Основы теоретической физики/Приведенная масса

1.4.3. Приведённая масса

Еще одной важной задачей механики, которую можно решить в общем виде, является «задача двух тел». Прежде чем перейти к решению этой задачи покажем, что ее можно существенно упростить если рассматривать движение относительно центра инерции системы.

Запишем функцию Лагранжа системы из двух материальных точек в декартовых координатах:

L = \frac{m_{1} {\dot{r}}_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} {\dot{r}}_{2}^{2}}{2} - U (| {\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2} |)

(1.4.16)

Если поместить начало координат в центр инерции, то из (1.2.31) получим:

\frac{\sum_{a} m_{a} {\vec{r}}_{a}}{\sum_{a} m_{a}} = 0 \Rightarrow m_{1} {\vec{r}}_{1} + m_{2} {\vec{r}}_{2} = 0

(1.4.17)

Если обозначить расстояние между точками $\vec{r} = {\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2}$ , то с помощью (1.4.17) , радиус-векторы точек можно выразить через одну и ту же переменную и подставить полученные выражения в функцию Лагранжа (1.4.16) :

\begin{matrix} {\vec{r}}_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \vec{r} \\ {\vec{r}}_{2} = - \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \vec{r} \\ μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \end{matrix}} \Rightarrow L = \frac{μ {\dot{r}}^{2}}{2} - U (r)

(1.4.18)

Величина $μ$ в (1.4.18) , называется «приведенной массой». Как видно, формула (1.4.18) совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой $μ$ , движущейся в поле с потенциальной энергией U(r). Решением уравнения движения будет траектория $\vec{r} (t),$ из которой, по формулам (1.4.18) , можно найти траектории каждой точки ( ${\vec{r}}_{1} (t)$ и ${\vec{r}}_{2} (t)$ ).

См. также

<<Назад | Далее>>
Оглавление

Примечания