Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Дискримина́нт многочлена
p
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
.
.
.
+
a
n
x
n
{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}
D
(
p
)
=
a
n
2
n
−
2
∏
i
<
j
(
α
i
−
α
j
)
2
{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
n
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}
расширении основного поля, в котором они существуют.Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения , в котором берутся корни.
D
(
p
)
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
a
n
R
(
p
,
p
′
)
{\displaystyle D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p')}
R
(
p
,
p
′
)
{\displaystyle R(p,p')}
результант многочлена
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
p
′
(
x
)
{\displaystyle p'(x)}
В частности, дискриминант многочлена
p
(
x
)
=
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
…
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}
равен, с точностью до знака, определителю следующей
(
2
n
−
1
)
×
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)}
матрицы :
1
a
n
−
1
{\displaystyle a_{n-1}}
a
n
−
2
{\displaystyle a_{n-2}}
.
.
.
a
0
{\displaystyle a_{0}}
0
.
.
.
0
0
1
a
n
−
1
{\displaystyle a_{n-1}}
a
n
−
2
{\displaystyle a_{n-2}}
.
.
.
a
0
{\displaystyle a_{0}}
0
.
.
0
0
0
1
a
n
−
1
{\displaystyle a_{n-1}}
a
n
−
2
{\displaystyle a_{n-2}}
.
.
.
a
0
{\displaystyle a_{0}}
0
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
0
1
a
n
−
1
{\displaystyle a_{n-1}}
a
n
−
2
{\displaystyle a_{n-2}}
.
.
.
a
0
{\displaystyle a_{0}}
n
{\displaystyle n}
(
n
−
1
)
a
n
−
1
{\displaystyle (n-1)a_{n-1}}
(
n
−
2
)
a
n
−
2
{\displaystyle (n-2)a_{n-2}}
.
.
a
1
{\displaystyle a_{1}}
0
0
.
.
.
0
0
n
{\displaystyle n}
(
n
−
1
)
a
n
−
1
{\displaystyle (n-1)a_{n-1}}
(
n
−
2
)
a
n
−
2
{\displaystyle (n-2)a_{n-2}}
.
.
a
1
{\displaystyle a_{1}}
0
0
.
.
0
0
0
n
{\displaystyle n}
(
n
−
1
)
a
n
−
1
{\displaystyle (n-1)a_{n-1}}
(
n
−
2
)
a
n
−
2
{\displaystyle (n-2)a_{n-2}}
.
.
a
1
{\displaystyle a_{1}}
0
0
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
0
n
{\displaystyle n}
(
n
−
1
)
a
n
−
1
{\displaystyle (n-1)a_{n-1}}
(
n
−
2
)
a
n
−
2
{\displaystyle (n-2)a_{n-2}}
.
.
a
1
{\displaystyle a_{1}}
0
0
0
0
0
0
0
n
{\displaystyle n}
(
n
−
1
)
a
n
−
1
{\displaystyle (n-1)a_{n-1}}
(
n
−
2
)
a
n
−
2
{\displaystyle (n-2)a_{n-2}}
.
.
a
1
{\displaystyle a_{1}}
Дискриминант D квадратного трёхчлена
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
D
>
0
{\displaystyle D>0}
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
;
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}};}
при
D
=
0
{\displaystyle D=0}
x
=
−
b
2
a
;
{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}};}
при
D
<
0
{\displaystyle D<0}
комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
x
1
,
2
=
−
b
±
i
4
a
c
−
b
2
2
a
.
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}.}
Дискриминант многочлена
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}
−
4
a
1
3
a
3
+
a
1
2
a
2
2
−
4
a
0
a
2
3
+
18
a
0
a
1
a
2
a
3
−
27
a
0
2
a
3
2
.
{\displaystyle -4a_{1}^{3}a_{3}+a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{0}a_{2}^{3}+18a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}-27a_{0}^{2}a_{3}^{2}.}
В частности, дискриминант многочлена
x
3
+
p
x
+
q
{\displaystyle x^{3}+px+q}
формуле Кардано ) равен
−
27
q
2
−
4
p
3
{\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}}
