Основы алгебры/Линейные уравнения

Определение

Линейным уравнением называется уравнение вида

$ax+b=0$ и любое другое уравнение приводимое к такому виду (например, $ax+b=cx+d$). При этом неизвестное не должно находится в знаменателе.

• $a$ — коэффициент при неизвестной,
• $b$ — свободный член (любое число).

Решить уравнение значит найти такое число (корень уравнения), что при подстановке его вместо переменной $x$, получается верное равенство.

Примеры линейных уравнений:

$2x+1=0$. Корень(решение) этого уравнения $x=-1/2$

$-3x+1=x-7$. Корень этого уравнения $x=2$

При решении линейных уравнений, в подавляющем большинстве случаев может понадобиться правило переноса слагаемого.

Случай ненулевого коэффициента при неизвестной переменной после тождественных преобразований

$ax+b=0$, a ≠ 0

Для начала перенесём в одну сторону члены с неизвестной (с иксом), а в другую сторону — числа. Необходимо помнить, что при перенесении слагаемого в другую сторону оно меняет знак:

$ax=-b$

Приведём подобные слагаемые:

$ax=-b$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при иксе (в нашем примере это a), после этого $x$ останется без коэффициента:

$ax/a=-b/a$

При неизвестной коэффициент сократится и получится ответ:

$x=-b/a$

Это и будет ответом. Если мы захотим проверить, является ли число -b/a корнем этого уравнения, необходимо подставить в изначальное уравнение вместо икса это самое число:

$a\cdot -b/a+b=0$ (то есть $0=0$)

Так как это равенство является верным, то -b/a действительно является корнем уравнения.

Ответ

$x=-b/a$, a ≠ 0

Пример 1

Решим уравнение:

$5x+2=7x-6$

Для начала перенесём в одну сторону члены с неизвестной (с иксом), а в другую сторону — числа. Необходимо помнить, что при перенесении слагаемого в другую сторону оно меняет знак:

$5x-7x=-6-2$

Приведём подобные слагаемые:

$-2x=-8$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при иксе (в нашем примере это −2), после этого $x$ останется без коэффициента:

$-2x/-2=-8/-2$

При неизвестной коэффициент сократится и получится ответ:

$x=4$

Это и будет ответом. Если мы захотим проверить, является ли число 4 корнем этого уравнения, необходимо подставить в изначальное уравнение вместо икса это самое число:

$5\cdot 4+2=7\cdot 4-6$ (то есть $22=22$)

Так как это равенство является верным, то 4 действительно является корнем уравнения.

Пример 2

Решим уравнение:

$5/7*x+2=1/7*x-7$

Вначале избавляемся от дроби, домножая каждое слагаемое на $7$:

$5x+14=x-49$

После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:

$4x=-63$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$ (на $4$) и получим:

$x=-63/4=-15-3/4$

Избавимся от обыкновенной дроби путем перевода ее в десятичную ($3/4=0.75$).

$x=-15-3/4=-15-0.75-15.75$

Ответ

$x=-15.75$

Пример 3

Решим уравнение:

$(5x-1)/7+x=1/5*x-7$

Вначале избавляемся от дроби, домножая каждое слагаемое на общий знаменатель $35$:

$35((5x-1)/7+x)=35(1/5*x-7)$

Раскрываем скобки:

$35(5x-1)/7+35x=35/5*x-245$

Сокращаем дроби:

$25x-5+35x=7x-245$

После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:

$53x=-240$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$ (на $53$) и получим:

$x=-240/53=-4-28/53$

Ответ

$x=-4-28/53$

Пример 4

Решим уравнение:

$x{\sqrt {5}}-1=0$

Вначале избавляемся от иррациональности в коэффициенте при неизвестном, домножая каждое слагаемое на ${\sqrt {5}}$ (это нужно для более сложных случаев):

$5x-{\sqrt {5}}=0$

$5x={\sqrt {5}}$

$x=({\sqrt {5}})/5$

Но такая форма считается упрощаемой, так как в числителе располагается корень числа в знаменателе. Требуется упростить ответ домножением числителя и знаменателя на одно и то же число, в данном случае на ${\sqrt {5}}$:

$x=({\sqrt {5}})({\sqrt {5}})/(5)({\sqrt {5}})$

$x=5/(5)({\sqrt {5}})$

$x=1/{\sqrt {5}}$

Ответ

$x=1/{\sqrt {5}}$

Пример 5

Решим уравнение:

$5/3*x-7=7/3*x-7$

После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:

$0=2/3*x$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при x (на $2/3$) и получим:

$0=x$

Две части равенства можно писать в любом порядке (то есть это уравнение ничем не отличается от уравнения $x=0$), значит решением этого уравнения будет $x=0.$ Обратите внимание, что здесь ноль — это свободный член, а не коэффициент при $x$. Поэтому в отличие от следующих примеров, у этого уравнения есть решение, притом только одно.

Ответ

$x=0$

Пример 6

Решим уравнение с параметрами:

$a\,x+1=4$, относительно x.

Если a=0, то решений нет, так как 1 — не 4. Иначе:

$a\,x+1-4=0$

$a\,x-3=0$

$a\,x=3$

$x=3/a$

Ответ

$x=0$, если a=0, то решений нет

Случай отсутствия решений

Решим уравнение:

$2x+3=2x+7$

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

$0x=4$

Какой бы $x$ мы ни взяли, это уравнение не превратится в верное равенство. Значит, это уравнение не имеет решений. В данном случае нельзя было поступить также как в первом примере, поскольку делить на ноль нельзя.

Ответ

Решений нет.

Частный случай — бесконечное число решений

Решим уравнение:

$2x+3=2x+3$

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

$0x=0$

В этом случае тоже нельзя разделить обе части на ноль, так как это запрещено. Но подставив на место икса любое число, мы получим верное равенство. Значит, любое число является решением этого уравнения. Таким образом, у этого уравнения бесконечно много решений.

Ответ

Бесконечно много решений.

Случай равенства двух полных форм

$ax+b=cx+d$

$ax-cx=d-b$

$(a-c)x=d-b$

$x=(d-b)/(a-c)$

Ответ

$x=(d-b)/(a-c)$, если d≠b и a≠c, иначе бесконечно много решений, но, если a=c, а d≠b, то решений нет — объединение написанного выше

Примеры и их решения

Пример 1

Решим уравнение:

$5x+6=2x+7$

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

$3x=1$

$x=1/3$

Ответ

$x=1/3$

Пример 2

Решим уравнение:

$6x+5=7x+2$

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

$x=3$

Ответ

$x=3$

Задачи

1. $2x-7=6x+6/7$

2. $7000000x-20/x=70x+7$ (Уравнение, сводящиеся к квадратному)

3. $8x-3080/x=7x+766$ (Уравнение, сводящиеся к квадратному)

4. $67x-6=0$

(Ответы пишите в отдельной статье)