Основы теоретической физики/Действие для электромагнитного поля

2.4.6 Действие для электромагнитного поля

Ранее, в формуле  (2.4.4) , мы рассматривали действие свободной заряженной частицы в электромагнитном поле как сумму двух слагаемых.

$Undefined~formula$ формулы (2.4.39)

Первое слагаемое – это вклад от поступательного движения частицы, второе слагаемое – вклад от взаимодействия частицы с электромагнитным полем.

Опыт показывает, что поле является самостоятельным физическим объектом, который может существовать в пространстве и времени отдельно, независимо от частиц и зарядов. Поэтому действие всей системы, находящейся в электромагнитном поле, должно представлять собой сумму трех слагаемых:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.40)

Третье слагаемое в  (2.4.40)  — это вклад в действие непосредственно от электромагнитного поля. То есть это действие поля в отсутствие зарядов и частиц.

Явный вид для действия электромагнитного поля S_f, невозможно получить только лишь из каких-либо математических преобразований. Для нахождения правильной формулы нужно воспользоваться известными экспериментальными фактами. Общим экспериментальным фактом для электромагнитного поля, является «принцип суперпозиции», согласно которому поле, создаваемое системой зарядов, представляет собой результат простого сложения полей, которые создаются каждым из зарядов в отдельности.

Экспериментально наблюдаемый принцип суперпозиции указывает на то, что уравнения движения для электромагнитных волн или «уравнения поля» - должны быть линейными дифференциальными уравнениями. Действительно, если каждое решение такого линейного дифференциального уравнения, будет представлять собой физическое поле, то и сумма (суперпозиция) любых решений – тоже будет решением, то есть физическим полем.

Уравнение поля мы будем получать из принципа наименьшего действия. Поэтому, рассуждая далее, легко прийти к выводу, что чтобы уравнения поля были линейными, действие S_f должно быть интегралом от некоторой квадратичной функции, которая при варьировании станет линейной. То есть можем записать:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.41)

Ранее мы выяснили, что электромагнитное поле однозначно характеризуется тензором (2.4.31). Отсюда следует логичный вывод, что подынтегральное выражение в  (2.4.41)  должно быть функцией от тензора F_ik:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.42)

С другой стороны, действие это скаляр, значит и функция  (2.4.42)  должна давать скаляр, а единственная квадратичная операция, которая тензор второго ранга превращает в скаляр – это свертка или упрощение тензора. То есть:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.43)

Подставим теперь  (2.4.43)  в  (2.4.41)  и получим для действия электромагнитного поля выражение:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.44)

Интеграл берется по всему пространству и по отрезку времени между некоторыми заданными моментами. То есть дифференциал $d\Omega$ — это элемент объема в четырехмерном пространстве.

Коэффициент пропорциональности «a» перед интегралом  (2.4.44)  не влияет на физический смысл и эту постоянную выбирают наиболее удобной в зависимости от используемой системы единиц. Так, например, в «гауссовой системе единиц», действие электромагнитного поля в четырехмерном виде имеет вид:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.45)

Формула  (2.4.45)  – записана для четырехмерного пространства. В трехмерном виде, действие электромагнитного поля и соответствующая ему функция Лагранжа, в гауссовой системе единиц принимают вид:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.46)

Наконец можно записать полное действие для свободной заряженной частицы и поля если подставим  (2.4.45)  в  (2.4.40)  и воспользуемся  (2.4.5) :

$Undefined~formula$ формулы (2.4.47)

Для системы заряженных частиц имеем:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.48)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление