1.3.4. Свойства скобок Пуассона
[править]
Перечислим некоторые основные свойства скобок Пуассона, большинство из которых выводятся прямо из определения (1.3.12) и из свойств производной от функции.
![{\displaystyle \left\{f,g\right\}=-\left\{g,f\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874d369c238cc1acb7972fc570ed4f07aedca59a)
![{\displaystyle \left\{f,{const}\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86f6b28151204d6b5d16823e1d4753414867de7)
![{\displaystyle \left\{f_{1}+f_{2},g\right\}=\left\{f_{1},g\right\}+\left\{f_{2},g\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0debd46f2deef129a7c1a843bad0bd09b278a982)
![{\displaystyle \left\{f_{1},f_{2},g\right\}=f_{1}\left\{f_{2},g\right\}+f_{2}\left\{f_{1},g\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf0cfda0baebd3f8835fd307497c5f065fd6dbc)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left\{f,g\right\}=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\right\}+\left\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc7242a1b3ce3ee38a7885f951078574752158d)
![{\displaystyle \left\{f,q_{_{k}}\right\}={\frac {\partial f}{\partial p_{_{k}}}};\left\{f,p_{_{k}}\right\}=-{\frac {\partial f}{\partial q_{_{k}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00c73ee1ea7915a35f188e4737ec993c05a0061)
![{\displaystyle \left\{q_{_{i}},q_{_{k}}\right\}=0;\left\{p_{_{i}},p_{_{k}}\right\}=0;\left\{p_{_{i}},q_{_{k}}\right\}=\delta _{i,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f605cb34d2e88e4bef6e1fab1cdbe4adca9e8c47)
![{\displaystyle \left\{f,\left\{g,h\right\}\right\}+\left\{g,\left\{h,f\right\}\right\}+\left\{h,\left\{f,g\right\}\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d4eccd2aba4090a21ddf4b4dd6dd3c8ba17e0e)
Восьмое свойство называется «тождеством Якоби». Из этого тождества можно вывести «теорему Пуассона»: если функции f и g – являются интегралами движения, то их скобка Пуассона тоже интеграл движения.
Доказательство: пусть в тождестве Якоби функция h это Гамильтониан системы, то есть h=H. Запишем это:
(1.3.15)
Разобьем дальнейшее доказательство на две части:
а) если функции f и g – не зависят явно от времени
Воспользуемся выражением (1.3.14) :
(1.3.16)
Подставим (1.3.16) в (1.3.15) и получим то, что и требовалось доказать:
(1.3.17)
б) если функции f и g – зависят явно от времени
Найдем полную производную по времени от интересующей нас скобки Пуассона как от функции, в которую время входит в явном виде:
(1.3.18)
В правой части (1.3.18) для первого слагаемого воспользуемся пятым свойством скобок Пуассона, а для второго слагаемого воспользуемся тождеством Якоби:
(1.3.19)
Теперь сделаем перегруппировку, воспользовавшись третьим свойством скобок Пуассона:
(1.3.20)
В правой части (1.3.20) , внутри скобок Пуассона, получились полные производные по времени, которые равны нулю так как по условию функции f и g - являются интегралами движения:
(1.3.21)
Как видим, в (1.3.21) скобка Пуассона от интегралов движения получилась равна константе, что и требовалось доказать.
<<Назад | Далее>>
Оглавление