Высшая математика. Первый семестр/Функции и их графики

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску

Основные определения[править]

Функция[править]

Пусть и — два произвольных множества. Функцией из в называется соответствие между элементами множества и множества , при котором каждому элементу сопоставляется какой-либо один элемент . При этом называется значением функции на элементе , что записывается как или . Тот факт, что функция переводит элементы в элементы , записывается так: . Множество называется областью определения функции и обозначается .

Множество отображается функцией в множество

Пример: Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров и множество — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие , сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента, — это функция , где — номер студента в группе (от 1 до 20) и — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение определено для всех . Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества — множества всевозможных фамилий — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов не будет значением ни при каком . Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах и элемент Петров будет значением функции , то есть и .

На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции

не обязано совпадать со всем множеством , а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие , что , но . В таком случае часто говорят, что элементы и склеиваются при отображении .

Отображение функции[править]

Если , то есть для любого элемента найдётся элемент такой, что , то функция называется отображением на (напомним, что в общем случае — это отображение из в ). Отображение «на» также называют сюръективным отображением или сюръекцией.

Если для любых двух разных элементов () значения тоже разные (), то отображение называется вложением множества в множество , или инъективным отображением (инъекцией).

Пример 1: Пусть и отображение для задано формулой . Тогда — сюръекция, так как любое число из отрезка равно значению при некотором .

Все числа — это значения функции

Пример 2: Пусть и отображение задано при формулой . Тогда отображение одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как 1) любое значение есть значение при некотором (а именно, при ); 2) никакие два разных значения не могут дать одинаковых значений , так как из неравенства следует неравенство .

Кубы разных чисел не совпадают

Взаимно-однозначное соответствие[править]

Отображение , которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между и , или биекцией. Это означает, что каждому элементу сопоставляется ровно один элемент , причём для каждого элемента имеется такой элемент , который сопоставлен этому .

Замечание: Если отображение — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества и множеством значений функции , то есть частью множества . Пусть . Тогда функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами и . (Более формально: функция , совпадающая с при всех , — это биекция. В таких ситуациях, когда функции и имеют одну и ту же область определения и их значения совпадают при всех , мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае — буквой .)

Множество взаимно-однозначно отображается на множество

Пример 1: При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто соответствует ровно один выданный номерок . Таким образом, между множеством сданных пальто и множеством выданных номерков ( — это подмножество множества всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция (, ).

Обратная функция[править]

Если — биекция, то отображение, сопоставляющее каждому тот элемент , который переходит в этот самый при отображении , называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению и обозначается . Таким образом, , и тогда и только тогда, когда (, ).

Пример 1: В условиях примера 1.4 отображение — биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков находят соответствующее номерку пальто . Соответствие , (, ) — это обратная функция к функции , , то есть .

Очевидно, что в случае, если — биекция и — обратная к функция, то для всех и для всех . Последнее равенство показывает, что и что функции и взаимно обратны. (То есть если — функция, обратная к , то — функция, обратная к .)

Функции и взаимно обратны


Итак, для того чтобы функция имела обратную функцию , функция должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между и . Тогда обратная функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между и .

Пример 2: Функция , заданная формулой , — это биекция. Обратная к ней функция — это квадратный корень: .

Функции и — взаимно обратны

В математическом анализе основную роль играют такие функции , у которых значениями служат вещественные числа, то есть . Такие функции называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6 — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются.

А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой.

Пример 3: Пусть — множество всевозможных отрезков , расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки и ) не совпадают. Пусть соответствие сопоставляет каждому такому отрезку его длину . Так как длина отрезка — число, то — числовая функция, . Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: .

Замечание: В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями , область определения которых также является подмножеством числовой прямой , то есть такими функциями , где и . Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых — подмножество в пространстве , равном прямому произведению экземпляров множества (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже).

График функции[править]

Графиком функции называется множество пар элементов и , такое, что в каждой паре второй элемент — это значение функции , соответствующее первому элементу пары, то есть .

Рассмотрим множество всевозможных пар , где , . Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества на множество и обозначается .

Ясно, что график функции — это подмножество прямого произведения  :

В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в  ; график примера 1.3 — подмножество в  ; оба графика примера 1.6 — подмножества в (здесь мы ввели обозначение , которого будем придерживаться и далее).

Пример 1: Пусть — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости с координатами и , с центром в точке . Функцию в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки до центра. Таким образом, , где .

Графиком этой функции является подмножество прямого произведения . Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве . Обозначим координаты точек в через . Тогда графику принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения и .

Множество представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке , с высотой 1 и радиусом основания 1.

График расстояния до точки — это конус

Как мы видим, в случае, когда — подмножество плоскости , график числовой функции — это подмножество точек пространства . Если же — подмножество точек пространства , то графиком числовой функции будет подмножество четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества . В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график описать каким-то иным способом.

Пример 2: Пусть и для каждой точки значение функции в этой точке — это квадрат расстояния от до точки , то есть . Тогда график — это подмножество в  :

Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью — это парабола в плоскости , а сечение трёхмерным пространством — это одна точка .

Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах.

Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида . Способ задания функции зависит от того, какова природа множеств и и как по заданному определяется . Выделим основные из этих способов.

Способы описания функций[править]

Табличный[править]

Если множество конечно и состоит из элементов , то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе . Часто это делают в виде таблицы:

В верхней строке таблицы перечисляются все элементов конечного множества , а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк.

С помощью формулы[править]

Если множество бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента найти соответствующее ему значение , например:

  • при
  • при
  • при
  • при

Замечание: Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах , считаются различными. Так, функция при и функция при — это две разные функции, так как функция устанавливает соответствие между точками множества и некоторыми точками числовой прямой, а функция — между точками другого множества и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как при всех .

Ограничение функции[править]

Если дана функция , и , то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции только на элементах . Эта функция определена равенством при . Функция называется ограничением функции на подмножество её области определения и обозначается , то есть .

Пример 1: Пусть — числовая плоскость и функция задана формулой

Рассмотрим на плоскости подмножество — прямую линию , заданную уравнением . Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции точки только прямой . Ограничение определено только при , поэтому его, кроме исходной формулы

можно задать такими формулами:

(1.1)

(так как на прямой ), или

(1.2)

(так как на прямой ). Во всех точках прямой все три формулы дают одно и то же значение функции . Мы видим, что формула (1.1) даёт для те же значения, что функция одного переменного  : , а формула (1.2) — те же значения, что функция одного переменного  : .

Две последние функции называются параметризациями ограничения .

Пример 2: Пусть — функция, заданная во всех точках плоскости . Пусть — прямая на плоскости . Тогда функция равна . Формально ограничение зависит от точек плоскости , но только таких, что . Поэтому задание этого ограничения эквивалентно заданию числовой функции одного переменного . Функция — это одна из возможных параметризаций функции .

Замечание: Во многих учебных примерах при задании функции при помощи формулы не указывают область определения . При этом по умолчанию предполагается, что область определения — максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента , для которых задающее функцию выражение имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область , если в этом возникнет необходимость.

Пример 3: Пусть функция задана формулой

По умолчанию считается, что области принадлежат все те точки , что . Разумеется, для каждой заданной точки проверить это условие несложно, однако описать множество в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство.

Если — это множество натуральных чисел , то функция называется последовательностью. Так как содержит бесконечное множество чисел , то задать в виде таблицы значений , где , вообще говоря, нельзя. Однако если функция легко угадывается по своим значениям при небольших , её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений.

Пример 4: Пусть . Тогда, скорее всего, имеется в виду, что при любом . Эта формула не противоречит выписанным значениям и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения , но, быть может, другие значения .

Пример 5: Последовательность чисел Фибоначчи задаётся так: два первых члена полагают равными единице (), а при вычисляют по формуле . Таким образом, и т. д.

Указание процедуры вычисления[править]

Во многих случаях функцию приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример.

Пример: Пусть и — это наибольший корень уравнения . Этим условием задаётся некоторая функция . Её область определения не пуста, так как, например, при получается уравнение , у которого имеется единственный корень , так что и, следовательно, . Однако ни выразить значение формулой или иным «конечным» образом, ни полностью описать область определения функции не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений , которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению определять значение либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что не принадлежит .

Изменяя число в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения с заданной наперёд точностью2 и, например, построить график по точкам.

Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения.

Если числовая функция , где , реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки , , и нанося на координатную плоскость точки вида и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, — вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения через .

Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции по заданным , делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении , вызванной тремя причинами:

  1. приближённостью задания переменного (погрешностью аргумента);
  2. приближённостью способа получения значения (погрешностью метода);
  3. приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений).

Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления . Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: «хорошо ли ведёт себя» полученный график , согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией , и по другим косвенным признакам.