завершено на 100%

Основы теоретической физики/Свободные одномерные колебания

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску

1.5.1. Свободные одномерные колебания[править]

Задача о малых колебаниях тела, является одной из наиболее простых и распространённых задач механики. Самым простым является случай системы с одной степенью свободы – свободные одномерные колебания.

Пусть устойчивому положению равновесия системы, соответствует энергия . При отклонении от равновесия на систему начинает действовать сила, стремящаяся вернуть систему обратно. Пусть - координата, соответствующая положению равновесия. Тогда разложение потенциальной энергии тела в ряд Тейлора, до членов второго порядка малости, будет определяться выражением:

(1.5.1)

Первое слагаемое в   (1.5.1)   можно принять равным нулю, выбрав соответствующее начало системы координат, а второе слагаемое равно нулю так как должна быть равна нулю первая производная в точке экстремума.

Рис.1.13


(1.5.2)

Если выбрать систему координат такую, чтобы , обозначить вторую производную , тогда для декартовых координат, выражение   (1.5.2)   примет вид:

(1.5.3)

Запишем кинетическую энергию для одномерного случая в обобщенных и декартовых координатах:

(1.5.4)

Теперь можно подставить   (1.5.3)   и   (1.5.4)   в функцию Лагранжа и решить уравнение движения:

(1.5.5)

Общее решение уравнения   (1.5.5)   ищется через замену переменной на тригонометрическую или экспоненциальную функцию. Найдем и решим характеристическое уравнение:

(1.5.6)

Поскольку получилось два независимых решения, то общее решение уравнения   (1.5.5)   будет суммой:

(1.5.7)

Можно воспользоваться тригонометрическим тождеством для косинуса суммы и привести   (1.5.7)   к виду:

(1.5.8)

Таким образом, решение   (1.5.8)   показывает, что вблизи точки равновесия система совершает гармонические колебания по закону косинуса.

Величину a – называют «амплитудой колебаний»

Угол — называют «фазой»

Угол — это начальное значение фазы, зависящее от выбора начального момента времени.

Величину – называют «циклической частотой колебаний». Эта частота связана с периодом колебаний и с линейной частотой соотношениями:

(1.5.9)

Полную энергию системы, совершающей малые одномерные колебания, можно найти если подставить решение   (1.5.9)   в кинетическую   (1.5.4)   и потенциальную энергии   (1.5.3)  :

(1.5.10)

То есть энергия получается пропорциональной квадрату частоты и квадрату амплитуды колебаний.

Решение   (1.5.8)   записано в вещественных числах, поскольку физические величины могут быть только вещественными. Однако оперирование экспоненциальными множителями в математическом смысле проще, чем тригонометрическими, так как дифференцирование и интегрирование не меняет их вида. Поэтому часто решение   (1.5.8)   удобно применять в виде:

(1.5.11)

Величину A – называют «комплексной амплитудой». Величина X в   (1.5.11)   тогда имеет смысл «комплексной координаты».

Оперируя комплексными координатами и амплитудами, нужно понимать, что пока производятся лишь линейные операции, такие как сложение, умножение на константы, дифференцирование, интегрирование, можно вообще не брать вещественную часть, переходя к ней только в ответе.

См. также[править]

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания[править]