Основы теоретической физики/Свободные одномерные колебания

1.5.1. Свободные одномерные колебания

Задача о малых колебаниях тела, является одной из наиболее простых и распространённых задач механики. Самым простым является случай системы с одной степенью свободы – свободные одномерные колебания.

Пусть устойчивому положению равновесия системы, соответствует энергия $U(q_{_{0}})_{min}$. При отклонении от равновесия на систему начинает действовать сила, стремящаяся вернуть систему обратно. Пусть $q_{_{0}}$ - координата, соответствующая положению равновесия. Тогда разложение потенциальной энергии тела в ряд Тейлора, до членов второго порядка малости, будет определяться выражением:

$U(q)\approx U(q_{0})+U^{\prime }(q_{0})\left(q-q_{0}\right)+{\frac {U^{\prime \prime }(q_{0})}{2}}\left(q-q_{0}\right)^{2}$ (1.5.1)

Первое слагаемое в   (1.5.1)   можно принять равным нулю, выбрав соответствующее начало системы координат, а второе слагаемое равно нулю так как должна быть равна нулю первая производная в точке экстремума.

Рис.1.13

$U(q_{0})=U'(q_{0})=0\Rightarrow U(q)\approx {\frac {U''(q_{0})}{2}}\left(q-q_{0}\right)^{2}$ (1.5.2)

Если выбрать систему координат такую, чтобы $q_{_{0}}=0$, обозначить вторую производную $U''(q_{_{0}})=k$, тогда для декартовых координат, выражение   (1.5.2)   примет вид:

$U(x)\approx {\frac {k}{2}}x^{2}$ (1.5.3)

Запишем кинетическую энергию для одномерного случая в обобщенных и декартовых координатах:

$T={\frac {1}{2}}a(q){\dot {q}}^{2}={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$ (1.5.4)

Теперь можно подставить   (1.5.3)   и   (1.5.4)   в функцию Лагранжа и решить уравнение движения:

${\begin{aligned}&L=T-U={\frac {1}{2}}m{{\dot {x}}^{2}}-{\frac {1}{2}}kx^{2}\\&{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {d}{dt}}\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}} _{m{\dot {x}}}-\underbrace {\frac {\partial L}{\partial x}} _{-kx}=0=m{\ddot {x}}+kx\Rightarrow {\ddot {x}}+\underbrace {\frac {k}{m}} _{\omega ^{2}}x=0\\\Downarrow \\\displaystyle {\ddot {x}}+{{\omega }^{2}}x=0\\\end{matrix}}\\\end{aligned}}$ (1.5.5)

Общее решение уравнения   (1.5.5)   ищется через замену переменной на тригонометрическую или экспоненциальную функцию. Найдем и решим характеристическое уравнение:

${\begin{matrix}\displaystyle \left.{\begin{aligned}&x=C{e^{\lambda t}}\\&{\dot {x}}=C\lambda {e^{\lambda t}}\\&{\ddot {x}}=C{\lambda ^{2}}{e^{\lambda t}}\\\end{aligned}}\displaystyle \right\}\Rightarrow {\ddot {x}}+{\omega ^{2}}x=\left({\lambda ^{2}}+{\omega ^{2}}\right)C{e^{\lambda t}}=0\\\displaystyle \lambda =\pm {\sqrt {-1}}\cdot \omega =\pm i\omega \\\end{matrix}}$ (1.5.6)

Поскольку получилось два независимых решения, то общее решение уравнения   (1.5.5)   будет суммой:

${\begin{aligned}&x=C_{1}{e^{i\omega t}}+C_{2}{e^{-i\omega t}}={\underline {C_{1}\cos \omega t}}+{\underline {\underline {C_{1}i\sin \omega t}}}+{\underline {C_{2}\cos \omega t}}-{\underline {\underline {C_{2}i\sin \omega t}}}\\&x=\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos \omega t+\left(C_{1}i-C_{2}i\right)\sin \omega t\\\end{aligned}}$ (1.5.7)

Можно воспользоваться тригонометрическим тождеством для косинуса суммы и привести   (1.5.7)   к виду:

${\begin{aligned}&x=a\cos \left(\omega t+\alpha \right)\\&a=2C_{1}C_{2}\\&{\text{tg}}\alpha ={\frac {C_{2}-C_{1}}{C_{1}+C_{2}}}i\\\end{aligned}}$ (1.5.8)

Таким образом, решение   (1.5.8)   показывает, что вблизи точки равновесия система совершает гармонические колебания по закону косинуса.

Величину a – называют «амплитудой колебаний»

Угол $\omega t+\alpha$ — называют «фазой»

Угол $\alpha$ — это начальное значение фазы, зависящее от выбора начального момента времени.

Величину $\omega$ – называют «циклической частотой колебаний». Эта частота связана с периодом колебаний и с линейной частотой соотношениями:

$\omega =2\pi \nu ={\frac {2\pi }{T}}$ (1.5.9)

Полную энергию системы, совершающей малые одномерные колебания, можно найти если подставить решение   (1.5.9)   в кинетическую   (1.5.4)   и потенциальную энергии   (1.5.3)  :

$E={\frac {1}{2}}m{{\dot {x}}^{2}}+{\frac {k}{2}}{x^{2}}={\frac {m}{2}}{\omega ^{2}}{a^{2}}$ (1.5.10)

То есть энергия получается пропорциональной квадрату частоты и квадрату амплитуды колебаний.

Решение   (1.5.8)   записано в вещественных числах, поскольку физические величины могут быть только вещественными. Однако оперирование экспоненциальными множителями в математическом смысле проще, чем тригонометрическими, так как дифференцирование и интегрирование не меняет их вида. Поэтому часто решение   (1.5.8)   удобно применять в виде:

$\left.{\begin{aligned}&x={Re}\left(A{e^{i\omega t}}\right)\\&A=a{e^{i\alpha }}\\\end{aligned}}\right\}\Rightarrow X=A{e^{i\omega t}}$ (1.5.11)

Величину A – называют «комплексной амплитудой». Величина X в   (1.5.11)   тогда имеет смысл «комплексной координаты».

Оперируя комплексными координатами и амплитудами, нужно понимать, что пока производятся лишь линейные операции, такие как сложение, умножение на константы, дифференцирование, интегрирование, можно вообще не брать вещественную часть, переходя к ней только в ответе.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление