Основы теоретической физики/Свойства скобок Пуассона

1.3.4. Свойства скобок Пуассона

Перечислим некоторые основные свойства скобок Пуассона, большинство из которых выводятся прямо из определения   (1.3.12)   и из свойств производной от функции.

1. $\left\{f,g\right\}=-\left\{g,f\right\}$
2. $\left\{f,{const}\right\}=0$
3. $\left\{f_{1}+f_{2},g\right\}=\left\{f_{1},g\right\}+\left\{f_{2},g\right\}$
4. $\left\{f_{1},f_{2},g\right\}=f_{1}\left\{f_{2},g\right\}+f_{2}\left\{f_{1},g\right\}$
5. ${\frac {\partial }{\partial t}}\left\{f,g\right\}=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\right\}+\left\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\right\}$
6. $\left\{f,q_{_{k}}\right\}={\frac {\partial f}{\partial p_{_{k}}}};\left\{f,p_{_{k}}\right\}=-{\frac {\partial f}{\partial q_{_{k}}}}$
7. $\left\{q_{_{i}},q_{_{k}}\right\}=0;\left\{p_{_{i}},p_{_{k}}\right\}=0;\left\{p_{_{i}},q_{_{k}}\right\}=\delta _{i,k}$
8. $\left\{f,\left\{g,h\right\}\right\}+\left\{g,\left\{h,f\right\}\right\}+\left\{h,\left\{f,g\right\}\right\}=0$

Восьмое свойство называется «тождеством Якоби». Из этого тождества можно вывести «теорему Пуассона»: если функции f и g – являются интегралами движения, то их скобка Пуассона тоже интеграл движения.

Доказательство: пусть в тождестве Якоби функция h это Гамильтониан системы, то есть h=H. Запишем это:

$\left\{f,\left\{g,H\right\}\right\}+\left\{g,\left\{H,f\right\}\right\}+\left\{H,\left\{f,g\right\}\right\}=0$ (1.3.15)

Разобьем дальнейшее доказательство на две части: а) если функции f и g – не зависят явно от времени

Воспользуемся выражением   (1.3.14)  :

$\left\{H,f\right\}=0;{\text{ }}\left\{g,H\right\}=0;$ (1.3.16)

Подставим (1.3.16)  в (1.3.15)  и получим то, что и требовалось доказать:

${\begin{aligned}&\underbrace {\left\{f,\left\{g,H\right\}\right\}} _{0}+\underbrace {\left\{g,\left\{H,f\right\}\right\}} _{0}+\left\{H,\left\{f,g\right\}\right\}=0\\&\left\{H,\left\{f,g\right\}\right\}=0\Rightarrow \left\{f,g\right\}=const\\\end{aligned}}$ (1.3.17)

б) если функции f и g – зависят явно от времени

Найдем полную производную по времени от интересующей нас скобки Пуассона как от функции, в которую время входит в явном виде:

${\begin{matrix}\displaystyle \left\{f,g\right\}=k(p,q,t)\\\displaystyle {\frac {d}{dt}}k(p,q,t)={\frac {\partial k}{\partial t}}+\left\{H,k\right\}\\\Downarrow \\\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\{f,g\right\}={\frac {\partial }{\partial t}}\left\{f,g\right\}+\left\{H,\left\{f,g\right\}\right\}\\\end{matrix}}$ (1.3.18)

В правой части (1.3.18)  для первого слагаемого воспользуемся пятым свойством скобок Пуассона, а для второго слагаемого воспользуемся тождеством Якоби:

${\frac {d}{dt}}\left\{f,g\right\}=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\right\}+\left\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\right\}-\left\{f,\left\{g,H\right\}\right\}-\left\{g,\left\{H,f\right\}\right\}$ (1.3.19)

Теперь сделаем перегруппировку, воспользовавшись третьим свойством скобок Пуассона:

${\frac {d}{dt}}\left\{f,g\right\}=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left\{H,f\right\},g\right\}+\left\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}+\left\{H,g\right\}\right\}$ (1.3.20)

В правой части (1.3.20) , внутри скобок Пуассона, получились полные производные по времени, которые равны нулю так как по условию функции f и g - являются интегралами движения:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\{f,g\right\}=\left\{\underbrace {\frac {df}{dt}} _{=0},g\right\}+\left\{f,\underbrace {\frac {dg}{dt}} _{=0}\right\}\\&{\frac {d}{dt}}\left\{f,g\right\}=0\Rightarrow \left\{f,g\right\}=const\\\end{aligned}}$ (1.3.21)

Как видим, в (1.3.21)  скобка Пуассона от интегралов движения получилась равна константе, что и требовалось доказать.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление