Основы теоретической физики/Скобки Пуассона

1.3.3. Скобки Пуассона

В механике очень часто используются полные производные от функций координат, импульсов и времени, поэтому бывает удобно сокращать запись с помощью некоторых специальных формул. Рассмотрим некоторые из наиболее известных таких формул и соотношений.

Пусть $f(p,q,t)$ - некоторая функция. Тогда ее полная производная по переменной t, находится по известной формуле:

${\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum \limits _{k}{\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial f}{\partial p_{k}}}{{\dot {p}}_{k}}\right)}$ (1.3.9)

Подставим в  (1.3.9) 

уравнения Гамильтона   (1.3.6) 

 :

${\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum \limits _{k}{\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}\right)}$ (1.3.10)

Второе слагаемое в правой части выражения  (1.3.10) 

имеет собственное обозначение и называется «скобками Пуассона».

${\begin{matrix}\displaystyle \left\{H,f\right\}=\sum \limits _{k}{\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}\right)}\\\Downarrow \\\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}+\left\{H,f\right\}\\\end{matrix}}$ (1.3.11)

В общем случае скобки Пуассона определены для любых двух функций:

$\left\{f,g\right\}=\sum \limits _{k}{\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{k}}}\right)}$ (1.3.12)

Учитывая данные обозначения для функций, которые являются интегралами движения, можно записать:

${\frac {df}{dt}}=0={\frac {\partial f}{\partial t}}+\left\{H,f\right\}$ (1.3.13)

Если время не входит явным образом в функцию  (1.3.9)  , то частная производная по времени будет равна нулю и тогда для интегралов движения получим выражение:

$\left\{H,f\right\}=0$ (1.3.14)

Из полученной формулы  (1.3.14) 

можно сделать следующий вывод: если скобки Пуассона какой-либо функции и Гамильтониана равны нулю, значит данная функция является интегралом движения.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление