Перейти к содержанию

Основы теоретической физики/Зависимость координаты от времени в задаче Кеплера

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

1.4.6. Зависимость координаты от времени в задаче Кеплера

[править]

В Кеплеровой задаче можно вычислить интеграл   (1.4.28)    и получить выражение для времени в явном виде. Для эллиптической орбиты (при E<0) получим:

(1.4.49)


Подставим   (1.4.38)    в   (1.4.49)   :

(1.4.50)


После подстановки   (1.4.42)    и   (1.4.44)    в   (1.4.50)    получим:

(1.4.51)


Интеграл   (1.4.51)    можно взять аналитически, если сделать замену переменных:

(1.4.52)


Выбирая начало отсчета времени так, чтобы константа в   (1.4.52)    равнялась нулю, получаем параметрическое уравнение траектории частицы:

(1.4.53)


Декартовые координаты траектории можно также выразить из   (1.4.53)    через тот же параметр , воспользовавшись уравнением   (1.4.43)   :

(1.4.54)


Мы получили формулы для эллиптической траектории. Для случая гиперболической траектории (при инфинитном движении E>0), интеграл   (1.4.28)    также можно вычислить в явном виде через гиперболические функции с синуса и косинуса, и получить следующие параметрические уравнения для координат:

(1.4.55)


См. также

[править]

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания

[править]