Основы теоретической физики/Четырёхмерный потенциал поля

2.4.2. Четырёхмерный потенциал поля

Экспериментально установлено, что энергия частицы в электромагнитном поле, пропорциональна электрическому заряду этой частицы q, а также пропорциональна некоторой функции координат и времени, которую называют «потенциалом». Также известно, что любой электрический заряд пропорционален элементарному заряду, равному заряду электрона e. Поэтому энергию заряженной частицы в бесконечно малом электромагнитном поле можно записать следующим образом:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.1)

В правой части  (2.4.1)  стоит функция координат и времени, поэтому для потенциала удобно использовать запись через скалярное произведение двух 4-векторов:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.2)

Четырехмерный вектор A_i – называется «4-потенциал поля». Этот вектор можно расписать по компонентам:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.3)

При такой записи 4-потенциал разделяется на «скалярный потенциал» $\varphi$ и «векторный потенциал» поля ${\overrightarrow {A}}$. Заметим из  (2.4.2)  , что скалярный и векторный потенциалы могут быть функциями от трехмерных координат и от времени.

Заметим также, что входящая в  (2.4.2)  функция $f({\overrightarrow {r}},t)$ - не определена однозначно, то есть на компоненты 4-потенциала  (2.4.3)  можно накладывать некоторые дополнительные условия. Например, к функции $f({\overrightarrow {r}},t)$ можно прибавить произвольную функцию от координат $k({\overrightarrow {r}})$, это будет эквивалентно прибавлению к векторному потенциалу градиента $\triangledown k({\overrightarrow {r}})$.

Найдем действие для свободной заряженной частицы в электромагнитном поле. Вклад поля в действие должен быть пропорционален энергии, значит получаем:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.4)

В формуле  (2.4.4)  действие S_mf – это действие, обусловленное наличием энергии взаимодействия электромагнитного поля с зарядом частицы. Поскольку 4-потенциал поля можно определить с точностью до произвольного коэффициента пропорциональности, то определим этот коэффициент так, как его принято определять по историческим причинам: $-{\frac {1}{c}}$. В таком случае полное действие запишется формулой:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.5)

Через скалярный и векторный потенциалы формула  (2.4.5)  может быть записана в трехмерном виде:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.6)

Поскольку действие определено как интеграл от функции Лагранжа, то переходя в  (2.4.6)  к интегрированию по времени, получим:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.7)

Формула  (2.4.7)  определяет функцию Лагранжа свободной заряженной релятивистской частицы в электромагнитном поле.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление