Основы теоретической физики/Закон Кулона

2.4.11. Закон Кулона

Постоянное, не зависящее от времени, электромагнитное поле, называется «электростатическим» полем. Уравнения Максвелла для такого поля имеют вид:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.96)

Из  (2.4.16) 

получаем, что напряженность электрического поля зависит только от скалярного потенциала:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.97)

Подставляя  (2.4.97) 

в  (2.4.96) 

, находим уравнение для потенциала электростатического поля или «уравнение Пуассона»:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.98)

В пустоте, при отсутствии зарядов, из  (2.4.98) 

получается «уравнение Лапласа»:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.99)

Поле, создаваемое точечным зарядом e, можно найти из уравнения  (2.4.96)  , если взять интеграл по конечному объему и воспользоваться теоремой Гаусса:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.100)

Из соображений симметрии понятно, что поле точечного заряда зависит только от расстояния, значит объем V представляет собой шар с площадью поверхности f, равной $4\pi R^{2}$, а поле на этой поверхности постоянно. Значит:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.101)

Полученная формула представляет собой «закон Кулона»: поле, создаваемое точечным зарядом, обратно пропорционально квадрату расстояния до этого заряда.

Поскольку напряженность и потенциал поля зависят только от расстояния, расписывая градиент в сферических координатах, получим выражение для потенциала поля точечного заряда:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.102)

Для поля, создаваемого системой зарядов, справедлив принцип суперпозиции, значит потенциал системы зарядов можно найти простым суммированием:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.103)

Для произвольных зарядов удобней использовать формулу через плотность заряда, где суммирование можно заменить интегрированием по объему:

$Undefined~formula$ формулы (2.4.104)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление