Перечислим некоторые основные свойства скобок Пуассона, большинство из которых выводятся прямо из определения (1.3.12)
и из свойств производной от функции.
Восьмое свойство называется «тождеством Якоби». Из этого тождества можно вывести «теорему Пуассона»: если функции f и g – являются интегралами движения, то их скобка Пуассона тоже интеграл движения.
Доказательство: пусть в тождестве Якоби функция h это Гамильтониан системы, то есть h=H. Запишем это:
(1.3.15)
Разобьем дальнейшее доказательство на две части:
а) если функции f и g – не зависят явно от времени
Воспользуемся выражением (1.3.14)
:
в (1.3.15)
и получим то, что и требовалось доказать:
(1.3.17)
б) если функции f и g – зависят явно от времени
Найдем полную производную по времени от интересующей нас скобки Пуассона как от функции, в которую время входит в явном виде:
для первого слагаемого воспользуемся пятым свойством скобок Пуассона, а для второго слагаемого воспользуемся тождеством Якоби:
(1.3.19)
Теперь сделаем перегруппировку, воспользовавшись третьим свойством скобок Пуассона:
(1.3.20)
В правой части (1.3.20)
, внутри скобок Пуассона, получились полные производные по времени, которые равны нулю так как по условию функции f и g - являются интегралами движения: