завершено на 0%

Основы теоретической физики/Уравнение движения заряда в поле

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску

2.4.3. Уравнение движения заряда в поле[править]

Зная функцию Лагранжа (2.4.7) , можно записать уравнения движения для одной или нескольких заряженных частиц в электромагнитном поле.

 формулы (2.4.8)

В левой части (2.4.8)  стоит обобщенная сила, которая находится как производная по времени от обобщенного импульса. Найдем этот импульс:

 формулы (2.4.9)

В правой части (2.4.8)  стоит градиент функции Лагранжа:

 формулы (2.4.10)

Воспользуемся общими математическими свойствами градиента и ротора:

 формулы (2.4.11)

Объединяя (2.4.10)  и (2.4.11) , получим:

 формулы (2.4.12)

Подставляя (2.4.12)  в (2.4.10) , окончательно для градиента получаем:

 формулы (2.4.13)

Подставим (2.4.9)  и (2.4.13)  в уравнение движения (2.4.8) :

 формулы (2.4.14)

Полную производную от векторного потенциала по времени в левой части (2.4.14)  можно расписать через сумму частных производных:

 формулы (2.4.15)

Подставляя (2.4.15)  в (2.4.14) , получим окончательное уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле:

 формулы (2.4.16)

В левой части (2.4.16)  стоит производная импульса по времени, значит правая часть представляет собой силу, действующую на заряд в электромагнитном поле. Как видно, эта сила состоит из двух частей: одна часть зависит от скорости, а другая не зависит. По определению, независящая от скорости сила, действующая на элементарный заряд, называется «напряженностью электрического поля». Из определения понятно, что напряженность электрического поля находится по формуле:

 формулы (2.4.17)

Пропорциональное скорости слагаемое в (2.4.16)  это сила, вектор которой перпендикулярен скорости. По определению, «напряженностью магнитного поля» называется ротор от векторного потенциала:

 формулы (2.4.18)

Для электромагнитных полей различают два частных случая:

1. Поле называется электрическим если для напряженностей выполняется:.

2. Поле называется магнитным если

В общем случае электромагнитное поле является суперпозицией (наложением) электрической и магнитной составляющей.

Используя обозначения (2.4.17)  и (2.4.18) , уравнение движения заряда (2.4.16) можно переписать в виде:

 формулы (2.4.19)

Или для малых скоростей:

 формулы (2.4.20)

Стоящая справа в (2.4.19)  и (2.4.20)  сила называется «силой Лоренца». Эта сила состоит из двух частей, одна из которых не зависит от скорости и со-направлена с напряженностью электрического поля, вторая часть зависит от скорости и перпендикулярна напряженности магнитного поля.

Найдем работу, производимую полем над свободной частицей за единицу времени (мощность электромагнитного поля):

 формулы (2.4.21)

См. также[править]

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания[править]