Перейти к содержанию

Основы теоретической физики/Свободные одномерные колебания

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

1.5.1. Свободные одномерные колебания

[править]

Задача о малых колебаниях тела, является одной из наиболее простых и распространённых задач механики. Самым простым является случай системы с одной степенью свободы – свободные одномерные колебания.

Пусть устойчивому положению равновесия системы, соответствует энергия . При отклонении от равновесия на систему начинает действовать сила, стремящаяся вернуть систему обратно. Пусть - координата, соответствующая положению равновесия. Тогда разложение потенциальной энергии тела в ряд Тейлора, до членов второго порядка малости, будет определяться выражением:

(1.5.1)


Первое слагаемое в   (1.5.1)    можно принять равным нулю, выбрав соответствующее начало системы координат, а второе слагаемое равно нулю так как должна быть равна нулю первая производная в точке экстремума.

Рис.1.13


(1.5.2)


Если выбрать систему координат такую, чтобы , обозначить вторую производную , тогда для декартовых координат, выражение   (1.5.2)    примет вид:

(1.5.3)


Запишем кинетическую энергию для одномерного случая в обобщенных и декартовых координатах:

(1.5.4)


Теперь можно подставить   (1.5.3)    и   (1.5.4)    в функцию Лагранжа и решить уравнение движения:

(1.5.5)


Общее решение уравнения   (1.5.5)    ищется через замену переменной на тригонометрическую или экспоненциальную функцию. Найдем и решим характеристическое уравнение:

(1.5.6)


Поскольку получилось два независимых решения, то общее решение уравнения   (1.5.5)    будет суммой:

(1.5.7)


Можно воспользоваться тригонометрическим тождеством для косинуса суммы и привести   (1.5.7)    к виду:

(1.5.8)


Таким образом, решение   (1.5.8)    показывает, что вблизи точки равновесия система совершает гармонические колебания по закону косинуса.

Величину a – называют «амплитудой колебаний»

Угол — называют «фазой»

Угол — это начальное значение фазы, зависящее от выбора начального момента времени.

Величину – называют «циклической частотой колебаний». Эта частота связана с периодом колебаний и с линейной частотой соотношениями:

(1.5.9)


Полную энергию системы, совершающей малые одномерные колебания, можно найти если подставить решение   (1.5.9)    в кинетическую   (1.5.4)    и потенциальную энергии   (1.5.3)   :

(1.5.10)


То есть энергия получается пропорциональной квадрату частоты и квадрату амплитуды колебаний. Решение   (1.5.8)    записано в вещественных числах, поскольку физические величины могут быть только вещественными. Однако оперирование экспоненциальными множителями в математическом смысле проще, чем тригонометрическими, так как дифференцирование и интегрирование не меняет их вида. Поэтому часто решение   (1.5.8)    удобно применять в виде:

(1.5.11)


Величину A – называют «комплексной амплитудой». Величина X в   (1.5.11)    тогда имеет смысл «комплексной координаты».

Оперируя комплексными координатами и амплитудами, нужно понимать, что пока производятся лишь линейные операции, такие как сложение, умножение на константы, дифференцирование, интегрирование, можно вообще не брать вещественную часть, переходя к ней только в ответе.

См. также

[править]

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания

[править]