Основы теоретической физики/Зависимость координаты от времени в задаче Кеплера

1.4.6. Зависимость координаты от времени в задаче Кеплера

В Кеплеровой задаче можно вычислить интеграл   (1.4.28)    и получить выражение для времени в явном виде. Для эллиптической орбиты (при E<0) получим:

$t=\int \displaystyle {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {2}{m}}\left(-\vert E\vert -U\right)-{\frac {M^{2}}{m^{2}r^{2}}}}}}$ (1.4.49)

Подставим   (1.4.38)    в   (1.4.49)   :

${\begin{aligned}&U=-{\frac {\alpha }{r}}\\&t={\sqrt {\frac {m}{2\vert E\vert }}}\int {\frac {rdr}{\displaystyle {\sqrt {-{r^{2}}+r{\frac {\alpha }{\vert E\vert }}-{\frac {M^{2}}{2m\vert E\vert }}}}}}\\\end{aligned}}$ (1.4.50)

После подстановки   (1.4.42)    и   (1.4.44)    в   (1.4.50)    получим:

$t={\sqrt {\frac {ma}{\alpha }}}\int {\frac {rdr}{\sqrt {a^{2}e^{2}-(r-a)^{2}}}}$ (1.4.51)

Интеграл   (1.4.51)    можно взять аналитически, если сделать замену переменных:

${\begin{aligned}&r-a=-ae\cos \theta \\&rdr=\left(a-ae\cos \theta \right)ae\sin \theta d\theta \\&{\begin{matrix}t=\displaystyle {\sqrt {\frac {ma}{\alpha }}}\int {\frac {\left(a-ae\cos \theta \right)ae\sin \theta d\theta }{ae{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}={\sqrt {\frac {ma^{3}}{\alpha }}}\int {\left(1-e\cos \theta \right)d\theta }\\\Downarrow \\\displaystyle t={\sqrt {\frac {ma^{3}}{\alpha }}}\left(\theta -e\sin \theta \right)+const\\\end{matrix}}\\\end{aligned}}$ (1.4.52)

Выбирая начало отсчета времени так, чтобы константа в   (1.4.52)    равнялась нулю, получаем параметрическое уравнение траектории частицы:

${\begin{aligned}&r=a\left(1-e\cos \theta \right)\\&t={\sqrt {\frac {ma^{3}}{\alpha }}}\left(\theta -e\sin \theta \right)\\\end{aligned}}$ (1.4.53)

Декартовые координаты траектории можно также выразить из   (1.4.53)    через тот же параметр $\theta$, воспользовавшись уравнением   (1.4.43)   :

${\begin{matrix}\left.{\begin{aligned}&x=r\cos \varphi \\&y=r\sin \varphi \\&p=r+er\cos \varphi \\\end{aligned}}\right\}\Rightarrow ex=\underbrace {p} _{a\left(1-e^{2}\right)}-\underbrace {r} _{a\left(1-e\cos \theta \right)}=ae\left(\cos \theta -e\right)\\\Downarrow \\\left\{{\begin{aligned}&x=a\left(\cos \theta -e\right)\\&y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}=a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta \\\end{aligned}}\right.\\\end{matrix}}$ (1.4.54)

Мы получили формулы для эллиптической траектории. Для случая гиперболической траектории (при инфинитном движении E>0), интеграл   (1.4.28)    также можно вычислить в явном виде через гиперболические функции с синуса и косинуса, и получить следующие параметрические уравнения для координат:

${\begin{aligned}&{\begin{matrix}r=a\left(e\cdot {\text{ch}}\theta -1\right);&t={\sqrt {\frac {ma^{3}}{\alpha }}}\left(e\cdot {\text{sh}}\theta -\theta \right)\\\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}x=a\left(e-{\text{ch}}\theta \right);&y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\cdot {\text{sh}}\\\end{matrix}}\theta \\\end{aligned}}$ (1.4.55)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление