Высшая математика. Первый семестр
Внешний вид
Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
- означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
- означает множество натуральных чисел ;
- означает множество всех целых чисел ;
- означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;
- , , и , где , , соответственно, — замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка — что не включается;
- , , и , где , — замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки);
- — числовая прямая, то же, что и ;
- — пересечение (общая часть) множеств и ;
- — объединение множеств и (все точки из и все точки из );
- — множество тех элементов из , которые не принадлежат ;
- — включение в ( — это часть );
- — принадлежность элемента множеству ( принадлежит );
- — элемент не принадлежит множеству ;
- — множество, состоящее из элементов ; в частности, — множество из одного элемента ;
- — множество всех тех элементов из , для которых выполняется свойство .
- Область рациональных чисел
- Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел
- Арифметические действия над вещественными числами
- Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел
- Основные обозначения и определения
- Первый способ задания функции: табличный
- Второй способ задания функции: с помощью формулы
- Обзор некоторых элементарных функций
- Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления
- Композиция функций
- Обратная функция
- Упражнения
- Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи
- Общее определение предела
- Замена переменного и преобразование базы при такой замене
- Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
- Общие свойства пределов
- Первый и второй замечательные пределы
- Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
- Использование непрерывности функций при вычислении пределов
- Сравнение бесконечно малых
- Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$
- Упражнения на вычисление пределов
- Непрерывность функций и точки разрыва
- Определение непрерывности функции
- Определение точек разрыва
- Свойства функций, непрерывных в точке
- Непрерывность функции на интервале и на отрезке
- Равномерная непрерывность
- Непрерывность обратной функции
- Гиперболические функции и ареа-функции
- Примеры и упражнения
- Производные и дифференциалы
- Мгновенная скорость при прямолинейном движении
- Касательная к кривой на плоскости
- Производная
- Свойства производных
- Производные некоторых элементарных функций
- Дифференциал
- Производная композиции
- Инвариантность дифференциала
- Производная обратной функции
- Производные некоторых элементарных функций (продолжение)
- Сводка основных результатов о производных
- Производные высших порядков
- Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность
- Производные функции, заданной параметрически
- Производная функции, заданной неявно
- Приближённое вычисление производных
- Примеры и упражнения
- Свойства дифференцируемых функций
- Четыре теоремы о дифференцируемых функциях
- Правило Лопиталя
- Сравнение бесконечно больших величин
- Формула Тейлора
- Многочлен Тейлора
- Остаток в формуле Тейлора и его оценка
- Формула Тейлора для некоторых элементарных функций
- Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования
- Упражнения
- Исследование функций и построение графиков
- Асимптоты графика функции
- Возрастание и убывание функции
- Экстремум функции и необходимое условие экстремума
- Достаточные условия локального экстремума
- Выпуклость функции
- Общая схема исследования функции и построения её графика
- Примеры исследования функций и построения графиков
- Упражнения и задачи
- Кривизна плоской кривой
- Кривизна графика функции
- Вершины кривых
- Радиус кривизны
- Упражнения
- Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума
- Отделение корней
- Метод простого перебора
- Метод половинного деления
- Метод простых итераций
- Метод секущих
- Метод одной касательной
- Метод Ньютона (метод касательных)
- Метод хорд (метод линейной интерполяции)
- Приближённое нахождение точки экстремума
- Метод простого перебора
- Метод почти половинного деления
- Метод золотого сечения и метод Фибоначчи
- Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной
- Упражнения
- Векторная алгебра
- Определение вектора
- Операции над векторами
- Разложение вектора по базису
- Линейная зависимость векторов
- Система координат и координаты вектора
- Проекции вектора
- Скалярное произведение
- Векторное произведение
- Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
- Смешанное произведение
- Нахождение координат вектора в произвольном базисе
- Прямые линии и плоскости
- Уравнение поверхности
- Уравнение плоскости
- Изображение плоскости
- Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля
- Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю
- Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю
- Два коэффициента при переменных равны нулю
- Угол между плоскостями
- Расстояние от точки до плоскости
- Прямая на плоскости
- Прямая в пространстве
- Основные задачи на прямую и плоскость
- Кривые второго порядка
- Окружность
- Эллипс
- Гипербола
- Парабола
- Параллельный перенос системы координат
- Поверхности второго порядка
- Сфера
- Эллипсоид
- Гиперболоиды
- Конус
- Параболоиды
- Цилиндры
- Параллельный перенос системы координат
- Матрицы
- Определение, обозначения и типы матриц
- Сложение матриц и умножение на число
- Символ суммирования
- Умножение матриц
- Транспонирование матрицы
- Определители
- Обратная матрица
- Ранг матрицы
- Системы линейных уравнений
- Правило Крамера
- Существование решения системы линейных уравнений общего вида
- Однородная система уравнений
- Структура решений неоднородной системы линейных уравнений
- Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)
- Алгебраические структуры
- Группы
- Кольца
- Поля
- Комплексные числа
- Построение поля комплексных чисел
- Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
- Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
- Тригонометрическая форма комплексного числа
- Показательная форма комплексного числа
- Извлечение корня из комплексного числа
- Корни многочленов
- Многомерные пространства
- Линейные пространства
- Определение и примеры
- Базис и размерность пространства
- Координаты векторов
- Изменение координат вектора при изменении базиса
- Евклидово пространство
- Аффинное $ n$ -мерное пространство
- Линейные преобразования
- Определение и примеры
- Матрица линейного преобразования
- Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
- Собственные числа и собственные векторы
- Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
- Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
- Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду