Основы теоретической физики/Определение потенциальной энергии по периоду колебаний

1.4.2. Определение потенциальной энергии по периоду колебаний

На практике, полную энергию и период колебаний одномерной системы, можно определить экспериментально. Рассмотрим, как можно получить вид потенциальной энергии U(x), если известна зависимость T(E). Математически, сформулированная задача сводится к решению интегрального уравнения   (1.4.7)   , в котором известна левая часть.

Будем решать поставленную задачу для потенциальной ямы с одним минимумом. Выберем систему координат так, чтобы минимум был в нуле.

Рис. 1.6

Решать интегральное уравнение   (1.4.7)    будем в несколько этапов. Вначале нужно преобразовать интеграл   (1.4.7)    так, чтобы координата «x» была функцией от потенциальной энергии x(U):

$dx={\frac {dx}{dU}}dU$ (1.4.8)

То есть мы будем искать не U(x), а обратную к этой зависимости функцию x(U). При таком преобразовании нужно заметить, что функция x(U) – двузначная. То есть при каждом значении $U\neq 0$, величина x(U) – принимает два значения. Поэтому нужно рассматривать два интеграла по областям, где функция x(U) непрерывна и однозначна. Найдем интеграл   (1.4.7)    как сумму площадей области A0x1 и области B0x2. Это области под кривыми $x_{1}(U)$ и $x_{2}(U)$.

${\begin{aligned}&T(E)={\sqrt {2m}}\int \limits _{{x}_{1}}^{{x}_{2}}{\frac {dx}{\sqrt {E-U(x)}}}={{S}_{A0{{x}_{1}}}}+{{S}_{B0{{x}_{2}}}}\\&{{S}_{A0{{x}_{1}}}}={\sqrt {2m}}\int \limits _{{x}_{1}}^{0}{{\frac {d{{x}_{1}}(U)}{dU}}{\frac {dU}{\sqrt {E-U(x)}}}}\\&{{S}_{A0{{x}_{2}}}}={\sqrt {2m}}\int \limits _{0}^{{x}_{2}}{{\frac {d{{x}_{2}}(U)}{dU}}{\frac {dU}{\sqrt {E-U(x)}}}}\\\end{aligned}}$ (1.4.9)

В интегралах   (1.4.9)    нас будут интересовать пределы не координат, а энергии:

${\begin{matrix}{\begin{aligned}&{{S}_{A0{{x}_{1}}}}={\sqrt {2m}}\int \limits _{E}^{0}{{\frac {d{{x}_{1}}(U)}{dU}}{\frac {dU}{\sqrt {E-U(x)}}}}\\&{{S}_{A0{{x}_{2}}}}={\sqrt {2m}}\int \limits _{0}^{E}{{\frac {d{{x}_{2}}(U)}{dU}}{\frac {dU}{\sqrt {E-U(x)}}}}\\\end{aligned}}\\\Downarrow \\\displaystyle T(E)={\sqrt {2m}}\int \limits _{0}^{E}{\left[{\frac {d{{x}_{2}}}{dU}}-{\frac {d{{x}_{1}}}{dU}}\right]{\frac {dU}{\sqrt {E-U}}}}\\\end{matrix}}$ (1.4.10)

Умножим обе части выражения   (1.4.10)    на ${\frac {dE}{\sqrt {\alpha -E}}}$ и проинтегрируем все по энергии:

${\begin{aligned}&{\frac {T(E)dE}{\sqrt {\alpha -E}}}={\sqrt {2m}}{\frac {dE}{\sqrt {\alpha -E}}}\int \limits _{0}^{E}{\left[{\frac {d{{x}_{2}}}{dU}}-{\frac {d{{x}_{1}}}{dU}}\right]{\frac {dU}{\sqrt {E-U}}}}\\&\int \limits _{0}^{\alpha }{\frac {T(E)dE}{\sqrt {\alpha -E}}}={\sqrt {2m}}\int \limits _{0}^{\alpha }{{\frac {dE}{\sqrt {\alpha -E}}}\int \limits _{0}^{E}{\left[{\frac {d{{x}_{2}}}{dU}}-{\frac {d{{x}_{1}}}{dU}}\right]{\frac {dU}{\sqrt {E-U}}}}}\\\end{aligned}}$ (1.4.11)

Правая часть выражения   (1.4.11)    может быть вычислена если поменять порядок интегрирования (пределы интегрирования при этом тоже поменяются):

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{\alpha }{{\frac {dE}{\sqrt {E-\alpha }}}\int \limits _{0}^{E}{\left[{\frac {d{{x}_{2}}}{dU}}-{\frac {d{{x}_{1}}}{dU}}\right]{\frac {dU}{\sqrt {E-U}}}}}=\int \limits _{0}^{\alpha }{\left[{\frac {d{{x}_{2}}}{dU}}-{\frac {d{{x}_{1}}}{dU}}\right]dU\int \limits _{U}^{\alpha }{\frac {dE}{\sqrt {(E-\alpha )(E-U)}}}}\\&\int \limits _{U}^{\alpha }{\frac {dE}{\sqrt {(E-\alpha )(E-U)}}}=-2\arcsin \left.{\frac {\sqrt {\alpha -E}}{\sqrt {\alpha -U}}}\right\vert _{U}^{\alpha }=\pi \\\end{aligned}}$ (1.4.12)

Подставляя   (1.4.12)    в   (1.4.11)   , получим:

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{\alpha }{\frac {T(E)dE}{\sqrt {\alpha -E}}}=\pi {\sqrt {2m}}\underbrace {\int \limits _{0}^{\alpha }{\left[{\frac {d{x_{2}}}{dU}}-{\frac {d{x_{1}}}{dU}}\right]dU}} _{x_{2}(\alpha )-x_{1}(\alpha )}\\&\int \limits _{0}^{\alpha }{\frac {T(E)dE}{\sqrt {\alpha -E}}}=\pi {\sqrt {2m}}(x_{2}(\alpha )-x_{1}(\alpha ))\\\end{aligned}}$ (1.4.13)

Если теперь переобозначить $\alpha \rightarrow U$, то из   (1.4.13)    получим формулу для вычисления разности $x_{2}(U)-x_{1}(U)$:

$x_{2}(U)-x_{1}(U)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2m}}}}\int \limits _{0}^{U}{\frac {T(E)dE}{\sqrt {U-E}}}$ (1.4.14)

То есть по известной функции для периода T(E), можно определить разность $x_{2}(U)-x_{1}(U)$. Однако эта разность не позволяет узнать однозначный вид функции x(U). Другими словами, из полученного решения следует, что существует не одна, а бесконечное множество кривых потенциальных энергий U(x), приводящих к заданной функции периода T(E). Неоднозначность в решении   (1.4.14)    исчезает, если потребовать симметричности функции U(x) относительно оси «y». В этом частном случае получается:

${\begin{matrix}\displaystyle x_{2}(U)=-x_{1}(U)=x(U)\\\Downarrow \\\displaystyle x(U)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {2m}}}}\int \limits _{0}^{U}{\frac {T(E)dE}{\sqrt {U-E}}}\\\end{matrix}}$ (1.4.15)

Как видно, формула   (1.4.15)    дает однозначную функцию зависимости траектории от потенциальной энергии если известна зависимость периода от энергии. Зависимость потенциальной энергии от координаты также будет определяться однозначно как функция, обратная к x(U).

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление