завершено на 100%

Основы теоретической физики/Кеплерова задача

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску

1.4.5. Кеплерова задача[править]

Наиболее важным для практических применений случаем центральных полей, является поле с потенциальной энергией

(1.4.36)

К полям такого типа относятся гравитационные и кулоновские. Частицы в этих полях могут испытывать на себе силы притяжения и отталкивания:

(1.4.37)

Введем коэффициент пропорциональности в   (1.4.36)   и рассмотрим вначале поле притяжения:

(1.4.38)

Из-за того, что потенциальная энергия отрицательна, полная энергия тоже может быть меньше нуля. Эффективная потенциальная энергия из   (1.4.31)  :

(1.4.39)
Рис.1.10

Функция   (1.4.39)   имеет минимум:

(1.4.40)

Из графика функции видно, что если полная энергия частицы больше нуля (E>0), движение будет инфинитным, а при E<0 движение финитное.

Если подставить   (1.4.38)   в   (1.4.29)  , то можно взять интеграл и получить траекторию частицы в явном виде как функцию :

(1.4.41)

Для большей наглядности, если рассматривать случай финитного движения при E<0, выражение   (1.4.41)   можно преобразовать, выбрав начало отсчета таким, чтобы константа равнялась нулю и вводя новые обозначения:

(1.4.42)

Подставляя   (1.4.42)   в   (1.4.41)  , получим уравнение траектории в виде:

(1.4.43)

Полученное выражение   (1.4.43)   – это уравнение конического сечения (эллипса) с фокусом в начале координат. То есть величины «p» и «e» в   (1.4.43)   это «параметр» и «эксцентриситет» эллиптической орбиты. Сделанный выбор начала координат означает, что точка с углом - является ближайшей к центру. Эта точка называется «перигелий» орбиты.

Ранее мы показали, что задача двух тел может быть сведена к задаче движения одного тела. Значит в случае двух тел, орбита тоже представляет собой коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции.

Рис.1.11

Из   (1.4.42)   понятно, что если энергия E<0, то эксцентриситет e<1, то есть в этом случае орбита будет эллиптической. Большая и малая полуоси эллипса могут быть найдены по формулам:

(1.4.44)

Также можно найти наименьшее и наибольшее расстояния до центра поля (до фокуса эллипса в точке 0):

(1.4.45)

Эллипс переходит в окружность если эксцентриситет e=0. Значит энергия тела, движущегося по круговой орбите, находится по формуле:

(1.4.46)

Время обращения по орбите (период) можно определить из второго закон Кеплера   (1.4.25)   если известна площадь орбиты (эллипса):

(1.4.47)

Формула   (1.4.47)   показывает, что период в данном случае, зависит только от полной энергии частицы.

В случае инфинитного движения при , эксцентриситет e>1, значит траектория будет гиперболой, огибающей центр поля.

Рис.1.12

Выбрав начало отсчета таким, чтобы константа в   (1.4.41)   равнялась нулю и используя обозначения   (1.4.42)  , получим формулы для полуоси гиперболы и для расстояния перигелия от центра:

(1.4.48)

В случае если E=0, e=1, траекторией является парабола. Этот случай осуществляется, когда движение частицы начинается из состояния покоя на бесконечности.

См. также[править]

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания[править]