Основы теоретической физики/Вынужденные колебания

1.5.2. Вынужденные колебания

Мы рассмотрели колебания, при которых на систему не действуют никакие поля и силы – это «свободные колебания». С другой стороны, «вынужденными» называют колебания в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле. При этом очевидно, что чтобы колебания оставались малыми, внешнее поле должно быть тоже малым.

В случае, когда на систему действует внешнее поле, потенциальную энергию можно представить в виде суммы:

$U(x)={\frac {k}{2}}x^{2}+{U_{l}}(x,t)$ (1.5.12)

Первое слагаемое в правой части   (1.5.12)   – это «собственная потенциальная энергия», а второе слагаемое – это дополнительная потенциальная энергия, связанная с внешним воздействием.

Пользуясь тем, что внешнее воздействие должно быть малым, разложим $U_{1}(x,t)$ в ряд Тейлора вблизи нуля, ограничившись первым порядком малости:

${U_{l}}(x,t)\approx {U_{l}}(0,t)+x{{{\frac {\partial U_{l}}{\partial x}}{\bigg \vert }}_{x=0}}$ (1.5.13)

Первое слагаемое в   (1.5.13)   зависит только от времени и поэтому не дает вклада в функцию Лагранжа по ее второму свойству. Второе слагаемое это вклад от переменной внешней силы, действующей на систему:

${U_{l}}(x,t)\approx x{{{\frac {\partial {U_{l}}}{\partial x}}{\bigg \vert }}_{x=0}}=-xF(t)$ (1.5.14)

Таким образом, функция Лагранжа и уравнения движения принимают вид:

${\begin{matrix}\displaystyle L={\frac {m{{\dot {x}}^{2}}}{2}}-{\frac {k{x^{2}}}{2}}+xF(t)\\\Downarrow \\\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=F(t)\Rightarrow {\ddot {x}}+{\omega ^{2}}x={\frac {1}{m}}F(t)\\\end{matrix}}$ (1.5.15)

Решением дифференциального уравнения   (1.5.15)   будет сумма «решения уравнения без правой части» и «частного интеграла неоднородного уравнения». То есть чтобы решить   (1.5.15)  , надо знать конкретный вид функции F(t).

Пусть вынуждающая сила является простой периодической функцией времени:

$F(t)=f\cos \left(\gamma t+\beta \right)$ (1.5.16)

Тогда решением уравнения   (1.5.15)   будет функция:

$x=a\cos \left(\omega t+\alpha \right)+{\frac {f}{m\left(\omega ^{2}-\gamma ^{2}\right)}}\cos \left(\gamma t+\beta \right)$ (1.5.17)

Первое слагаемое в   (1.5.17)   – аналогично решению для свободных колебаний   (1.5.8)  , а второе слагаемое – находится методом неопределенных коэффициентов. Постоянные интегрирования $a$ и $\alpha$ - определяются из начальных условий.

Как видно, под действием периодической вынуждающей силы, система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний: колебания с собственной частотой $\omega$ и колебания с частотой вынуждающей силы $\gamma$.

Нужно отметить, что решение   (1.5.17)   не применимо к случаю «резонанса»: когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы.

Чтобы описать случай резонанса, частный интеграл уравнения   (1.5.15)   нужно искать в виде:

$x(t)=b\left(\cos(\gamma t+\beta )+\cos(\omega t)\right)$ (1.5.18)

Подставляя   (1.5.18)   в   (1.5.15)  , получим:

$x(t)=a\cos \left(\omega t+\alpha \right)+{\frac {f}{m\left(\omega ^{2}-\gamma ^{2}\right)}}\left(\cos(\gamma t+\beta )-\cos(\omega t+\beta )\right)$ (1.5.19)

Если взять теперь предел от выражения   (1.5.19)   при $\gamma$ стремящемся к $\omega$ , то получится неопределенность, к которой можно применить правило Лопиталя и получить для координаты выражение:

$x(t)=a\cos \left(\omega t+\alpha \right)+{\frac {1}{2m\omega }}t\sin \left(\omega t+\beta \right)\Rightarrow x(t)\sim t$ (1.5.20)

То есть при резонансе амплитуда растет линейно со временем до тех пор, пока колебания не перестанут быть малыми. Для колебаний с большой амплитудой нужно использовать больше слагаемых в разложении потенциальной энергии в ряд Тейлора, тогда формулы траектории будут иметь более сложный вид.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление