Перейти к содержанию

Основы теоретической физики/Определение потенциальной энергии по периоду колебаний

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

1.4.2. Определение потенциальной энергии по периоду колебаний

[править]

На практике, полную энергию и период колебаний одномерной системы, можно определить экспериментально. Рассмотрим, как можно получить вид потенциальной энергии U(x), если известна зависимость T(E). Математически, сформулированная задача сводится к решению интегрального уравнения   (1.4.7)   , в котором известна левая часть.

Будем решать поставленную задачу для потенциальной ямы с одним минимумом. Выберем систему координат так, чтобы минимум был в нуле.

Рис. 1.6

Решать интегральное уравнение   (1.4.7)    будем в несколько этапов. Вначале нужно преобразовать интеграл   (1.4.7)    так, чтобы координата «x» была функцией от потенциальной энергии x(U):

(1.4.8)


То есть мы будем искать не U(x), а обратную к этой зависимости функцию x(U). При таком преобразовании нужно заметить, что функция x(U) – двузначная. То есть при каждом значении , величина x(U) – принимает два значения. Поэтому нужно рассматривать два интеграла по областям, где функция x(U) непрерывна и однозначна. Найдем интеграл   (1.4.7)    как сумму площадей области A0x1 и области B0x2. Это области под кривыми и .

(1.4.9)


В интегралах   (1.4.9)    нас будут интересовать пределы не координат, а энергии:

(1.4.10)


Умножим обе части выражения   (1.4.10)    на и проинтегрируем все по энергии:

(1.4.11)


Правая часть выражения   (1.4.11)    может быть вычислена если поменять порядок интегрирования (пределы интегрирования при этом тоже поменяются):

(1.4.12)


Подставляя   (1.4.12)    в   (1.4.11)   , получим:

(1.4.13)


Если теперь переобозначить , то из   (1.4.13)    получим формулу для вычисления разности :

(1.4.14)


То есть по известной функции для периода T(E), можно определить разность . Однако эта разность не позволяет узнать однозначный вид функции x(U). Другими словами, из полученного решения следует, что существует не одна, а бесконечное множество кривых потенциальных энергий U(x), приводящих к заданной функции периода T(E). Неоднозначность в решении   (1.4.14)    исчезает, если потребовать симметричности функции U(x) относительно оси «y». В этом частном случае получается:

(1.4.15)


Как видно, формула   (1.4.15)    дает однозначную функцию зависимости траектории от потенциальной энергии если известна зависимость периода от энергии. Зависимость потенциальной энергии от координаты также будет определяться однозначно как функция, обратная к x(U).

См. также

[править]

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания

[править]