Основы теоретической физики/Свободные одномерные колебания при наличии трения

1.5.5. Свободные одномерные колебания при наличии трения

Сила трения (1.5.38) входит как дополнительное слагаемое в уравнение движения (1.5.5) :

{\begin{aligned}&m{\ddot {x}}+kx=-\alpha {\dot {x}}\\&{\ddot {x}}+\underbrace {\frac {k}{m}} _{\omega _{0}^{2}}x+\underbrace {\frac {\alpha }{m}} _{2\lambda }{\dot {x}}=0\Rightarrow {\ddot {x}}+2\lambda {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0\\\end{aligned}}

(1.5.39)

В уравнении (1.5.39) , величина $\omega _{_{0}}$ — это частота, которая входит в решение уравнения (1.5.5) , то есть имеет смысл частоты колебаний в отсутствии трения. Величина $\lambda$ - называется «коэффициентом затухания».

Найдем решение уравнения (1.5.39) :

{\begin{matrix}\left.{\begin{aligned}&{\ddot {x}}+2\lambda {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0\\&x=Ce^{\gamma t}\\&{\dot {x}}=C\gamma e^{\gamma t}\\&{\ddot {x}}=C{{\gamma }^{2}}{{e}^{\gamma t}}\\\end{aligned}}\right\}\Rightarrow \gamma ^{2}+2\lambda \gamma +\omega _{0}^{2}=0\\\gamma _{1,2}=-\lambda \pm {\sqrt {\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\\\end{matrix}}

(1.5.40)

Теперь нужно рассмотреть три случая:

1. Пусть $\lambda <\omega _{_{0}}$ . Получим в (1.5.40) два комплексно-сопряженных значения $\gamma$ . Траектория должна быть вещественной величиной:

{\begin{aligned}&\gamma _{1,2}=-\lambda \pm i\underbrace {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}} _{\omega }=-\lambda \pm i\omega \\&x=Re\left\{C_{1}e^{-\lambda t}e^{i\omega t}+{C_{2}}e^{-\lambda t}{e^{-i\omega t}}\right\}=e^{-\lambda t}\left(C_{1}\cos \left(\omega t\right)+C_{2}\cos \left(\omega t\right)\right)\\&x=ae^{-\lambda t}\cos \left(\omega t+\alpha \right)\\\end{aligned}}

(1.5.41)

Движение, описываемое формулой (1.5.41) называется «затухающим колебанием». Это гармонические колебания с экспоненциально убывающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется показателем экспоненты $\lambda$ .

Если $\lambda \ll \omega _{_{0}}$ , то за время одного периода $T={\frac {2\pi }{\omega }}$ , амплитуда почти не изменится. Тогда, используя формулу (1.5.10) , можно приближенно можно найти энергию системы:

{\begin{aligned}&E\approx {\frac {m}{2}}{\omega ^{2}}{{\left(ae^{-\lambda t}\right)}^{2}}=\underbrace {{\frac {m}{2}}\omega a} _{E_{0}}{e^{-2\lambda t}}\\&E\approx {E_{0}}{e^{-2\lambda t}}\\\end{aligned}}

(1.5.42)

где $E_{0}$ — это начальное значение энергии.

2. Пусть $\lambda >\omega _{_{0}}$ , тогда в (1.5.40) оба значения $\gamma$ будут вещественны и отрицательны. Траектория будет определяться по формуле: