Основы теоретической физики/Вторая пара уравнений Максвелла

2.4.9. Вторая пара уравнений Максвелла

Найдем вариацию действия  (2.4.59) 

$Undefined~formula$ формулы (2.4.69)

Согласно принципу наименьшего действия, вариация  (2.4.69) 

должна равняться нулю. При этом первое слагаемое в  (2.4.69) 
представляет собой действие свободной частицы в отсутствии поля, а второе и третье слагаемые – это действия, связанные с наличием электромагнитного поля.

Чтобы найти независимые от траекторий частиц уравнения электромагнитного поля, будем считать траектории известными. Тогда вариация по траекториям будет равна нулю:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.70)

Точно заданные траектории также приводят к тому, что точно заданными будут и токи. То есть вариация токов тоже рана нулю:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.71)

Подставим  (2.4.70) 

и  (2.4.71) 
в  (2.4.69) 
и воспользуемся общими свойствами немых индексов у тензоров:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.72)

Подставим в  (2.4.72) 

определение тензора электромагнитного поля  (2.4.31) 
и воспользуемся антисимметричностью этого тензора, тогда для вариации действия получим:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.73)

Второй интеграл в  (2.4.73) 

теперь возьмем по частям. Для этого сделаем следующую замену переменных:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.74)

Подставим  (2.4.74) 

во второй интеграл формулы  (2.4.73) 

$Undefined~formula$ формулы (2.4.75)

Первое слагаемое в  (2.4.75) 

можно упростить, применив теорему Гаусса для четырехмерного пространства:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.76)

Интеграл  (2.4.76) 

берется по четырехмерной поверхности $\Omega$, которая охватывает бесконечный четырехмерный объем  . Любое физическое поле, в бесконечности стремится к нулю, значит поле на поверхности Si должно быть равно нулю, следовательно и интеграл  (2.4.76) 
тоже равен нулю. 

Таким образом, первое слагаемое в  (2.4.75) 

равно нулю и подставляя второе слагаемое в  (2.4.73) 
получим следующее выражение для вариации действия:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.77)

Переобозначая в  (2.4.77) 

индексы суммирования и вынося за скобки общие множители, получим:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.78)

Уравнение  (2.4.78) 

представляет собой четырехмерную форму записи уравнений электромагнитного поля. Для того, чтобы получить трехмерный вид этих уравнений, нужно расписать тензор F и вектора X, J, по компонентам в трехмерном виде. Получим четыре уравнения для индексов i = 0, 1, 2, 3:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.79)

Подставляя в  (2.4.79) 

соответствующие значения составляющих тензора электромагнитного поля, получим вторую пару уравнений Максвелла:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.80)

Уравнения  (2.4.33) 

и  (2.4.80) 
являются основными уравнениями электродинамики. Легко получить уравнения  (2.4.80) 
в интегральной форме, взяв интеграл по объему и применив теорему Гаусса:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.81)

Поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся в объеме, ограниченном этой поверхностью.

Аналогично, взяв интеграл по поверхности и применив теорему Стокса, получим:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.82)

Первое слагаемое в подынтегральном выражении правой части  (2.4.82)  , называют «током смещения». Другими словами, уравнение  (2.4.82) 

показывает, что циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна сумме токов истинного и смещения, протекающих сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

Легко заметить, что из уравнений  (2.4.80) 

можно получить уравнение непрерывности  (2.4.63) 

, которое ранее мы вывели лишь из общих соображений. Действительно, если взять дивергенцию от правой и левой части  (2.4.80)  , то получим:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.83)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление