{2}}}\cdot 2{\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {\varepsilon }}}}}}\right\vert \\\Downarrow \\\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(q,t)={\frac {\partial L}{\partial v^{2}}}\cdot 2{\frac {d{\overrightarrow {r}}}{dt}}{\overrightarrow {\varepsilon }}\\\Updownarrow \\\displaystyle f(q,t)={\frac {\partial L}{\partial v^{2}}}\cdot 2{\overrightarrow {r}}{\overrightarrow {\varepsilon }}\\\Downarrow \\\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial v^{2}}}\cdot 2{\frac {d{\overrightarrow {r}}}{dt}}{\overrightarrow {\varepsilon }}={\frac {d}{dt}}\left(2{\overrightarrow {r}}{\overrightarrow {\varepsilon }}{\frac {\partial L}{\partial v^{2}}}\right)\\\Updownarrow \\\left\vert {\overline {\underline {\displaystyle {{\frac {\partial L}{\partial v^{2}}}={const}}}}}\right\vert \end{array}}$ (1.1.41)

Отметим, что вывод, к которому мы пришли в   (1.1.41)   можно было сделать и из более простых рассуждений. Сравнивая формулы   (1.1.33)   и   (1.1.33)  , получаем:

$\left.{\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {dL}{dv^{2}}}{\overrightarrow {v}}={const}\\\displaystyle {\overrightarrow {v}}={const}\end{array}}\right\}{\frac {dL}{dv^{2}}}={const}$ (1.1.42)

Из   (1.1.41)   и   (1.1.42)   сразу же получаем явный вид функции Лагранжа:

${\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {dL}{dv^{2}}}={const}\Rightarrow L={\underset {\frac {m}{2}}{\underbrace {const} }}\cdot v^{2}\\\displaystyle L={\frac {mv^{2}}{2}}\end{array}}$ (1.1.43)

Несмотря на то, что функция Лагранжа получила такой вид для бесконечно малой скорости, можно показать, что она будет такой же и для конечной скорости тоже. Величина m – называется «массой материальной точки».

Благодаря свойству аддитивности функции Лагранжа, для системы невзаимодействующих N материальных точек сразу можно записать формулу:

$\displaystyle L=\sum _{a=1}^{N}{\frac {m_{a}v_{a}^{2}}{2}}$ (1.1.44)

В дальнейшем, в качестве индекса, указывающего номер частицы, будем использовать буквы из начала латинского алфавита: a, b, c… Для индексов координат принято использовать буквы из середины латинского алфавита i, j, k, l…

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление