Основы теоретической физики/Тензор электромагнитного поля

2.4.4. Тензор электромагнитного поля

Уравнение электромагнитного поля можно получить в четырехмерном виде из принципа наименьшего действия и с помощью четырехмерных формул для интервала и потенциала поля. Принцип наименьшего действия запишем из  (2.4.5) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.22)

Проведем варьирование каждого слагаемого правой части  (2.4.22) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.23)

Проинтегрируем по частям подчеркнутые в  (2.4.23)  слагаемые:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.24)

Если начальные и конечные точки траектории (мировой линии) точно заданы в  (2.4.22) , тогда вариации 4-вектора координат в этих точках равны нулю:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.25)

Подставим  (2.4.25)  в  (2.4.24) , а затем в  (2.4.23) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.26)

Подставим  (2.4.26)  в  (2.4.22)  и получим для вариации действия:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.27)

Перепишем вариацию и полный дифференциал 4-потенциала поля через сумму частных производных, а от дифференциала 4-вектора координаты перейдем к 4-скорости:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.28)

Подставим  (2.4.28)  в  (2.4.27) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.29)

Во втором интеграле можно переименовать немые индексы и тогда после дополнительной группировки получим:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.30)

По определению, «тензором электромагнитного поля» называют совокупность величин, которые находятся по формуле:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.31)

Окончательно, четырехмерное уравнение движения свободной заряженной частицы в электромагнитном поле можно записать, подставив  (2.4.31)  в  (2.4.30) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.32)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление