Перейти к содержанию

Основы теоретической физики/Четырёхмерный вектор тока

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

2.4.7. Четырёхмерный вектор тока

[править]

Рассмотрим некоторый объем V, внутри которого распределены точечные заряды. Тогда «плотность заряда» можно определить формулой:

 формулы (2.4.49)


При таком определении интеграл от плотности заряда по некоторому объему, будет равен полному заряду. Нужно, однако понимать, что в релятивистской механике заряды рассматриваются как точечные частицы, значит плотность заряда  (2.4.49) 

равна нулю везде, кроме тех точек, где находятся заряды. Поэтому, математически более верно, будет определять плотность заряда с помощью  -функции в виде:
 формулы (2.4.50)


Где сумма берется по всем зарядам, а — это радиус-вектор заряда. Дельта-функция , по определению, это функция, которая равна нулю везде, кроме точек (в этих точках она равна бесконечности), при этом выполняется равенство:

 формулы (2.4.51)


То есть плотность заряда – это такая функция, интегрирование которой по объему даст сумму всех зарядов в системе:

 формулы (2.4.52)


Как известно, движущиеся заряды создают ток. Если рассматривать ток, создаваемый за счет движения всего объема как целого, то трехмерной «плотностью тока» называется произведение плотности заряда на скорость:

 формулы (2.4.53)


Определим четырехмерную плотность тока или «четырехмерный вектор тока» по следующей формуле:

 формулы (2.4.54)


Полный заряд, находящийся во всем пространстве  (2.4.52)  , теперь можно получить в четырехмерном виде:

 формулы (2.4.55)


где интегрирование ведется по всей четырехмерной поверхности, перпендикулярной оси времени. Найдем выражение для действия зараженной частицы и поля через четырехмерный вектор тока. Для этого воспользуемся формулой  (2.4.48) 

 формулы (2.4.56)


Во втором слагаемом стоит суммирование по точечным зарядам. Заменим это суммирование интегрированием по объему с помощью определения  (2.4.49) 

 формулы (2.4.57)


Дифференциал от четырехмерного радиус-вектора заменим, воспользовавшись определением  (2.4.54) 

 формулы (2.4.58)


Подставим  (2.4.57) 

и  (2.4.58) 
в формулу  (2.4.56) 
и получим окончательно для действия, выражение через четырехмерные вектора и тензоры:
 формулы (2.4.59)


См. также

[править]

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания

[править]