Основы теоретической физики/Движение в центральном поле
1.4.4. Движение в центральном поле
[править]Внешнее поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния до определенной неподвижной точки, называется «центральным полем».
У центральных полей есть два важных свойства:
1. Сила, действующая на материальную точку в центральном поле, зависит только от радиус-вектора и направлена вдоль него в каждой точке.
2. Траектория движения частицы в центральном поле, лежит в одной плоскости. Это свойство прямо следует из предыдущего.
Поскольку движение происходит в одной плоскости, то функцию Лагранжа удобней рассматривать в полярных координатах. Для одной материальной точки:
Можно заметить, что в (1.4.20) нет зависимости от обобщенной координаты . Всякую обобщенную координату, не входящую в явном виде в функцию Лагранжа, называют «циклической координатой».
Рассмотрим уравнение движения для произвольной циклической координаты :
То есть из (1.4.21) можно сделать вывод: обобщенный импульс, соответствующий циклической координате – сохраняется.
Для случая движения материальной точки в центральном поле, из уравнения движения для циклической координаты , подставляя определение проекции момента импульса (1.2.41) получим:
Как видим, проекция момента импульса на ось, совпадающую с направлением центрального поля – сохраняется.
Полученный закон сохранения проекции момента импульса можно продемонстрировать графически. Рассмотрим для этого бесконечно малый отрезок произвольной траектории частицы.
Найдем площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории:
Если поделить обе части выражения (1.4.21) на dt, то получим формулу для «секторальной скорости»:
То есть сохранение момента означает и постоянство секторальной скорости:
Мы получили закон, который называется «Второй закон Кеплера»: в центральном поле, частица движется так, что за равные промежутки времени, радиус-вектор описывает равные площади.
Рассмотрим теперь полную задачу о движении частицы в центральном поле. Удобнее всего эту задачу решать пользуясь законами сохранения энергии и момента импульса, а также определением проекции момента на ось «z» в цилиндрических координатах (1.2.41) :
В формуле (1.4.26) энергия, масса и момент импульса – это постоянные величины, значит из (1.4.26) можно выразить скорость:
Из скорости теперь можно найти зависимость координаты от времени (траекторию), однако для этого нужно знать точный вид функции U(r). В общем виде, для произвольной потенциальной энергии, можно найти функцию, обратную траектории - зависимость времени от координаты:
Также можно найти зависимость угла поворота от времени если воспользоваться соотношением (1.2.41) :
Формулы (1.4.28) и (1.4.29) – это и есть решение задачи движения тела в центральном поле. При этом, (1.4.29) – дает связь , то есть является уравнением траектории, а (1.4.28) – определяет расстояние движущейся точки как функцию времени.
Величину – называют «центробежной энергией». Индекс оси «z» у момента, обычно в формулах не пишут.
По определению, «эффективной потенциальной энергией» называется величина, которая находится из соотношения:
Полученные формулы (1.4.28) и (1.4.29) будут иметь физический смысл лишь в том случае, если подкоренное выражение в них больше, либо равно нулю. Поэтому можно определить «границы области движения» как точки траектории, для которых выполняется соотношение:
На границах области движения скорость тела равна нулю, эти точки называют еще «точками поворота», поскольку при достижении этих точек, координата тела переходит от увеличения к уменьшению или наоборот.
Легко заметить, что определяющее точки поворота квадратное уравнение (1.4.31) может иметь два корня и . Это радиусы двух окружностей, ограничивающих область движения.
Если область движения имеет только одну границу , то такое движение – инфинитно. То есть траектория материальной точки приходит из бесконечности и уходит в бесконечность.
Если область движения имеет две границы , то такое движение финитно. Траектория частицы лежит внутри кольца, ограниченного окружностями и .
Следует отметить, что траектория финитного движения не обязательно замкнута. Условие, при котором траектория является замкнутой, можно найти из формулы (1.4.29) . За время, когда расстояние r до точки меняется от до и обратно, угол изменится на величину:
С другой стороны, чтобы траектория была замкнутой, необходимо выполнение условия:
где m и n – это целые числа.
Только если выполняется (1.4.33) , через n повторений, радиус-вектор частицы сделает m полных оборотов и совпадет со своим первоначальным значением. То есть условием замкнутости траектории является равенство:
Чтобы узнать, выполняется ли равенство (1.4.34) , нужно знать точный вид функции U(r). Например, можно доказать, что для функций и , равенство (1.4.34) всегда выполняется, то есть для таких полей, траектории финитных движений всегда замкнуты.
Можно также легко показать, что при движении в центральном поле, частица никогда не сможет попасть точно в центр. Действительно, если учитывать, что подкоренное выражение в (1.4.29) должно быть больше нуля, то получим:
То есть «падение» частицы в центр возможно лишь при бесконечной потенциальной энергии.
См. также
[править]Примечания
[править]