Определение квадратного уравнения
[править]
Квадратное уравнение — это уравнение, содержащее
, то есть
(так как если
, то это линейное уравнение)
Примеры квадратных уравнений
[править]
,
,
,
,
.
Иногда квадратными называются уравнения, элементарно приводимые к виду
. Например,
приводится к
,
приводится к
,
приводится к
, что приводится к
.
Решение квадратных уравнений
[править]
- Приведём уравнение к виду
, воспользовавшись правилом переноса слагаемого
- Находим дискриминант

- В зависимости от знака дискриминанта:
— вещественных корней нет; существуют два сопряжённых комплексных корня: 
— один вещественный корень (два совпадающих корня): 
— два различных вещественных корня: 
Решить уравнение:
.
- Решение
Для начала приведём уравнение к виду
, воспользовавшись правилом переноса слагаемого:
.
Вычислим дискриминант:
Применим формулу, получим:
- Ответ
.
Решить уравнение:
.
- Решение
Вычисляем дискриминант:
.
Значение дискриминанта получилось отрицательным, и вещественных корней уравнение иметь не будет.
- Ответ
- Нет вещественных корней.
Решить уравнение:
.
- Решение
Вычисляем дискриминант:
.
Значение дискриминанта равно 0, значит у данного уравнения будет ровно один действительный корень (так как два действительных значения совпадают). По формуле получаем:
.
- Ответ
.
Решить уравнение:
.
- Решение
Попробуем не вычислять дискриминант, а воспользоваться готовой формулой:
- Ответ
.
Решить квадратное уравнение с параметрами:
, относительно a.
- Решение
Делить на 0 нельзя, поэтому устанавливаем ограничение:
≠
Вычисляем дискриминант:
.
Далее варианты в зависимости от b:
1) b= 0. Срабатывает ограничение
≠
2) b> 0 и b<0 . Тогда решение продолжается.
Решим уравнение относительно b,
Далее варианты в зависимости от D:
1) При
, решений нет
2) При
, единственный корень
3) При
, 2 корня