Высшая математика. Первый семестр

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,

  • означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
  • означает множество натуральных чисел ;
  • означает множество всех целых чисел ;
  • означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;
  • , , и , где , , соответственно, — замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка — что не включается;
  • , , и , где , — замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки);
  • — числовая прямая, то же, что и ;
  • — пересечение (общая часть) множеств и ;
  • — объединение множеств и (все точки из и все точки из );
  • — множество тех элементов из , которые не принадлежат ;
  • — включение в ( — это часть );
  • — принадлежность элемента множеству ( принадлежит );
  • — элемент не принадлежит множеству ;
  • — множество, состоящее из элементов ; в частности, — множество из одного элемента ;
  • — множество всех тех элементов из , для которых выполняется свойство .
Вещественные числа
  • Область рациональных чисел
  • Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел
  • Арифметические действия над вещественными числами
  • Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел
Функции и их графики
  • Основные обозначения и определения
  • Первый способ задания функции: табличный
  • Второй способ задания функции: с помощью формулы
  • Обзор некоторых элементарных функций
  • Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления
  • Композиция функций
  • Обратная функция
  • Упражнения
Пределы
  • Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи
  • Общее определение предела
  • Замена переменного и преобразование базы при такой замене
  • Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
  • Общие свойства пределов
  • Первый и второй замечательные пределы
  • Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
  • Использование непрерывности функций при вычислении пределов
  • Сравнение бесконечно малых
  • Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$
  • Упражнения на вычисление пределов


Непрерывность функций и точки разрыва
  • Определение непрерывности функции
  • Определение точек разрыва
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Непрерывность функции на интервале и на отрезке
  • Равномерная непрерывность
  • Непрерывность обратной функции
  • Гиперболические функции и ареа-функции
  • Примеры и упражнения


Производные и дифференциалы
  • Мгновенная скорость при прямолинейном движении
  • Касательная к кривой на плоскости
  • Производная
  • Свойства производных
  • Производные некоторых элементарных функций
  • Дифференциал
  • Производная композиции
  • Инвариантность дифференциала
  • Производная обратной функции
  • Производные некоторых элементарных функций (продолжение)
  • Сводка основных результатов о производных
  • Производные высших порядков
  • Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность
  • Производные функции, заданной параметрически
  • Производная функции, заданной неявно
  • Приближённое вычисление производных
  • Примеры и упражнения


Свойства дифференцируемых функций
  • Четыре теоремы о дифференцируемых функциях
  • Правило Лопиталя
  • Сравнение бесконечно больших величин


Формула Тейлора
  • Многочлен Тейлора
  • Остаток в формуле Тейлора и его оценка
  • Формула Тейлора для некоторых элементарных функций
  • Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования
  • Упражнения


Исследование функций и построение графиков
  • Асимптоты графика функции
  • Возрастание и убывание функции
  • Экстремум функции и необходимое условие экстремума
  • Достаточные условия локального экстремума
  • Выпуклость функции
  • Общая схема исследования функции и построения её графика
  • Примеры исследования функций и построения графиков
  • Упражнения и задачи


Кривизна плоской кривой
  • Кривизна графика функции
  • Вершины кривых
  • Радиус кривизны
  • Упражнения


Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума
  • Отделение корней
  • Метод простого перебора
  • Метод половинного деления
  • Метод простых итераций
  • Метод секущих
  • Метод одной касательной
  • Метод Ньютона (метод касательных)
  • Метод хорд (метод линейной интерполяции)
  • Приближённое нахождение точки экстремума
  • Метод простого перебора
  • Метод почти половинного деления
  • Метод золотого сечения и метод Фибоначчи
  • Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной
  • Упражнения


Векторная алгебра
  • Определение вектора
  • Операции над векторами
  • Разложение вектора по базису
  • Линейная зависимость векторов
  • Система координат и координаты вектора
  • Проекции вектора
  • Скалярное произведение
  • Векторное произведение
  • Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
  • Смешанное произведение
  • Нахождение координат вектора в произвольном базисе


Прямые линии и плоскости
  • Уравнение поверхности
  • Уравнение плоскости
  • Изображение плоскости
    • Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля
    • Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю
    • Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю
    • Два коэффициента при переменных равны нулю
  • Угол между плоскостями
  • Расстояние от точки до плоскости
  • Прямая на плоскости
  • Прямая в пространстве
  • Основные задачи на прямую и плоскость


Кривые второго порядка
  • Окружность
  • Эллипс
  • Гипербола
  • Парабола
  • Параллельный перенос системы координат


Поверхности второго порядка
  • Сфера
  • Эллипсоид
  • Гиперболоиды
  • Конус
  • Параболоиды
  • Цилиндры
  • Параллельный перенос системы координат


Матрицы
  • Определение, обозначения и типы матриц
  • Сложение матриц и умножение на число
  • Символ суммирования
  • Умножение матриц
  • Транспонирование матрицы
  • Определители
  • Обратная матрица
  • Ранг матрицы


Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Существование решения системы линейных уравнений общего вида
  • Однородная система уравнений
  • Структура решений неоднородной системы линейных уравнений
  • Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Алгебраические структуры
  • Группы
  • Кольца
  • Поля
Комплексные числа
  • Построение поля комплексных чисел
  • Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
  • Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
  • Тригонометрическая форма комплексного числа
  • Показательная форма комплексного числа
  • Извлечение корня из комплексного числа
  • Корни многочленов


Многомерные пространства
  • Линейные пространства
    • Определение и примеры
    • Базис и размерность пространства
    • Координаты векторов
    • Изменение координат вектора при изменении базиса
  • Евклидово пространство
  • Аффинное $ n$ -мерное пространство


Линейные преобразования
  • Определение и примеры
  • Матрица линейного преобразования
  • Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
  • Собственные числа и собственные векторы
  • Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
  • Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
  • Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду