Основы теоретической физики/Четырёхмерный вектор тока
2.4.7. Четырёхмерный вектор тока
[править]Рассмотрим некоторый объем V, внутри которого распределены точечные заряды. Тогда «плотность заряда» можно определить формулой:
При таком определении интеграл от плотности заряда по некоторому объему, будет равен полному заряду. Нужно, однако понимать, что в релятивистской механике заряды рассматриваются как точечные частицы, значит плотность заряда (2.4.49) равна нулю везде, кроме тех точек, где находятся заряды. Поэтому, математически более верно, будет определять плотность заряда с помощью -функции в виде:
Где сумма берется по всем зарядам, а — это радиус-вектор заряда. Дельта-функция , по определению, это функция, которая равна нулю везде, кроме точек (в этих точках она равна бесконечности), при этом выполняется равенство:
То есть плотность заряда – это такая функция, интегрирование которой по объему даст сумму всех зарядов в системе:
Как известно, движущиеся заряды создают ток. Если рассматривать ток, создаваемый за счет движения всего объема как целого, то трехмерной «плотностью тока» называется произведение плотности заряда на скорость:
Определим четырехмерную плотность тока или «четырехмерный вектор тока» по следующей формуле:
Полный заряд, находящийся во всем пространстве (2.4.52) , теперь можно получить в четырехмерном виде:
где интегрирование ведется по всей четырехмерной поверхности, перпендикулярной оси времени.
Найдем выражение для действия зараженной частицы и поля через четырехмерный вектор тока. Для этого воспользуемся формулой (2.4.48) :
Во втором слагаемом стоит суммирование по точечным зарядам. Заменим это суммирование интегрированием по объему с помощью определения (2.4.49) :
Дифференциал от четырехмерного радиус-вектора заменим, воспользовавшись определением (2.4.54) :
Подставим (2.4.57) и (2.4.58) в формулу (2.4.56) и получим окончательно для действия, выражение через четырехмерные вектора и тензоры:
См. также
[править]Примечания
[править]