Основы алгебры/Дискриминант

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
< Основы алгебры(перенаправлено с «Дискриминант»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Определение дискриминанта[править]

Дискримина́нт многочлена , есть произведение

, где  — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Свойства[править]

  • Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
  • Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
  • , где  — результант многочлена и его производной .
    • В частности, дискриминант многочлена
равен, с точностью до знака, определителю следующей -матрицы:
1 . . . 0 . . . 0
0 1 . . . 0 . . 0
0 0 1 . . . 0 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 1 . . .
. . 0 0 . . . 0
0 . . 0 0 . . 0
0 0 . . 0 0 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 . . 0
0 0 0 0 0 0 . .

Примеры[править]

  • Дискриминант D квадратного трёхчлена равен . При корней — два, и они вычисляются по формуле
    (1)
  • при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
  • при вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
  • Дискриминант многочлена равен
  • В частности, дискриминант многочлена (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен .