Комплексные числа

Материал из Викиучебника
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Какие числа бывают[править]

Complex1.jpg

Прежде, чем изучать новые, комплексные числа, давайте вспомним числа, которые мы знаем. Самые простые числа — это натуральные, они обозначаются буквой \,\! \mathbb{N} :

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

С помощью этих чисел мы считаем разные объекты. Натуральные числа мы можем складывать и умножать. Целые числа, обозначаемые \,\! \mathbb{Z} , расширяют множество натуральных чисел — добавляют нуль и отрицательные числа. Наличие отрицательных чисел позволяет нам вычитать любое число из любого, тогда как «живя» в натуральных числах, при вычитании мы должны были всегда следить, чтобы из большего вычиталось меньшее. Вот примеры целых чисел:

\,\! 0, 1,-1, 2, -2, 3, -3, \ldots

Чтобы рассматривать части целого (например, три восьмых от пирога), были придуманы дробные числа \,\! \mathbb{Q} . Их также называют рациональными:

\,\! 
\frac{3}{8}, \; -\frac{7}{2},\; \frac{1}{2},\; -\frac{2}{3} \; \ldots

Кроме сложения, вычитания, умножения рациональные числа можно делить друг на друга и снова получать рациональное число (конечно, на ноль делить при этом нельзя). Следующее множество чисел, расширяющее множество рациональных чисел — это действительные (вещественные) числа \,\!\mathbb{R}.

Задача 1[8] Задача Архимеда[править]

Докажите, что существуют иррациональные числа.

Complex2.jpg

Рисунок 1. Длина диагонали единичного квадрата иррациональна

Решение.

Замечание: этот подход не является строгим в современном смысле. Нужно дать определение вещественных чисел и доказать, что среди них вообще существуют иррациональные числа. Например, в Фихтенгольце это делается с помощью Дедекиндового сечения, а уж потом доказывается, что корень из двух является примером такого числа.

Точнее эта задача звучит так: докажите, что есть отрезки, длина которых не является рациональным числом. Рассмотрим диагональ единичного квадрата. По теореме Пифагора, квадрат её длины есть

\,\! c^2=1^2+1^2=2,

то есть

\,\! c=\sqrt{2}.

Докажем, что это число не рационально. Пусть это не так (применяем метод доказательства от противного). Тогда есть такие натуральные числа \,\! m и \,\! n , что

\,\! \sqrt{2} = \frac{m}{n}

— несократимая дробь. Возведем равенство в квадрат и умножим на \,\! n^2 :

\,\! 2 = \frac{m^2}{n^2},
\,\! 2 n^2 = m^2.

Отсюда следует, что \,\! m четное, то есть \,\! m = 2 m_1 , где \,\! m_1 какое-то натуральное число. Получаем:

\,\! 2 n^2 = (2m_1)^2,
\,\! 2 n^2 = 4 m_1^2,
\,\! n^2 = 2 m_1^2.

Из последнего уравнения следует, что \,\! n тоже четное число. Итак, мы получили, что \,\! m и \,\! n четные числа. Но вначале мы предположили, что \,\!  \frac{m}{n} несократимая дробь. Таким образом, получили противоречие. А значит, наше предположение, что существуют натуральные \,\! m и \,\! n такие, что

\,\! \sqrt{2}=\frac{m}{n},

неверно. Конец решения.

Действительные числа очень обширны, с их помощью можно описывать любое количество вещества, любой объём жидкости, длину любого отрезка. Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить (только на ноль делить нельзя). Кроме того, можно брать корни из неотрицательных чисел и вычислять самые разные функции, например, синус, косинус, экспоненту и др. Действительные числа можно представлять в виде направленной прямой с выделенной точкой \,\! O . Точке \,\! O соответствует число \,\! 0 . Справа находятся положительные числа, а слева — отрицательные. Такое представление называется «числовой осью»: Complex3.jpg

Задача 2[8][править]

а) Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональна? Если да, то приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых рациональна.

б) Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых иррациональна. Докажите, что сумма действительно иррациональна.

Решение

а) \,\! (1-\sqrt{2})+\sqrt{2}=1 ;

б) \,\! \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2} .

Задача 3[9][править]

Докажите, что следующие числа не рациональны

а) \,\! 2\sqrt{2} ; б) \,\! 2\sqrt{2}+1 ; в) \,\! \sqrt{2}+\sqrt{3} ;

г) \,\! \sqrt{7} ; д) \,\! \sqrt[3]{3} ; е) \,\! \sqrt[3]{2}+\sqrt{3} .

Решение:

а) если \,\! 2\sqrt{2} рационально, то и \,\! \sqrt{2} рационально, а это не так;

б) так же, как и в а);

в) возведите число в квадрат, и докажите, что результат не рационален.

г) аналогично доказательству иррациональности \,\! \sqrt{2} ; из \,\! \sqrt{7}=m/n следует, что и \,\! m и \,\! n делятся на \,\! 7 ;

Кроме корней натуральных чисел и, вообще, корней различных многочленов с целочисленными коэффициентами действительные числа содержат бесконечное множество трансцендентных чисел. Например, число \,\! \pi , равное половине длины единичной окружности, является трансцендентным числом. Число \,\! \sqrt{2}^{\sqrt{2}} также является трансцендентным. Трансцендентные числа — это числа, которые не являются корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Доказательство того, что есть трансцендентные числа, довольно сложное и мы углубляться в эту тему не будем.

Суть в том, что действительные числа содержат все возможные длины — какой бы кусочек веревки вы не отрезали, длина его всегда будет действительным числом. Действительные числа представляют собой полноценный набор чисел, которого, кажется, должно хватить для любых нужд. Но это не так. Существует ещё одно расширение чисел — комплексные числа. В комплексных числах можно брать корни из отрицательных чисел. Комплексные числа хороши ещё тем, что любой многочлен имеет среди этих чисел корень. Например, уравнения

\,\! x^2+1=0, \quad x^2-2x+2=0,\quad x^6+10 = 0

не имеют корней в действительных числах, зато в комплексных числах имеют.

Что такое комплексные числа?[править]

Знакомство с мнимой единицей \,\! i = \sqrt{-1} [править]

Число \,\! i=\sqrt{-1} называется мнимой единицей. Можно рассматривать мнимую единицу как формальный объект, который имеет следующее свойство:

\,\! i^2=-1.

Complex4.jpg

Рисунок 2. Комплексная плоскость. Каждая точка на плоскости соответствует комплексному числу. Координаты \,\! a и \,\! b соответствуют действительной и мнимой части комплексного числа.

Примеры вычислений с мнимой единицей:

  • \,\! i^3=(i)^2\cdot i = (-1)\cdot i = -i ;
  • \,\! i^4=\left(i^2\right)^2 = (-1)^2 = 1 ;
  • \,\! 3\cdot(2+i)=3\cdot 2 + 3\cdot i=6+3i ;
  • \,\! (1+i)^2=1^2+2\cdot 1 \cdot i + i^2 = 1+2i+(-1)=2i .

Задача 4[8][править]

Вычислите следующие выражения:

а) \,\! (1-i)^2 ;

б) \,\! i^5  ;

в) \,\! (1 + \sqrt{3}i)^2 ;

г) \,\! (2 - 3i)(2+3i)  ;

д) \,\! (1 + \sqrt{3}i)^3 ;

е) \,\! (\sqrt{3}+i)^3 .

Решение

а) \,\! -2i  ;

б) \,\! i ;

в) \,\! 2(-1 + \sqrt{3}i) ;

г) \,\! 13 ;

д) \,\! -8 ;

е) \,\! 8i .

Определение 1

Комплексные числа \,\! \mathbb{C}  — это пара \,\! (a,b) действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число \,\!z =(a,b) записывают как

\,\! z=a+b\cdot i,

Число \,\! a называется действительной частью числа \,\! z , а число \,\! b  — мнимой частью числа \,\! z . Их обозначают \,\! Re\ z и \,\! Im\ z соответственно:

\,\! a =  Re\ z, \quad b=  Im\ z.

Таким образом, комплексное число задается двумя действительными числами. Если интерпретировать эти числа как декартовы координаты, то получим естественное соответствие комплексных чисел и точек на плоскости (рис. 2).

Если в случае действительных чисел мы имели числовую прямую, то в случае комплексных чисел получаем числовую плоскость, которая называется комплексной плоскостью.

Задача 5[8][править]

Вычислите:

а) \,\! (-i)^2 ;

б) \,\! (2+3i)+(7-i) ;

в) \,\! (2+3i)(7-i) ;

г) \,\! (1+i)(1-i) ;

д) \,\! (2-3i)(3+2i) ;

е) \,\! (3+4i)(3-4i) .

Решение

а) \,\! -1 ;

б) \,\! 9+2i ;

в) \,\! 17+19i ;

г) \,\! 2 ;

д) \,\! 12-5i ;

е) \,\! 9+16=25 .

Задача 6[9][править]

Вычислите:

а) \,\! (1+i)(\sqrt{3}+i) ;

б) \,\! (\sqrt{3}+i)(1+\sqrt{3}i) ;

в) \,\! (\sqrt{3}-i)^3 ;

г) \,\! (1- \sqrt{3}i)^6 ;

д) \,\! (1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i) ;

Решение:

а) \,\! -1+\sqrt{3} + (1+\sqrt{3})i ;

б) \,\! 4i ;

в) \,\! -8i ;

г) \,\! 64 ;

д) \,\! 4 ;

Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются так, как если бы мнимая единица \,\! i была переменной (а комплексные числа — многочленами от этой переменной), при этом \,\! i^2=-1 .

Задача 7[9][править]

Докажите, что любой многочлен от \,\! i можно свести к линейному двучлену a+b\cdot i .

Задача 8[8][править]

Вычислите: а) \,\! (1+i)^2 ; б) \,\! (1+i)^{10} ; в) \,\! (1-i)^{101} .

Решение

а) \,\! 2i ;

б) \,\! 2^5i ;

в) \,\! 2^{50}(i-1) .

Задача 9[8][править]

Найдите комплексное число \,\! z такое, что

а) \,\! z(1+i)=1 ; б) \,\! z(2+i)=1-i ; в) \,\! z(2+3i)=3-2i ; г) \,\! z(1+i)=3+4i .

Подсказка

Пусть

\,\! z=a+b\cdot i . Тогда из \,\! z(1+i)=1

следует

\,\! (a+b\cdot i)(1+i)=1,
\,\! a+b\cdot i + a\cdot i - b =1,
\,\! (a-b)+(a+b)\cdot i =1+0\cdot i.

Задача 10[9][править]

Найдите два комплексных числа, сумма и произведение которых равны 2.

Задача 11[9][править]

Найдите сумму \,\! 1+i+i^2+\ldots+i^{100} .

Решение: \,\! 1 .

Подсказка:

Чему равны частичные суммы \,\! 1+i , \,\! 1+i+i^2 , \,\! 1+i+i^2+i^{3} , \,\! 1+i+i^2+i^3+i^4 ?

Задача 12[9][править]

Найдите \,\! (1+i\sqrt{3})^{30} .

Решение: \,\! 2^{30} .

Подсказка:

Чему равно \,\! (1+i\sqrt{3})^3 ?

Задача 13[9][править]

Найдите все \,\! z=a+bi , для которых верно равенство \,\! z^3=1 .

Решение:

\,\! 1 , \,\!  -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i , \,\!  -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i .

Подсказка:

\,\! (-1+\sqrt{3}i)^3-8 .


Задача 14[8][править]

Проверьте правильность следующих утверждений:

а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.

б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.

в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.

г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.

Задача 15[8][править]

Найдите число \,\! z , квадрат которого есть чисто мнимое число.

Решение

\,\! 1+i , \,\! 1-i .

Задача 16[8][править]

Найдите число \,\! z , отличное от \,\! 2 и \,\! -2 , такое, что \,\! z^4=16 .

Решение

\,\! 2i и \,\! -2i .

Задача 17[9][править]

Найдите число, отличное от \,\! -2 , куб которого равен \,\! -8 .

Решение

\,\! 1+\sqrt{3}i и \,\! 1-\sqrt{3}i .

Задача 18[10][править]

Найдите (отметьте) на комплексной плоскости все числа \,\! z=a+b\cdot i , квадрат которых равен

a) чисто мнимому числу;

б) действительному числу;

в) действительному положительному числу.

Решение:

а) \,\! | Re\ z|=| Im\ z|  — две пересекающиеся прямые \,\! a=b , \,\! a=-b ;

б) \,\!  Im\ z=0 или \,\!  Re\ z =0  — две пересекающиеся прямые \,\! a=0 , \,\! b=0 ; в) \,\!  Im\ z=0  — одна прямая \,\! b=0 .

Cопряженные числа. Модуль. Деление[править]

Cопряженные числа[править]

Определение 3

Пусть

\,\! z=a+b\cdot i.

Тогда число

\,\! \overline{z}=a-b\cdot i

называется комплексно-сопряженным или просто сопряженным к числу \,\! z .

Комплексное число \,\! z и комплексно-сопряженное к нему число \,\! \overline{z} отличаются знаком мнимой части, действительная часть у них одинаковая:

\,\! Re(z)= Re (\overline{z}), \quad Im(z) = -  Im (\overline{z}).

Задача 19[7][править]

Докажите, что \,\! (a-b)(a+b)=a^2-b^2 .

Задача 20[8][править]

Найдите, чему равны выражения а) \,\! z+\overline{z} ;

б) \,\! z-\overline{z} ; в) \,\! z\cdot \overline{z} для \,\! z=3+4i .

Решение

а) \,\! 6 ; б) \,\! 8i ; в) \,\! 25 .

Задача 21[9][править]

Докажите тождества:

\,\! \overline{z+w} = \overline{z}+\overline{w} и \,\! \overline{z\cdot w} = \overline{z}\cdot\overline{w}.

Задача 22[9][править]

Докажите, что

\,\! \overline{z^n} = (\overline{z})^n.

Подсказка Используйте задачу 21 и метод математической индукции.

Задача 23[9][править]

Пусть \,\! P(z)  — многочлен от \,\! z . Докажите, что

\,\! P(\overline{z}) = \overline{P(z)}.

Задача 24[8][править]

Докажите, что числа \,\! z+\overline{z} и \,\! z\cdot \overline{z} действительные.

Задача 25[9][править]

Докажите, что многочлен от \,\! z равный

\,\! (z-z_0)(z-\overline{z_0}),

где \,\! z_0  — произвольное комплексное число, имеет действительные коэффициенты (если раскрыть скобки и привести подобные).

Задача 26[9][править]

Докажите, что если комплексное число \,\! z_0 является корнем трехчлена \,\! ax^2+bx+c , где \,\! a , b и \,\! c — действительные числа, то \,\! \overline{z_0} тоже является корнем.

Задача 27[9][править]

Вычислите число \,\! (1+i)^{10}\cdot \overline{(1+i)^{10}} .

Решение

\,\! 2^{10} .

Задача 28[9][править]

Найдите целые \,\! a и \,\! b такие, что

а) \,\! (1+\sqrt{2})^3=a+b\sqrt{2} ; б) \,\! (1-\sqrt{2})^3=a+b\sqrt{2} . Как отличаются ответы для а) и б)?

Задача 29[9][править]

Найдите целые \,\! a и \,\! b такие, что

а) \,\! (1+2i)^3=a+bi ; б) \,\! (1-2i)^3=a+bi . Как отличаются ответы для а) и б)?

Задача 30[9][править]

Даны числа \,\! \alpha=4-2\sqrt{3} и \,\! \beta = 4+2\sqrt{3} . Докажите, что \,\! \alpha\beta , \,\! (\alpha + \beta) , \,\! \alpha^n+\beta^n целые числа при натуральном \,\! n . Найдите \,\! \alpha^3+\beta^3 .

Решение

\,\! \alpha^3+\beta^3 = 2(4^3+3\cdot4\cdot(2\sqrt{3})^2)=416 . Подсказка При решении можно использовать формулу

\,\! (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.

Чему равно \,\! (a+b)^3+(a-b)^3 ?

Задача 31[9][править]

Число \,\! (1+\sqrt{3})^3+(1-\sqrt{3})^3 целое. Найдите его.

Решение

\,\! 20 .

Задача 32[9][править]

Число \,\! (1+\sqrt{3}i)^3+(1-\sqrt{3}i)^3 целое. Найдите его.

Решение

\,\! -16 .

Задача 33[9][править]

Даны два действительных числа \,\! \alpha и \,\! \beta такие, что \,\! \alpha\beta и \,\! (\alpha + \beta)  — целые числа. Докажите, что \,\! \alpha^n+\beta^n будет целым числом при любом натуральном \,\! n .

Задача 34[9][править]

Даны два комплексных числа \,\! \alpha и \,\! \beta такие, что \,\! \alpha\beta и \,\! (\alpha + \beta) действительные числа. Докажите, что \,\! \alpha^n+\beta^n будет действительным числом при любом натуральном \,\! n .

Задача 35[8][править]

Покажите, что

\,\! z \cdot \overline{z} = a^2+b^2.

Модуль[править]

Определение 4

Пусть \,\! z=a+b\cdot i . Модулем комплексного числа \,\! z называется число

\,\! |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\cdot \overline{z}}

— длина отрезка \,\! Oz на комплексной плоскости.

Посмотрите на рисунок 2. Модуль числа \,\! |z|  — это длина отрезка \,\! Oz .

\,\! |z|^2 = z\cdot \overline{z}=a^2+b^2.

Модуль комплексного числа есть неотрицательное действительное число. Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю.

Задача 36[8][править]

Домножьте на сопряженные следующие числа а) \,\! 1+i ; б) \,\! -1-i ; в) \,\! 2-3i ; г) \,\! -3i ;

д) \,\! -3 ;

е) \,\! i(a+b\cdot i) .

Задача 37[9][править]

Докажите тождество \,\! (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 . Подсказка Пусть \,\! z=a+b\cdot i , \,\! w=c+d\cdot i . Запишите равенство

\,\!  (z\overline{z})\cdot (w\overline{w})=(zw)(\overline{zw}),

которое соответствует равенству

\,\! |z|^2\cdot |w|^2=|zw|^2.

Таким образом, утверждение последней задачи равносильно следующему утверждению:

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей.

Деление[править]

Идея домножения на сопряженное помогает нам определить операцию деления комплексных чисел. Рассмотрим деление на примере:

\,\! \frac{1-i}{2+3i}=?

Умножим и числитель и знаменатель на одно и то же число \,\! 2-3i (это число, сопряженное знаменателю). Получим:

\,\! 
\frac{(1-i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{2-3i-i(2-3i)}{2^2-(3i)^2}=
\frac{2-3i-2i+3\cdot i^2}{4+9}= \frac{2-3i-2i-3}{13} =
\frac{-1-5i}{13}
.

В знаменателе стоит \,\! (2+3i)(2-3i)=2^2-(3i)^2=2^2+3^2=4+9=13  — действительное число. Разделить комплексное число на действительное не сложно: нужно просто действительную и комплексную часть разделить на это число. Получаем:

\,\! \frac{1-i}{2+3i}=-\frac{1}{13}-\frac{5}{13}i.

Алгоритм деления на комплексное число аналогичен алгоритму избавления от иррациональности в знаменателе. Например:

\,\! \frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}
=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}.

При делении комплексных чисел \,\!  \frac{v}{w} нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю. Тогда в знаменателе окажется действительное число \,\! w\overline{w} — на него мы делить умеем:

\,\! \frac{v}{w}=\frac{v\overline{w}}{w\overline{w}}=\frac{v\overline{w}}{|w|^2}.

Абстрактный подход[править]

Комплексные числа можно рассматривать как множество пар \,\! (a,b) действительных чисел, на котором специальным образом определены операция сложения, умножения и деления. Паре \,\! (a,b) соответствует число \,\! a+b\cdot i . Операция сложения на этих парах определяется очевидным образом — надо просто сложить соответствующие элементы пар:

\,\! (a_1,\; b_1)+(a_2,\; b_2) =(a_1 + b_1 \cdot i)+(a_2 + b_2\cdot i) = (a_1+ a_2) + (b_1 + b_2)\cdot i = ( a_1+ a_2,\;\; b_1 + b_2 ).

Найдем, как определяется умножение для этих пар:

\,\! (a_1,\; b_1)\times (a_2,\; b_2) =(a_1 + b_1 \cdot i)\times (a_2 + b_2\cdot i) = a_1\cdot a_2 + a_1\cdot b_2\cdot i + b_1\cdot a_2\cdot i + b_1\cdot b_2\cdot (i)^2 = (a_1\cdot a_2 - b_1\cdot b_2) + (a_1\cdot b_2 + b_1\cdot a_2)\cdot i = (a_1\cdot a_2 - b_1\cdot b_2, \;\; a_1\cdot b_2 + b_1\cdot a_2).

Таким образом, мы можем дать такое определение комплексным числам:

Определение 5

Комплексные числа — это множество пар действительных чисел, на которых определены операции сложения « \,\! + » и умножения « \,\! \times » по следующим правилам:

\,\! (a_1,\; b_1)+(a_2,\; b_2) = (a_1+a_2,\;\; b_1+b_2)
\,\! 
(a_1,\; b_1)\times (a_2,\; b_2) = (a_1\cdot a_2 - b_1\cdot b_2, \;\; a_1\cdot b_2 + b_1\cdot a_2).

Задача 38[9][править]

Покажите, что а) \,\! (0,\;1)\times (0,\;1) = (-1,\; 0) ; б) \,\! (1,\;0)\times (c,\;d) = (c,\; d) ; в) \,\! (a,\;0)\times (b,\;0) = (ab,\;0) ; г) \,\! (a,\;0)\times (c,\;d) = (ac,\;ad) ; д) \,\! (0,\;b)\times (0,\;a) = (-ab,\;0) .

Такой подход к определению комплексных чисел требует доказательства многих фактов, которые в предыдущей части (когда мы \,\! i рассматривали как некоторую переменную, для которой выполнено \,\! i^2=-1 ) были очевидны.

Задача 39[10][править]

Пусть \,\! z , \,\! w , \,\! v комплексные числа. Докажите, что верны следующие свойства:

\,\! z \times w = w\times z (коммутативность умножения),

\,\! (z\times w) \times v = z\times (w \times v) (ассоциативность умножения), \,\! (z+w) \times v = (z \times v) + (w\times v)  (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Вычитание определяется очевидным образом:

\,\! (a_1,\; b_1)-(a_2,\; b_2) = (a_1-a_2,\;\; b_1-b_2).

Определить операцию деления несколько сложнее. Деление — это операция обратная к умножению. Следующая теорема утверждает корректность операции деления.

Теорема 1 (О существовании деления)

Пусть даны два комплексных числа \,\! v=a+b\cdot i \ne 0 и \,\! w=c+d\cdot i . Тогда уравнение

[1]
\,\! z\times v = w

относительно \,\! z имеет ровно одно решение.

Это решение обозначим как частное:

\,\! \frac{w}{v}.

В принципе, мы уже научились делить в предыдущей части — нужно просто числитель и знаменатель умножить на сопряженное, после чего в знаменателе будет действительное положительное число, равное квадрату модуля знаменателя. Это значит, что хотя бы одно решение у уравнения [1] точно есть. Чтобы показать единственность решения, применим метод доказательства от противного. Пусть у нас есть два решения уравнения [1]:

\,\! z_1\times v = w,
\,\!  z_2\times v = w,

где \,\! z_1\ne z_2 . Тогда после вычитания одного уравнения из другого получим

\,\! (z_1-z_2)\times v = 0.

Но мы знаем, что модуль произведения равен произведению модулей. Оба множителя, \,\! (z_1-z_2) и \,\! v , не равны нулю, значит их модули не равны нулю, значит их произведение не может быть равно нулю, так как модуль произведения равен произведению модулей. Поэтому последнее равенство не может быть верным, и не может быть два разных решения у уравнения [1]. Есть другой подход к доказательству этой теоремы. Пусть

\,\! z=(x,\;y),
\,\!  w=(a,\;b),
\,\!  v=(c,\;d).

Распишем \,\! z\times v = w подробно:

\,\! (x,\;y)\times(a,\;b)=(c,\;d),
\,\! (xa - y b,\; xb+ya)=(c,\;d).

Последняя строчка соответствует системе из двух уравнений:

\,\! \left\{\begin{matrix}x a - y b  = c,\\ x b + y a  = d.\end{matrix}\right.

Когда эта система имеет решение? Умножим первое уравнение на \,\! a , а второе — на \,\! b :

\,\! x a^2 - y ab  = ca,
\,\! x b^2 + y ab  = db.

И сложим их:

\,\! x (a^2 + b^2)  = ca+db,
\,\! x = \frac{ca+db}{a^2+b^2}.

Задача 40[10][править]

Покажите, что

\,\! y = \frac{da-cb}{a^2+b^2}.

Как видите, \,\! x и \,\! y определяются вполне однозначно, если \,\! a^2+b^2\ne 0 , то есть когда комплексное число \,\! v\ne 0 . Это и означает, что любое комплексное число можно делить на любое другое, не равное \,\! 0 , комплексное число.

Геометрическая интерпретация[править]

В этой части мы будем изучать различные геометрические свойства комплексных чисел: преобразования комплексной плоскости, множества на комплексной плоскости, геометрическую интерпретацию сложения и умножения. Итак, комплексные числа образуют плоскость. Координатные оси на этой плоскости соответствуют действительной и мнимой части комплексного числа. Два числа — действительная часть a (Re\ 
z) и мнимая часть b (Im\  z) — определяют комплексное число на комплексной плоскости.

Преобразования комплексной плоскости[править]

Поговорим о том, какие преобразования плоскости соответствуют различным операциям с комплексными числами.

Задача 41[8][править]

Какое преобразование плоскости переводит z в 2z?

Решение

При этом преобразовании и действительная, и мнимая части увеличиваются в два раза. Число (1+i) переходит в (2+2i), число (-i) переходит в (-2i). Все числа удаляются от точки O — они становятся в два раза дальше от неё, но при этом остаются в том же направлении, что и до преобразования. Комплексная плоскость как бы растягивается в два раза относительно точки O. Смотрите рисунки 3 и 4.

Примечание Это преобразование называется гомотетией относительно точки O с коэффициентом 2. Гомотетия с коэффициентом 1/2 будет сжимать плоскость в два раза относительно центра.

Задача 42[9][править]

Какое преобразование плоскости

а) переводит z в z/2?

б) переводит z в z+1?

в) переводит z в \overline{z}?

г) переводит z в -z?

д) переводит z в -\overline{z}?

е) переводит z в i\cdot z?

ж) переводит z в -i\cdot z?

Используйте рисунки 3—8.

Complex5.jpg Complex6.jpg Complex7.jpg
Рис. 3. Гомотетия растягивающая: z\mapsto 2z. Рис. 4. Гомотетия сжимающая: z \mapsto z/2. Рис. 5. Векторный перенос: z \mapsto z + w, w=2+i.

Задача 43[9][править]

На плоскости задано две системы координат: xOy и x'Oy'. Система координат x'Oy' повернута относительно xOy на 45° по часовой стрелке. Найдите, как по координатам x и y некоторой точки A определить её координаты x' и y'.

Подсказка

Заметьте, что если мы точку A удалим от точки пересечения координат O так, что x и y увеличатся в два раза, то и координаты x' и y' увеличатся в два раза. Отсюда сразу следует, что

x'= ax+by,
y'= cx+dy,

где a, b, c и d — некоторые вещественные числа. Осталось подобрать их. Рассмотрим точки с координатами (x,y) равными (1,0), (0,1), (-1,0), (0,1). Какие координаты (x',y') им соответствуют?

Примечание

Эту задачу можно интерпретировать по-другому: У нас есть одна единственная система координат. Мы осуществляем поворот всей плоскости против часовой стрелки на 45° относительно точки O, при этом оси координат xOy остаются на месте. Все точки плоскости, кроме точки O(0,0) переместились. Пусть точка (x,y) переместилась в точку с координатами (x',y'). Найдите зависимость (x',y') от (x,y).

Complex8.jpg Complex9.jpg Complex10.jpg
Рис. 6. z \mapsto  i \cdot z. Рис. 7. z \mapsto \overline{z}. Рис. 8. z \mapsto -z.

Задача 44[9][править]

Какое преобразование плоскости переводит z в:

а) z(1+i)/\sqrt{2};

б) z(1-i)/\sqrt{2};

в) z(1-\sqrt{3}i)/2?

Подсказка Докажите, что модуль z (расстояние от z до центра O) при преобразованиях не меняется. Эти преобразования — повороты. Какие именно?

Задача 45[9][править]

Запишите формулу z\mapsto f(z) для симметрии относительно

а) мнимой оси;

б) прямой Im\  z = Re\  z.

Задача 46[9][править]

Запишите формулу z\mapsto f(z) для симметрии относительно точки {w=2+i}.

Решение

Подсказка Докажите, что искомое преобразование имеет вид f(z) = v-z, где v какое-то комплексное число и учтите, что f(w)=w.

Задача 47[10][править]

Запишите формулу симметрии относительно прямой, проходящей через O под углом \alpha к действительной оси.

Решение

Обозначим e^{\alpha i}=\cos \alpha + i \sin \alpha. Умножение на это число соответствует повороту. Симметрию относительно прямой, направленной под углом \alpha к действительной оси можно представить как последовательность поворота на -\alpha), потом симметрии относительно действительной оси, а потом поворота на \alpha: z\mapsto
e^{\alpha i}(\overline{e^{-\alpha i}z})=e^{2\alpha i}(\overline{z})=
(\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha)(a-bi).

Множества на комплексной плоскости и уравнения[править]

Задача 48[9][править]

Найдите (нарисуйте) множество точек (комплексных чисел) на комплексной плоскости, для которых верно равенство

z \overline{z}=1.

Задача 49[9][править]

Чему равно расстояние на комплексной плоскости между числами z и w (запишите это число как функцию от z, w, \overline{z}, \overline{w})?

Решение

|z-w|.

Задача 50[9][править]

Запишите уравнение на комплексное число z, решением которого является круг на комплексной плоскости с центром 1+2i и радиусом 2.

Задача 51[9][править]

Где находятся комплексные числа z, для которых

а) |z-1|=1;

б) i z = 1+i;

в) z=\overline{z};

г) z\overline{z}=4;

д) z+\overline{z}=z\overline{z};

е) |z-1|=|z+1| ?

Задача 52[9][править]

Параметр t пробегает все действительные числа. Какое множество на комплексной плоскости пробежит число z, если

а) z=(1+i)t\,;

б) z=(1+i\cdot t)^2;

д)  z=\frac{1}{1+i t};

е)  z=\frac{i}{1-i t};

ж)  z=\frac{1+i t}{1 t};

з)  z=\frac{1+i t}{1-i t};

и)  z=\frac{i t}{1-i t};

к)  z=\frac{t}{1+i t}

Решение

Пусть z=x+yi.

а) прямая x=y;

б) парабола;

в) парабола — то же самое что и в предыдущем пункте, только нужно домножить на (-i)^2 (повернуть на 90° и сделать сопряжение (симметрия относительно Ox);

г) прямая x=0.

Подсказка Попробуйте подставить различные значения t, найти соответствующие z и отметить их на комплексной плоскости. Затем нужно соединить их гладкой кривой.

Задача 53[10][править]

Параметр t пробегает все действительные числа. Какое множество на комплексной плоскости пробежит число z, если

а) z=(t+i)(1+i\cdot t);

б) z=(t+i)(1+i\cdot t) + t/100 ?

Решение

Пусть z=x+yi.

а) луч, направленный вниз от точки z=-i, так как z=(t+i)(1+i\cdot t)=-i (t+i)(t-i)=-i |t+i|^2;

б) «худая» парабола, направленная вниз.

Задача 54[9][править]

Докажите, что треугольник с вершинами 0, 1, z подобен треугольнику с вершинами 0, 1, 1/z.

Задача 55[9][править]

Докажите, что отношение двух комплексных чисел равно действительному числу тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой с O.

Задача 56[9][править]

Опишите множество комплексных чисел z, для которых число \frac{z}{z-1} является

а) чисто мнимым;

б) действительным.

Подсказка

а) Алгебраический подход: положите 
\frac{z}{z-1}=i\cdot t , где t — любое действительное число выразите z через t; попробуйте подставить t=0, 1, -1, 2, 10000 и поставить соответствующие z на плоскости.

Геометрический подход: найдите множество чисел z на плоскости, для которых треугольник z, 1, 0 имеет прямой угол при вершине z.

б) Алгебраический подход: положите  \frac{z}{z-1}= t , где t — любое действительное число и выразите z через t.

Геометрический подход: найдите множество чисел z на плоскости, для которых точки z, 1 и 0 лежат на одной прямой.

Тригонометрическое представление[править]

Посмотрите на рисунок 9. Комплексное число однозначно определяется своим модулем (расстоянием до точки O) и углом между Oz и действительной осью — этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается так:

\arg z = \phi.

Complex11.jpg

Рис.9 Комплексное число однозначно определяется своим модулем r и аргументом \phi.

Определение 6

Комплексное число с модулем r и аргументом \phi

мы будем обозначать как
r\cdot e^{i \phi}.

Задача 57[9][править]

Докажите, что действительная и мнимая части числа r\cdot e^{i \phi} равны

a = r \cos \phi, \quad b = r\sin \phi

и

r\cdot e^{i \phi} = r\cdot (\cos \phi + i \sin \phi),
e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi.

Задача 58[9][править]

Запишите в виде a+bi следующие комплексные числа:

а)  e^{\pi i};

б)  e^{-\pi i};

в)  e^{\pi i/2};

г)  2 e^{\frac{\pi}{4}i};

д)  4 e^{-\frac{\pi}{6}i};

е) 6\sqrt{16}.

Задача 59[9][править]

Запишите в виде r \cdot e^{\phi i} (r,\phi \in Re\ , r>0) следующие комплексные числа:

а)  1-i;

б)  -1 + \sqrt{3}i;

в)  -10 - 10i;

г)  111\cdot (\sqrt{3}+i);

д)  (-\cos 25^{\circ} - i \sin 25^\circ);

е)  (\cos 15^{\circ} - i \sin 15^\circ).

Теорема 2

При умножении двух комплексных чисел их модули умножаются а аргументы складываются:

(r_1\cdot e^{i \phi_1})\cdot (r_2\cdot e^{i \phi_2}) = (r_1\cdot r_2)\cdot e^{i(\phi_1+\phi_2)}.

Доказательство теоремы отложим на потом. Посмотрите на рисунок 10, где пояснено содержание теоремы.

Complex12.jpg

Рис. 10. При умножении чисел их модули умножаютcя, a аргументы складываются: |z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot|z_2|, \arg z_1\cdot z_2 = \arg z_1 + \arg z_2

Приведем несколько примеров того, как работает эта теорема:

Пример 1.

i=e^{\frac{\pi}{2}i},
i\cdot i = e^{\frac{\pi}{2}i} \cdot e^{\frac{\pi}{2}i} = e^{i\frac{\pi}{2}+ i\frac{\pi}{2}} = e^{i \pi}.

Пример 2.

(1+i)=\sqrt{2}\cdot e^{\frac{\pi}{4}i}.

Величину (1+i)^2 вычислим двумя способами:

(1+i)\cdot (1+i) = 1+ 2\cdot 1\cdot i + (i)^2 = 2i

и в то же время

(1+i)\cdot (1+i) =  \sqrt{2}\cdot e^{\frac{\pi}{4}i} \cdot \sqrt{2}\cdot e^{\frac{\pi}{4}i} = (\sqrt{2}\sqrt{2}) \cdot e^{\frac{\pi}{4}i +  \frac{\pi}{4}i} = 2 e^{\frac{\pi}{2}i} =2 i.

Как видите, оба метода приводят к одному и тому же результату.

Пример 3.

(\sqrt{3}+i)= 2\cdot e^{i\frac{\pi}{6}}, \quad  i= e^{i\frac{\pi}{2}}.

Величину (\sqrt{3}+i)\cdot i вычислим двумя способами:

(\sqrt{3}+i)\cdot i = \sqrt{3}i +  i^2 = -1 + \sqrt{3}\cdot i

и в то же время

(\sqrt{3}+i)\cdot i =  2\cdot e^{i\frac{\pi}{6}} \cdot e^{i\frac{\pi}{2}} = 2\cdot e^{i\frac{\pi}{6} +  i\frac{\pi}{2}} = 2\cdot e^{i\frac{2\pi}{3}} = 2\cdot (\cos 2\pi/3 + i \sin 2\pi/3) = 2\cdot \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

в итоге снова получаем -1 + \sqrt{3}\cdot i.

Доказательство теоремы 2.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что

(\cos \alpha + i \sin \alpha)\cdot (\cos \beta + i \sin \beta) = \cos (\alpha+\beta)+i \sin(\alpha + \beta).

Это действительно так. Раскрывая левую часть, получим:

\,\!(\cos \alpha \cos \beta - \sin\alpha\sin\beta) + i (\cos \alpha\sin\beta + \cos\beta\sin\alpha).

В скобках стоят формулы для косинуса суммы и синуса суммы.

Примечание Интересна следующая интерпретация комплексных чисел: каждое комплексное число z=r\cdot e^{\phi i} — это преобразование комплексной плоскости, а именно, гомотетия относительно центра O с коэффициентом r и поворот против часовой стрелки на угол \phi. Тогда умножение комплексных чисел соответствует композиции соответствующих преобразований.

Задача 60[10][править]

Найдите чему равно i^{i}.

Решение

e^{-\pi/2}

Задача 61[10][править]

Рассмотрите два уравнения:

 e^{i\phi } = \cos \phi + i \sin \phi,
 e^{-i\phi} = \cos \phi - i \sin \phi.

Выразите из них \cos \phi и \sin \phi

Задача 62[10][править]

Найдите значение \cos( 2i).

Покажите, что это действительное число, большее 1.

Задача 63[10][править]

Найдите

а) z такое, что \cos z = 2 ; б) \arcsin( -2);

в) \arccos( i);

Решение

а)i\ln (2+\sqrt{3});

б) -\pi/2 + i\ln (2+\sqrt{3});

в) \pi/2 + i \ln (\sqrt{2}-1).

Извлечение корней[править]

Возвести число в n-ую степень значит возвести в n-ую степень модуль, а аргумент умножить на n:

z^n = \left(|z|\cdot e^{i\arg z}\right)^n = |z|^n \cdot e^{i n \arg z}.

Это правило следует непосредственно из теоремы 2 предыдущего параграфа.

Задача обратная возведению в n-ую степень — это извлечение корней n-ой степени.

Задача 64[9][править]

Дано уравнение относительно z:

z^n = w, [3]

где w — некоторое комплексное число. Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие этому уравнению.

Complex13.jpg

Рис. 11. Корни уравнений: а) z^{4}=1, б) z^{3}=1, в) z^{10}=1

Прежде, чем решать это общее уравнение, рассмотрим частный случай n=10, w=1:

z^{10} = 1.

Один из корней равен 1, второй равен (-1). Есть ли другие корни? Так как |z^n|=|z|^n, то корни этого уравнения имеют единичный модуль
|z|=1 и лежат на единичной окружности. Комплексные числа, лежащие на единичной окружности, имеют вид:

z = e^{\phi i}.

После возведения в степень имеем:

z^n = e^{n\phi i}.

Осталось найти такие \phi, что

e^{n\phi i}=1.

Последнее равенство верно, когда аргумент n\phi кратен полному углу 2\pi:

n\phi = 2\pi k,
\phi = \frac{2\pi}{n} k.

Получили, что все комплексные числа вида

z_k = e^{k\frac{2\pi}{n}i}, \quad k=0,\;1, \ldots,\; n-1,

являются корнями уравнения z^n=1. Корень z_n совпадает с корнем z_0.

Для n=10 эти числа отмечены на рисунке 11(в).

Задача 65[9][править]

Найдите все корни уравнения z^3=1.

Задача 66[9][править]

Найдите все корни уравнения z^3=-1.

Теперь нетрудно записать общее решение для уравнения [3]. Если  w=\rho e^{\alpha i}, а z=r\cdot e^{\phi i}, то уравнение

z^n=w

можно записать как

r^n\cdot e^{n\phi i }=\rho\cdot e^{\alpha i}.

Числа \rho и r действительны и положительны. Модули правой и левой части должны быть равны, Поэтому

r^n=\rho.

Кроме того, аргументы правой и левой части должны совпадать с точностью до 2\pi, то есть

n\phi = \alpha + k\cdot 2\pi.

Из первого уравнения r определяется однозначно как r=\sqrt[n]{\rho}. Аргумент \phi может иметь n различных значений, которые соответствуют k=0, 1, 2, \ldots, n-1.

Теорема 3.

Уравнение

z^n=w,\quad w\ne 0,

имеет ровно n корней. Первый корень z_0 имеет модуль, равный корню n-ой степени из модуля w, а аргумент — в n раз меньший, чем аргумент w:

|z_0|=\sqrt[n]{|w|}, \quad  \arg z_0 = \frac{\arg w}{n}.

Остальные корни определяются через z_0:

z_k = z_0\cdot e^{k\frac{2\pi}{n}}, \quad k=1,\,2, \ldots, n-1.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Как видите, чтобы найти все корни уравнения z^n=w, достаточно найти один корень z_0, а остальные корни получатся умножением его на e^{k\cdot\frac{2\pi}{n}}, k=1, \ldots, n-1.

Задача 67 [9][править]

Найдите все корни уравнений

а) z^3=125;

б) z^4+125z=0;

в) z^4=i;

г) z^4=-i;

д) z^6=6^6i;

е) z^6=(1+i)^6.

Задача 68 [9][править]

Решите уравнения

а) z^3+z^2+z+1=0,

б) z^4+z^3+z^2+z+1=0.

Подсказка Домножьте уравнения на (1-z).

Многочлены[править]

Многочлены от x — это то, что можно получить из чисел и переменной x с помощью умножения, сложения и вычитания. Многочлены можно умножать, складывать и вычитать, получая снова многочлены. Рассмотрим многочлены с действительными коэффициентами от переменной x.

Примеры многочленов:

p(x)=x^2-1,
p(x)=(x^{10}-1)\cdot x,
p(x)=-5+x^{10}+x,
p(x)=(x-1)\cdot (x+7)\cdot (x^2+x+1) + x.

Все многочлены, если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, имеют вид

p(x) = a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} + \ldots + a_1\cdot x + a_0.

Числа a_1, \ldots, a_n называются коэффициентами многочлена. Коэффициент a_n, a_n \ne 0, называется старшим коэффициентом, а число n — степенью многочлена

Задача 69 [8][править]

Найдите степени многочленов, приведенных выше.

Задача 70 [9][править]

Докажите, что при умножении многочленов их степени складываются, а старшие (младшие) коэффициенты умножаются, то есть степень многочлена, равного произведению двух других, равна сумме их степеней, а старший (младший) коэффициент равен произведению их старших (младших) коэффициентов.

Задача 71 [9][править]

Раскройте скобки и приведите подобные:

а) (x+1)(x+2)(x+3) ;

б) (1+x)(1+x^2)(1+x^4) ;

в) (1-x)(1-x^2)(1-x^4) ;

г) (1+z+z^2+z^3)(1-z) ;

д) (1+z)^3(1-z)^3 ;

е) (1+z)^3+(1-z)^3 ;

ж) (1-z)(1-2z)(1-3z) + (1+z)(1+2z)(1+3z).

Деление многочленов[править]

Умножать и складывать многочлены просто. Оказывается, их можно ещё и делить. Рассмотрим деление многочленов на примере:

\frac{x^5-x^3+x+1}{x^2+1}=?

Cтепень числителя равна 5, а знаменателя — 2. Давайте вычтем и добавим к числителю x^3(x^2+1)=x^5+x^3, получим:

\frac{x^5-x^3+x+1 + x^3(x^2+1) - x^3(x^2+1)}{x^2+1}= x^3 + \frac{x^5-x^3+x+1 - x^3(x^2+1)}{x^2+1} = x^3+ \frac{x^5- x^3+ x +1 - x^5-x^3}{x^2+1} = x^3+ \frac{- 2x^3+ x +1 }{x^2+1}.

Теперь старшая степень числителя равна 3. Чтобы уничтожить слагаемое (-2x^3) нужно прибавить к знаменателю 2x(x^2+1). Мы прибавляем и отнимаем 2x(x^2+1):

\frac{- 2x^3+ x +1 }{x^2+1} = \frac{- 2x^3+ x + 1 + 2x(x^2+1) - 2x(x^2+1)}{x^2+1} = -2x + \frac{- 2x^3+ x + 1 + 2x(x^2+1)}{x^2+1} = -2x + \frac{- 2x^3+ x + 1 + 2x^3+2x}{x^2+1} = -2x + \frac{ 3x + 1}{x^2+1}.

Дальше этот процесс продолжать нельзя, поскольку степень числителя стала меньше, чем степень знаменателя. Таким образом, результат деления можно записать так:

\frac{x^5-x^3+x+1}{x^2+1} = x^3-2x + \frac{ 3x + 1}{x^2+1}.

Здесь x^3-2x есть результат деления, а 3x+1 — остаток от деления.

Примеры деления многочленов:

\frac{x^2+1}{x^2-1} =  1 + \frac{-2}{x^2-1},
\frac{x^4-1}{x^2-1} =  x^2+1 + \frac{0}{x^2-1},
\frac{x^4-1}{x-1}   =   x^3+ x^2+x+ 1 + \frac{0}{x-1},
\frac{x^4+x^2+1}{x^2+x+1} =    x^2 -x +1 + \frac{0}{x^2+x+1},
\frac{2x^4+x^2+1}{2x^2+1} =    x^2 + \frac{1}{2x^2+1}.

Когда остаток при делении равен нулю, то значит первый многочлен делится на второй.

Определение 7.

Многочлен P(x) делится на многочлен Q(x), если существует многочлен D(x) такой, что выполнено равенство:

P(x) = Q(x) \cdot D(x).

Задача 72[9][править]

Разделите один многочлен на другой с остатком:

а)  \frac{2 x^2+ 2}{x-1};

б)  \frac{x^3+28}{x+3};

в)  \frac{x^3+1}{x^2+1};

г)  \frac{x^{10}-1}{x^5-1};

д)  \frac{x^{12}+1}{x^3+1};

е)  \frac{x^{10}+1}{x^{4}+1}.

Решение

а)(2x+2)+4/(x-1); б) x^2-3x+9+1/(x+3); в) x^2+1/(x^2+1); г) x^5+1; д) x^9-x^6+x^3-1; е) x^6-x^2 + (x^2+1)/(x^4+1).

Задача 73[9][править]

Известно, что x^3-3x^2-10x+24 имеет корень x=2. Найдите остальные корни.

Ответ: -3, 4.

Подсказка Разделите x^3-3x^2-10x+24 на x-2.

Задача 74[9][править]

Известно, что x^4+x^3 - 6x^2+10x - 4 имеет корень x=1+i. Найдите остальные корни.

Ответ: 1-i, -3+\sqrt{17}/2, -3-\sqrt{17}/2.

Задача 75[9][править]

Найдите все корни уравнения x^4+3x^2+2=0.

Ответ: i, -i, \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i.

Подсказка Один из корней равен i. Проверьте это.

Задача 76[12] Исследовательская задача[править]

Пусть P_n(x) = 1 + x + x^2 + ... x^n. При каких n и m многочлен P_n(x) делится на P_m(x)? Например: многочлен P_{15}(x) делится на P_{3}(x), P_{15}(x) делится на P_{3}(x), многочлены P_2(x), P_8(x), P_{14}(x) делятся на P_2(x), а P_4(x), P_6(x), P_{10}(x) — не делятся на P_2(x).

Подсказка Заметьте, что n должно делиться нацело на m. Но это не достаточное условие. Докажите, что P_{3^k} делится на P_{3}(x) при нечетном k.

Мы умеем делить многочлены друг на друга с остатком, и значит можно говорить о наибольшем общем делителе двух многочленов.

Пусть p(x) и q(x) многочлены с коэффициентом 1 при старшей степени. Тогда

НОД(p(x), q(x))

есть многочлен максимальной степени с коэффициентом 1 при старшей степени, на который делятся p(x) и q(x).

Задача 77[10][править]

Найдите

а) НОД(x^2-1, x^2+2x+1);

б) НОД(x^3-1, x^2-1);

в) НОД(x^3-1, x^2-1);

г) НОД(x^3-1, x^2-1);

д) НОД(x^8-1, x^4-1);

е) НОД((x-1)(x-2)(x-3)(x-4), (x-1)(x-3)(x-5)).

Задача 78[10][править]

Докажите, что НОД двух многочленов, есть многочлен, корни которого являются корнями как первого, так и второго многочлена.

Задача 79[10][править]

Найдите общие корни многочленов

p(z) = z^4+z^2-2, \quad q(z)=z^3+3z^2+2z+6.

Решение

НОД(p(z), q(z)) = z^2+2, z_1=i\sqrt{2}, z_2=-i\sqrt{2}.

Основная теорема алгебры[править]

Мы уже с вами отмечали, что некоторые многочлены не имеют действительных корней, зато имеют комплексные корни. Например, уравнения

x^2+1=0, \quad x^4+3x^2+2=0

не имеют действительных корней, так как их правая часть положительна при любых действительных x. Но, в то же время, комплексное число i является корнем этих уравнений. Верна следующая теорема:

Теорема 4 (Основная теорема алгебры) Любой многочлен имеет комплексный корень.

Пояснения:

Коэффициенты многочлена могут быть как действительными, так и комплексными. Многочлен может иметь только действительные корни, но это не противоречит теореме, так как действительные числа являются подмножеством комплексных. Степень многочлена больше либо равна 1.

Более того, многочлен степени n обычно имеет ровно n корней. А именно, верно следующее следствие из основной теоремы алгебры:

Следствие 1 Любой многочлен степени n может быть разложен в произведение n многочленов степени 1 с комплексными коэффициентами.

Многочлены степени 1 называются линейными.

Например, многочлен

z^3+6z^2+11z+6

раскладывается в произведение линейных многочленов с действительными коэффициентами:

z^3+6z^2+11z+6 = (z+1)\cdot(z+2)\cdot(z+2).

А многочлен

z^3+z^2-4x+6

не может быть разложен в произведение действительных линейных многочленов — для его разложения нужны комплексные числа:

z^3+z^2-4x+6 = (z-1-i)\cdot (z-1+i)\cdot (z+3).

Задача 80[9][править]

Проверьте последнее равенство.

В комплексных числах любой многочлен (даже с комплексными коэффициентами) раскладывается в произведение линейных многочленов. Каждый множитель — линейный многочлен — дает один корень многочлена.

Задача 81[9][править]

Почему многочлен степени n раскладывается ровно на n линейных множителей?

Доказательство основной теоремы алгебры довольно сложно. В конце этой части мы рассмотрим схему одного очень популярного интуитивного доказательства. А сейчас давайте поверим, что это теорема действительно имеет место. Для этого вспомните задачи 1,2 и 3.

Задача 82[10][править]

Докажите, что если комплексное число z является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то и сопряженное число \overline{z} также является его корнем. Решение Если многочлен P(z) имеет действительные максимальные коэффициенты, то \overline{P(z)} = P(\overline{z}) (см. задачу 23), и если P(z)=0, то и P(\overline{z})=0.

Задача 83[10][править]

Найдите многочлен с действительными коэффициентами, имеющий комплексный корень 3+4i.

Решение:

Можно вспомнить про формулу квадратного уравнения и понять, что второй корень будет сопряжен первому. Остается по двум корням, 3+4i и 3-4i, восстановить само квадратное уравнение. Для этого раскройте скобки (x-3-4i)(x-3+4i)=\ldots.

Подсказка: Среди квадратных трехчленов есть подходящий.

Задача 84[10][править]

Найдите многочлен с действительными коэффициентами, имеющий комплексные корни 2+i и 3-i. Решение (x-2-i)(x-3+i)(x-2+i)(x-3-i)=x^4-10x^3+39x^2-70x+50.

Задача 85[10][править]

Используя основную теорему алгебры, докажите, что любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение многочленов первой или второй степени с действительными коэффициентами. Решение Можно доказывать методом математической индукции по степени многочлена. Идея доказательства: у любого многочлена P(z) есть корень (основная теорема алгебры). Если это действительный корень z=a, то многочлен делится на z-a. После деления получаем многочлен степени на 1 меньше — для него утверждение верно. Если корень комплексный z_0, то сопряженное число \overline{z_0} тоже корень. А значит многочлен P(z) делится на (z-z_0)(z-\overline{z_0}). После раскрытия скобок в выражении (z-z_0)(z-\overline{z_0}) получим квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. После деления получаем многочлен

на степени на 2 меньше — для него тоже утверждение верно.

Задача 86[10][править]

Укажите разложение на линейные множители для многочленов

а) x^3+1; б) x^4+1; в) x^4+2x^2+1; г) x^6-x.

Решение а)(x+1)(x^2-x+1); б) (1 - \sqrt{2} x + x^2)(1 + \sqrt{2}x + x^2)); в) (1+x^2)(1+x^2); г)  x(x-1)(1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}x + x^2)(1+\frac{1-\sqrt{5}}{2}x +
x^2);

Схема доказательства основной теоремы алгебры[править]

Непрерывность — отображение кривых[править]

Пусть p(z) есть некоторый многочлен:

p(z)=a_n\cdot z^n+\ldots + a_1\cdot z + a_0

Тогда если мы будем медленно менять z, то число p(z) тоже будет меняться медленно. Если z будет двигаться по непрерывной прямой в комплексной плоскости, то p(z) тоже будет двигаться по некоторой непрерывной кривой.

Например, пусть z движется по окружности

z=R\cdot e^{i\cdot \phi}, \quad \phi\in[0,\, 2\pi].

Тогда p(z)=p(e^{i\cdot \phi}) будет тоже двигать по некоторой кривой в комплексной плоскости — малое изменение \phi будет вызывать малое смещение p(z). Таким образом, мы можем говорить об отображении кривых — под действием многочлена p(z) одна кривая превращается в другую кривую. На рисунке 12 изображена кривая, в которую отобразится окружность |z|=1 при отображении z\mapsto p(z), {p(z)=z^3-2z+1}.

Complex14.jpg

Рис. 12 Образ окружности |z|=1 под действием отображения z \mapsto p(z), p(z)=2z^3+3z^2+z+1

Доминирование старшей степени[править]

Как будет двигаться p(z) если p(z)=z^n и z движется по окружности |z|=1? Другими словами, как выглядит образ окружности |z| при отображении z\mapsto z^n? Заметьте, что |z^n|=|z|^n=1, поэтому образ этой окружности будет снова окружность, только в то время, как z сделает один оборот по окружности z^n сделает n оборотов:

(z^n)=z^{i\cdot n \cdot \phi},
\arg z^n = n\cdot \arg z.

Если z сделает оборот по окружности радиуса R |z|=R), то z^n сделает n оборотов по окружности радиуса R^n |z|=R^n). Свойство доминирования старшей степени заключается в том, что при очень больших по модулю значениях z в значение многочлена p(z)=a_n\cdot z^n+\ldots + a_1\cdot z + a_0 больший вклад вносит старший член a_n\cdot z^n.

Например, если z=R\cdot e^{i\cdot\phi}, то после подстановки в p(z) получим:

p(z)=a_n\cdot R^n (e^{i\cdot\phi})^n +  a_n\cdot R^{n-1} (e^{i\cdot\phi})^{n-1}  \ldots + a_1\cdot R (e^{i\cdot\phi}) + a_0=
R^n\left (a_n\cdot (e^{i\cdot\phi})^n +  a_n\cdot R^{-1} (e^{i\cdot\phi})^{n-1}  \ldots + a_1\cdot R^{-(n-1)} (e^{i\cdot\phi}) + a_0\cdot R^{-n} \right).

После того, как мы вынесли за скобку R^n, в скобках осталось только одно слагаемое, которое не содержит R^{-k}. Все слагаемые кроме первого, при R\to \infty уменьшаются и становятся совсем маленькими и не значительными. На рисунке 13 изображены образы трех окружностей радиусов 0,1, 3, 100 — чем больше радиус, тем больше его образ похож на три оборота вокруг центра.

Непрерывность — движение кривых[править]

Complex15.jpg

Рис. 13 Образ окружностей |z|=0,1, |z|=3 и |z|=10 под действием отображения z \mapsto p(z), {p(z)=2z^3+3z^2+z+1}.

А теперь представьте, что мы начали непрерывно менять R (например, от 0 до 10). Тогда образ окружности |z|=R при отображении z\mapsto p(z), p(z)=2z^3+3z^2+z+1, постепенно будет деформироваться.

  • Сначала, при R=0 это будет просто точка z=p(0)=1.
  • Потом, при маленьком R, например R=0,1, вокруг точки z=1 появится некоторая замкнутая кривая (рис. 13).
  • Потом, при некоторых средних значениях R, например R=1,будем иметь нечто необычное (рис. 12 справа).
  • Потом, постепенно увеличивая R до R=3, получим три ярко выраженных оборота (рис. 13}).
  • При больших R, например R=10, обороты все больше будут сближаться друг к другу и выглядеть почти как n окружностей.

(рис. 13).

Во время этой деформации кривая в какой-то момент пройдёт через точку z=0. Действительно, при маленьком R точка z=0 находится снаружи замкнутой кривой, а при больших R — внутри замкнутой кривой, которая, более того, делает вокруг z=0 несколько оборотов. Это означает, что при некотором R и некотором \phi получим p(R\cdot e^{i\cdot \phi})=0, и, следовательно, z=R\cdot e^{i\cdot \phi} является корнем нашего многочлена. Таким образом, наш многочлен p(z) точно имеет хотя бы один комплексный корень. Конец схемы доказательства

Алгебра многочленов по модулю многочлена[править]

Очень часто в практике находит применение следующая конструкция. Рассматриваются многочлены от переменной x. При этом переменная x удовлетворяет условию, что некоторый фиксированный многочлен от x равен нулю. Например, верно равенство

x^3 +x^2 + 1 = 0.

Заметьте, что из этого равенства можно заключить, что

x^3 = -x^2 -1,

а также, после умножения на x, x^2, … получим

 x^4 = -x^3 -x
 x^5 = -x^4 -x^2
 x^6 = -x^5 -x^3

— то есть все степени x^n, начиная с x^3, могут быть выражены через многочлены меньшей степени. А значит, любой многочлен степени больше 2 может быть упрощен до многочлена меньшей степени.

Задача 87[9][править]

Докажите, что если x^3 +x^2 + 1 = 0, то любой многочлен P(x) от x может быть упрощен до многочлена степени меньше 3.

Подсказка Попробуйте упростить многочлен x^5. Покажите, что результат совпадает с остатком при делении P(x)=x^5 на Q(x)=x^3 +x^2 + 1.

Задача 88[9][править]

Докажите, что если дан многочлен Q(x) степени m, и многочлен P(x) степени n \ge m, и известно, что Q(x) = 0, то многочлен P(x) может быть упрощен до многочлена степени меньше m и, при этом, единственным образом.

Подсказка Результат упрощения равен остатку при делении P(x) на Q(x). Докажите, что существуют единственные D(x) и R(x) такие, что

P(x) = Q(x)D(x)+R(x),

где степень R(x) меньше степени Q(x).

Определение 8

Пусть p(x) есть многочлен степени m, и мы полагаем что

p(x)=0.

Тогда все многочлены можно рассматривать с точностью до остатка при делении на p(x). Многочлены, разность которых делится на p(x), считаются равными. Все многочлены мы заменяем на остатки при делении их на p(x). Множество остатков при делении на p(x) есть множество многочленов степени m-1 и меньше и называется

алгеброй многочленов по модулю p(x).

В этой алгебре есть операция сложения — обычная операция сложения многочленов, и операция умножения — обычное умножение многочленов, после которого берется остаток при делении результата умножения на p(x).

Задача 89[9][править]

Найдите, чему равны следующие многочлены по модулю p(x)=x^2+1.


Определение 9

Выражение

q(x)\; {\rm mod} \; p(x)

означает остаток при делении q(x) на p(x).

Задача 90[9][править]

Найдите, чему равно

(a+bx)(c+dx)\; {\rm mod} \; (x^2+1)\;

Задача 91[10][править]

Для многочлена p(x)=x^2+x-999903 найдите многочлен d(x) такой, что

d(x)\cdot p(x) = 1 \;{\rm mod}\; (x^2+1).

Для каждого ли многочлена p(x) найдется такой d(x)? Решение i^2+i -3 = -4+i, (-4+i)^{-1}=(-4-i)/17, отсюда находим d(x)=(-4-x)/17.

Задача 92[10][править]

Докажите, что алгебра многочленов по модулю x^2+1 совпадает с комплексными числами. В каком смысле они совпадают?

Задача 93[10][править]

Рассмотрите алгебру многочленов по модулю x^2-1. Верно ли что, для каждого многочлена q(x), который не делится на x^2-1, найдется d(x) такой, что

d(x)\cdot p(x) = 1 \;{\rm mod}\; (x^2-1)?

Задача 94[10][править]

Рассмотрите алгебру многочленов по модулю x^2-1. Верно ли что, для каждого многочлена q(x), который не делится на x^2-1, найдется d(x) такой, что

d(x)\cdot p(x) = 1 \;{\rm mod}\; (x^2-1)?

Определение 10

Многочлен называется неприводимым, если он не может быть разложен в произведение многочленов степени больше 0.

Задача 95[11][править]

а) Докажите, что в алгебре многочленов над комплексными числами не существует неприводимых многочленов степени больше 1. б) Докажите, что в алгебре многочленов над действительными числами не существует неприводимых многочленов степени больше 2 — неприводимы только те квадратные трехчлены, дискриминант которых отрицателен.

Задача 96[12][править]

Многочлены с действительными коэффициентами по модулю любого неприводимого многочлена p(x) изоморфны комплексным числам.

Примечание

Изоморфность означает одинаковость с точностью до переобозначения. Два множества элементов A и B с операциями сложения и умножения изоморфны если между их элементами существует взаимооднозначное соответствие, которое сохраняет операции сложения и умножения. Например, пусть элементу a из A соответствует элемент b=f(a) из B f — это функция, осуществляющая соответствие элементов A элементам B). Пусть a_1 и a_2 произвольные элементы A. Тогда

f(a_1+a_2)=f(a_1)+f(a_2),\quad f(a_1\cdot a_2) = f(a_1)\cdot f(a_2).

Заметьте, что операции сложения и умножения слева от знака «равно» — это операции на множестве A, а операции сложения и умножения справа — операции на множестве B.

Подсказка Это соответствие строится следующим образом. Любой неприводимый квадратный трехчлен можно линейной заменой переменной x\mapsto (\alpha x + \beta) превратить в x^2+1. По многочлену q(x) можно найти многочлен q(\alpha x + \beta) \; {\rm mod}\; p(x) — его два коэффициента соответствуют мнимой и действительной части соответствующего q(x) комплексного числа. Действительные и комплексные числа называются числовыми полями. Есть ещё другие числовые поля. Если в каком-то числовом поле нет неприводимых многочленов степени больше 1, то оно называется алгебраически замкнутым. Комплексные числа — единственное алгебраически замкнутое числовое поле, где бесконечное (точнее несчетное) число элементов.

Матрицы[править]

Матрицы — это ещё одно обобщение чисел. Мы с вами изучим матрицы 2\times 2.

Определение 11

Матрицы 2\times 2 — это таблицы чисел 2\times 2 вида

\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},

на которых определены операции сложения и умножения. А именно, пусть

A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},\quad\quad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}.

Тогда

A+B = \begin{pmatrix}a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22} + b_{22}\end{pmatrix}.
A \times B = \begin{pmatrix}a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}.

Примечание

Первый индекс соответствует номеру строчки, второй — номеру столбца. Правила сложения и умножения можно коротко обозначить так:

(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij},
(A\times B)_{ij}=a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j}.

Если бы мы рассматривали матрицы 3\times 3, то правило умножения выглядело бы так:

(A\times B)_{ij}=a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + a_{i3}b_{3j}.

Чтобы получить элемент матрицы (A\times B), стоящий в i-ой строчке и j-ом столбце, нужно взять i-ую строчку матрицы A и j-ый столбец B, а затем взять их произведение — перемножить соответствующие элементы и сложить.

Задача 97[8][править]

Пусть

A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix},\quad\quad B=\begin{pmatrix}3 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix},\quad\quad E= (\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Вычислите:

а) A+B; б) A+B+E; в) A\times E; г) E\times B; д) A\times B; е) B\times A.

Определение 12.

Матрица

E=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
называется единичной матрицей.

Задача 98[9][править]

Докажите, что

A\times E = E \times A = A

для любой матрицы A.

Таким образом, единичная матрица обладает такими же свойствами, как и число 1 — умножение на 1 не меняет число.

Определение 13

Введем обозначение:

\mathbb{I}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Задача 99[9][править]

Докажите, что

\mathbb{I}^2 = -E,

то есть произведение матрицы \mathbb{I} на саму себя дает единичную матрицу с минусом.

Определение 14

Матрицы можно умножать на число, при этом каждый элемент матрицы умножается на это число. Например:

2\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \quad a\cdot \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 2a \\ 0 & a \\ \end{pmatrix}.

Задача 100[9][править]

Покажите, что а)  (\alpha A + \beta B)\times C = \alpha A\times C + \beta B\times C; б)  (\alpha A)\times (\beta B) = (\alpha\beta) A\times B; в) (A\times B)\times C = A\times (B \times C).

Задача 101[9][править]

Раскройте скобки

(a_1\cdot E + b_1 \cdot \mathbb{I})\times (a_2\cdot E + b_2 \cdot \mathbb{I}).

Введем обозначение

M(a,b)= \begin{pmatrix}a & -b \\ b & a \end{pmatrix}.

Задача 102[9][править]

Найдите результат умножения матриц M(a,b)\times M(c,d).

Подсказка Обратите внимание на то, что получится снова матрица вида M(x,y), то есть матрица, у которой на диагонали (верхний левый угол — нижний правый) стоят одинаковые числа, а два числа на другой диагонали противоположны.

Задача 103[9][править]

Найдите результат умножения матриц M(a,b)\times M(a,-b).

Задача 104[9][править]

Покажите, что матрицы вида M(a,b) с операциями сложения и умножения матриц соответствуют комплексным числам с операциями сложения и умножения комплексных чисел.

Задача 105[11][править]

На основе предыдущей задачи предположите, чему равно

e^{M(a,b)}.

Решение e^{M(a,b)} = M(e^{a}\cos b, e^{a}\sin b ).

Подсказка Чему равно e^{a+bi}?

Определение 15

Матрица B называется обратной к матрице A, если

A\times B = B\times A = E.

Задача 106[9][править]

Найдите матрицу, обратную к матрице M(a,b), то есть найдите

\begin{pmatrix}a  & b \\ -b & a \end{pmatrix}^{-1}.

Задача 107[10][править]

Система линейных уравнений

\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y = c, \\ -b \cdot x + a \cdot y = d\end{matrix}.

может быть записана как

 \begin{pmatrix}a  & b \\ -b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c \\ d \end{pmatrix}.

Покажите, что решение этой системы может быть записано как

\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a  & b\\-b & a\end{pmatrix}^{-1}\cdot\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}.

Рекомендуемая литература[править]

  • «Теорема Абеля в задачах», В. Б. Алексеев, — М.:МЦНМО, 2001.