Основы теоретической физики/Свободные одномерные колебания при наличии трения

1.5.5. Свободные одномерные колебания при наличии трения

Сила трения   (1.5.38)    входит как дополнительное слагаемое в уравнение движения   (1.5.5)   :

$\begin{array}{cc}& m\ddot{x}+kx=-\alpha \dot{x}\\ & \ddot{x}+\underset{{\omega }_0^2}{\underbrace{\frac{k}{m}}}x+\underset{2\lambda }{\underbrace{\frac{\alpha }{m}}}\dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\lambda \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0\\ \end{array}$ (1.5.39)

В уравнении   (1.5.39)   , величина ${\omega }_{{}_0}$ — это частота, которая входит в решение уравнения   (1.5.5)   , то есть имеет смысл частоты колебаний в отсутствии трения. Величина $\lambda$ - называется «коэффициентом затухания».

Найдем решение уравнения   (1.5.39)   :

$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& \ddot{x}+2\lambda \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0\\ & x=C{e}^{\gamma t}\\ & \dot{x}=C\gamma e^{\gamma t}\\ & \ddot{x}=C{\gamma }^2{e}^{\gamma t}\\ \end{array}\}\Rightarrow {\gamma }^2+2\lambda \gamma +{\omega }_0^2=0\\ {\gamma }_{1,2}=-\lambda \pm \sqrt{{\lambda }^2-{\omega }_0^2}\end{array}$ (1.5.40)

Теперь нужно рассмотреть три случая:

1. Пусть $\lambda <{\omega }_{{}_0}$. Получим в   (1.5.40)    два комплексно-сопряженных значения $\gamma$. Траектория должна быть вещественной величиной:

$\begin{array}{cc}& {\gamma }_{1,2}=-\lambda \pm i\underset{\omega }{\underbrace{\sqrt{{\omega }_0^2-{\lambda }^2}}}=-\lambda \pm i\omega \\ & x=Re\{C_1{e}^{-\lambda t}{e}^{i\omega t}+C_2{e}^{-\lambda t}{e}^{-i\omega t}\}=e^{-\lambda t}(C_1\cos \left(\omega t\right)+C_2\cos \left(\omega t\right))\\ & x=a{e}^{-\lambda t}\cos (\omega t+\alpha )\\ \end{array}$ (1.5.41)

Движение, описываемое формулой   (1.5.41)    называется «затухающим колебанием». Это гармонические колебания с экспоненциально убывающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется показателем экспоненты $\lambda$.

Если $\lambda \ll {\omega }_{{}_0}$, то за время одного периода $T=\frac{2\pi }{\omega }$, амплитуда почти не изменится. Тогда, используя формулу   (1.5.10)   , можно приближенно можно найти энергию системы:

$\begin{array}{cc}& E\approx \frac{m}{2}{\omega }^2{\left(a{e}^{-\lambda t}\right)}^2=\underset{E_0}{\underbrace{\frac{m}{2}\omega a}}{e}^{-2\lambda t}\\ & E\approx E_0{e}^{-2\lambda t}\\ \end{array}$ (1.5.42)

где $E_0$ — это начальное значение энергии.

2. Пусть $\lambda >{\omega }_{{}_0}$, тогда в   (1.5.40)    оба значения $\gamma$ будут вещественны и отрицательны. Траектория будет определяться по формуле:

$x=C_1{e}^{{}^{-(\lambda -\sqrt{{\lambda }^2-{\omega }_0^2})t}}+C_2{e}^{{}^{-(\lambda +\sqrt{{\lambda }^2-{\omega }_0^2})t}}$ (1.5.43)

Это случай большого трения, движение состоит в убывании координаты по модулю. Такое движение называется «апериодическим затуханием».

3. Пусть $\lambda ={\omega }_{{}_0}$, тогда в   (1.5.40)    будет два одинаковых корня: $\gamma =-\lambda$ и траектория будет определяться формулой:

$x=(C_1+C_{2}t)e^{-\lambda t}$ (1.5.44)

Эта траектория тоже соответствует апериодическому затуханию.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление