Перейти к содержанию

Основы теоретической физики/Свойства скобок Пуассона

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

1.3.4. Свойства скобок Пуассона

[править]

Перечислим некоторые основные свойства скобок Пуассона, большинство из которых выводятся прямо из определения   (1.3.12)    и из свойств производной от функции.

Восьмое свойство называется «тождеством Якоби». Из этого тождества можно вывести «теорему Пуассона»: если функции f и g – являются интегралами движения, то их скобка Пуассона тоже интеграл движения.

Доказательство: пусть в тождестве Якоби функция h это Гамильтониан системы, то есть h=H. Запишем это:

(1.3.15)


Разобьем дальнейшее доказательство на две части: а) если функции f и g – не зависят явно от времени Воспользуемся выражением   (1.3.14)   :

(1.3.16)


Подставим  (1.3.16) 

в  (1.3.15) 
и получим то, что и требовалось доказать:
(1.3.17)


б) если функции f и g – зависят явно от времени Найдем полную производную по времени от интересующей нас скобки Пуассона как от функции, в которую время входит в явном виде:

(1.3.18)


В правой части  (1.3.18) 

для первого слагаемого воспользуемся пятым свойством скобок Пуассона, а для второго слагаемого воспользуемся тождеством Якоби:
(1.3.19)


Теперь сделаем перегруппировку, воспользовавшись третьим свойством скобок Пуассона:

(1.3.20)


В правой части  (1.3.20)  , внутри скобок Пуассона, получились полные производные по времени, которые равны нулю так как по условию функции f и g - являются интегралами движения:

(1.3.21)


Как видим, в  (1.3.21) 

скобка Пуассона от интегралов движения получилась равна константе, что и требовалось доказать.

См. также

[править]

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания

[править]